Théorème de Steiner-Lehmus

En mathématiques, le théorème de Steiner-Lehmus est un résultat de géométrie du triangle.

Théorème de Steiner-Lehmus — Soit un triangle ABC. Soient D et E les pieds des bissectrices issues de B et A. On a alors AE = BD si et seulement si ABC est isocèle.

AE=BD,~

\alpha =\beta ,\,\gamma =\delta

\Rightarrow ABC~\mathrm {est~isoc{\grave {e}}le}

La réciproque de l'équivalence est évidente : si ABC est isocèle en C, les triangles ABD et ABE ont un côté en commun, ainsi que les angles adjacents à ce côté. Alors les deux autres côtés se correspondent et AE = BD. La partie directe du théorème est plus difficile et a donné lieu à de nombreuses preuves[1], mais semble-t-il aucune preuve « directe », ne faisant appel qu'à la géométrie euclidienne classique.

Liens externes et bibliographie

(en) Mowaffaq Hajja, « A short trigonometric proof of the Steiner-Lehmus theorem », Forum Geometricorum, vol. 8,‎ 2008, p. 39-42 (lire en ligne).
(en) Róbert Oláh-Gál et József Sándor, « On trigonometric proofs of the Steiner-Lehmus theorem », Forum Geometricorum, vol. 9,‎ 2009, p. 155-160 (lire en ligne).
H. S. M. Coxeter et A. L. Greitzer, Redécouvrons la géométrie, Jacques Gabay, 1997 (ISBN 2-87647-134-5), p. 15-18

Références

différentes preuves du théorème collectées par Torsten Sillke

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