Théorème des trois carrés

N. Beguelin découvre en 1774[1] que chaque entier positif qui n'est ni de la forme 8n + 7, ni de la forme 4n, est somme de 3 carrés, sans pour autant fournir de preuve satisfaisante[2]. Cette assertion est clairement équivalente[3] à l'assertion (1) ci-dessus, dont Adrien-Marie Legendre, en 1797 ou 1798[4], donne une preuve défectueuse[5]. En 1801, Carl Friedrich Gauss donne la première preuve correcte et complète de ce théorème[6], en comptant même les solutions de l'écriture d'un entier en somme de trois carrés, ce qui généralise un autre résultat de Legendre[7], dont la preuve laissait également à désirer[8].

Avec le théorème des quatre carrés de Lagrange (qui devient d'ailleurs un corollaire du théorème des trois carrés[9]) et le théorème des deux carrés de Girard, Fermat et Euler, le problème de Waring pour k = 2 est entièrement résolu.

Le sens « seulement si » de l'équivalence est simplement dû au fait que modulo 8, tout carré est congru à 0, 1 ou 4. Pour la réciproque, les trois outils principaux de la preuve, due à Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1850[10] - [11] et devenue classique[9], sont

• la loi de réciprocité quadratique,
• le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet et
• la classe d'équivalence de la forme quadratique ternaire x₁² + x₂² + x₃².

Cette réciproque peut également se déduire du théorème de Davenport-Cassels[12], qui permet même de montrer que dès qu'un entier est somme de trois carrés de rationnels, il est somme de trois carrés d'entiers.