Théorème des six cercles

Le problème des six cercles n'a été énoncé (et démontré) qu'en 1974[3] - [4].

Une variante en a été étudiée en 2016 : le contact des cercles peut se faire sur une extension des côtés (pas seulement sur les côtés eux-mêmes), mais comme à chaque étape il y a deux choix possibles, on s'impose de toujours choisir le plus petit des deux cercles. Alors la suite des cercles aboutit aussi à un cycle de six, mais après une séquence pré-périodique qui peut être rendue arbitrairement longue en fonction du choix de la forme du triangle et du premier cercle[5].

Animation faisant apparaître les six cercles (les couleurs suivent l'ordre de l'arc-en-ciel).

Cette partie suit une démonstration proposée par Christoph Soland[6]. Notons les sommets du triangle ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}=A_{1}}$, etc.

La suite des cercles est formée de : ${\displaystyle C_{1}}$ de rayon arbitraire tangent à ${\displaystyle [A_{1}A_{3}]}$ et ${\displaystyle [A_{1}A_{2}]}$, ${\displaystyle C_{2}}$ tangent à ${\displaystyle C_{1}}$, ${\displaystyle [A_{2}A_{1}]}$ et ${\displaystyle [A_{2}A_{3}]}$, etc. , ${\displaystyle C_{i}}$ tangent à ${\displaystyle C_{i-1}}$, ${\displaystyle [A_{i}A_{i-1}]}$ et ${\displaystyle [A_{i}A_{i+1}]}$.

Les points de contact du cercle inscrit découpent les côtés du triangle en six segments de trois longueurs que l'on nomme ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ et ${\displaystyle x_{3}}$. Si on choisit comme unité de longueur le demi-périmètre, on est assuré que ces trois longueurs sont comprises entre 0 et 1. Il existe donc trois réels ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$ et ${\displaystyle \alpha _{3}}$ compris entre 0 et ${\displaystyle \pi /2}$ tels que ${\displaystyle x_{i}=\cos ^{2}\alpha _{i}}$ (on a donc ${\displaystyle \cos ^{2}\alpha _{1}+\cos ^{2}\alpha _{2}+\cos ^{2}\alpha _{3}=1}$).

Dans ces circonstances, le rayon r du cercle inscrit est ${\displaystyle \cos \alpha _{1}\cos \alpha _{2}\cos \alpha _{3}}$ (voir cercle inscrit).

De même il existe des réels ${\displaystyle \varphi _{i}}$ compris entre 0 et ${\displaystyle \pi /2}$ tels que ${\displaystyle \cos ^{2}\varphi _{i}}$ représente la distance du sommet ${\displaystyle A_{i}}$ aux points de contact de ${\displaystyle C_{i}}$ avec les côtés issus de ${\displaystyle A_{i}}$.

Théorème —

On obtient les relations :

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{2}&=&\pi -\varphi _{1}-\alpha _{3}&&\\\varphi _{3}&=&\pi -\varphi _{2}-\alpha _{1}&=&\varphi _{1}+\alpha _{3}-\alpha _{1}\\\varphi _{4}&=&\pi -\varphi _{3}-\alpha _{2}&=&\pi -\varphi _{1}-\alpha _{3}+\alpha _{1}-\alpha _{2}\\\varphi _{5}&=&\pi -\varphi _{4}-\alpha _{3}&=&\varphi _{1}-\alpha _{1}+\alpha _{2}\\\varphi _{6}&=&\pi -\varphi _{5}-\alpha _{1}&=&\pi -\varphi _{1}-\alpha _{2}\\\varphi _{7}&=&\pi -\varphi _{6}-\alpha _{2}&=&\varphi _{1}\end{aligned}}}$,

ce qui montre que le septième cercle est bien égal au premier.

Dans le cas où C₁ est le cercle inscrit du triangle, C₃ et C₅ le seront également et il compte pour trois cercles.

Premier cas particulier

Si le premier cercle est le cercle inscrit (${\displaystyle \varphi _{1}=\alpha _{1}}$), les cercles ${\displaystyle C_{3}}$ et ${\displaystyle C_{5}}$ sont égaux à ce cercle : les six cercles se réduisent à 4. Les trois "petits" cercles sont définis par ${\displaystyle \varphi _{2}=\pi -\alpha _{1}-\alpha _{3},\varphi _{4}=\pi -\alpha _{3}-\alpha _{2},\varphi _{6}=\pi -\alpha _{2}-\alpha _{1}}$.

Leurs rayons sont donc donnés par : ${\displaystyle {\frac {r_{2}}{r}}={\frac {\cos ^{2}(\alpha _{1}+\alpha _{3})}{\cos ^{2}\alpha _{2}}},{\frac {r_{4}}{r}}={\frac {\cos ^{2}(\alpha _{3}+\alpha _{2})}{\cos ^{2}\alpha _{1}}},{\frac {r_{6}}{r}}={\frac {\cos ^{2}(\alpha _{2}+\alpha _{1})}{\cos ^{2}\alpha _{3}}}}$.

La figure formée est celle d'un sangaku de 1814 [7], et apparaît aussi dans un ouvrage de Seiyo Sanpo en 1781 [8], ainsi que dans le Ladies' diary en 1730 [9], corrigé en 1817 [10].

La relation demandée dans ces ouvrages est, avec les notations de cette page : ${\displaystyle r={\sqrt {r_{2}r_{4}}}+{\sqrt {r_{4}r_{6}}}+{\sqrt {r_{6}r_{2}}}}$.

Si on choisit les angles tels que C₁ et C₄ soient égaux, on retrouve la construction des cercles de Malfatti.

Deuxième cas particulier

Si l'on force le quatrième cercle à être égal au premier, le cycle des cercles est d'ordre trois, et on obtient les cercles de Malfatti.

Les formules deviennent :

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{1}&=&\varphi _{4}&=&{\dfrac {1}{2}}(\pi +\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3})\\[4pt]\varphi _{2}&=&\varphi _{5}&=&{\dfrac {1}{2}}(\pi -\alpha _{1}+\alpha _{2}-\alpha _{3})\\[4pt]\varphi _{3}&=&\varphi _{6}&=&{\dfrac {1}{2}}(\pi -\alpha _{1}-\alpha _{2}+\alpha _{3})\end{aligned}}}$

Ceci permet de construire ces cercles.

• Théorème des sept cercles
• Problème de Malfatti

• (en) Eric W. Weisstein, « Six Circles Theorem », sur MathWorld