Théorème des nombres polygonaux de Fermat
En théorie additive des nombres, le théorème des nombres polygonaux de Fermat indique que tout entier naturel est une somme d'au plus n nombres n-gonaux. C'est-à-dire que tout entier positif peut être écrit comme la somme de trois nombres triangulaires ou moins, et comme la somme de quatre nombres carrés ou moins, et comme la somme de cinq nombres pentagonaux ou moins, et ainsi de suite.
Exemples
Par exemple, trois représentations du nombre 17, sont montrées ci-dessous :
- 17 = 10 + 6 + 1 (nombres triangulaires) ;
- 17 = 16 + 1 (nombres carrés) ;
- 17 = 12 + 5 (nombres pentagonaux).
Histoire
Le théorème est nommé en l'honneur de Pierre de Fermat, qui l'a énoncé sans preuve en 1638, promettant de le démontrer dans un travail séparé, qui n'est jamais paru[1]. Joseph-Louis Lagrange a démontré le cas carré en 1770 : c'est le théorème des quatre carrés de Lagrange, qui affirme que tout entier positif peut être représenté comme une somme de quatre carrés, par exemple, 7 = 4 + 1 + 1 + 1. Gauss a démontré le cas triangulaire en 1796, en commémorant l'occasion en écrivant dans son journal la ligne « ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ »[2], et publié une preuve dans son livre Disquisitiones arithmeticae. Pour cette raison, le résultat de Gauss est parfois connu comme le théorème Eureka[3]. Le théorème des nombres polygonaux a finalement été démontré par Cauchy en 1813[4]. La démonstration de Nathanson[5] est fondée sur le lemme suivant de Cauchy :
Pour tous entiers naturels impairs a et b tels que b2 < 4a et 3a < b2 + 2b + 4, il existe des entiers positifs s, t, u et v tels que a = s2 + t2 + u2 + v2 et b = s + t + u + v.
Notes et références
- (en) Sir Thomas Little Heath, Diophantus of Alexandria; A Study in the History of Greek Algebra, Cambridge University Press, (lire en ligne), p. 188.
- (en) Eric Temple Bell, « Gauss, the Prince of Mathematicians », dans James R. Newman, The World of Mathematics, vol. I, Simon & Schuster, , p. 295-339. Dover reprint, 2000, (ISBN 0-486-41150-8).
- (en) Ken Ono, Sinai Robins et Patrick T. Wahl, « On the representation of integers as sums of triangular numbers », Aequationes Mathematicae, vol. 50, nos 1-2, , p. 73-94 (DOI 10.1007/BF01831114, MR 1336863).
- Mém. Sc. Math. et Phys. de l’Institut de France, (I), 14, 1813-15, pp. 177-220 ; également dans Exercices de Math., Paris, 1, 1826, 265-296. Repris dans Œuvres de Cauchy, (2), VI, pp. 320-353. Journal des Mines, 38, 1815, p. 395. Rapport de Cauchy, Bull. Sc. par Soc. Philomatique de Paris, (3), 2, 1815, p. 196-7.
- (en) Melvyn B. Nathanson, « A short proof of Cauchy's polygonal number theorem », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 99, no 1, , p. 22-24 (DOI 10.2307/2046263, MR 866422).