Problème de Waring

Le nombre G(k) est supérieur ou égal à :

• 2^{r + 2} si k = 2^r avec r ≥ 2, ou si k = 3×2^r ;
• p^{r + 1} si p est un nombre premier strictement supérieur à 2 et k = p^r(p − 1) ;
• (p^{r + 1} − 1)/2 si p est un nombre premier strictement supérieur à 2 et k = p^r(p − 1)/2.

Ces minorations se déduisent facilement de la structure du groupe des unités de l'anneau ℤ/nℤ : par exemple dans le troisième cas, la minoration vient du fait que modulo p^{r + 1}, toute puissance k^e est congrue à 0, 1 ou –1.

On sait aussi que[15] pour tout entier k ≥ 1, G(k) ≥ k + 1 et l'on conjecture (par un argument de densité) qu'en l'absence de restrictions par des congruences, cette inégalité est en fait une égalité.

D'après les minorations ci-dessus, on a G(3) ≥ 4 et G(4) ≥ 16.

La majoration G(3) ≤ 7 a été démontrée en 1943 par Yuri Linnik[16] et George Leo Watson en a donné une preuve bien plus élémentaire en 1951[17]. Mais aucun nombre strictement compris entre 1 290 740 et 1,3.10⁹ ne nécessite plus de 5 cubes et quand N croît, le nombre d'entiers entre N et 2N nécessitant cinq cubes décroît à une vitesse qui incite à conjecturer que G(3) = 4[18]. En 2000, le plus grand nombre connu qui n'est pas somme de quatre cubes est 7 373 170 279 850, avec des arguments indiquant que c'est probablement le plus grand dans l'absolu[19].

Comme signalé plus haut, G(4) = 16. Plus précisément, tout entier strictement supérieur à 13 792 est somme de 16 puissances quatrièmes (Deshouillers, Hennecart et Landreau[20] l'ont démontré jusqu'à 10²⁴⁵ et Kawada, Wooley et Deshouillers à partir de 10²²⁰).

Les majorants de la table ci-contre, pour k de 5 à 20, sont dus à Vaughan et Wooley[21].

Vinogradov, à l'aide de sa version améliorée de la méthode de Hardy-Littlewood, publia de nombreux raffinements, arrivant en 1947 à[15] G(k) ≤ k(3logk + 11) et finalement, en 1959, à G(k) ≤ 2k(logk + log logk + C log log logk) pour une constante C suffisamment grande, non explicitée.

Karatsuba, utilisant sa forme p-adique de la méthode de Hardy-Littlewood-Ramanujan-Vinogradov pour estimer certaines sommes trigonométriques (indexées par des nombres à petits diviseurs premiers), obtint une majoration plus précise[22] : ${\displaystyle \forall k\geq 400,\quad G(k)<2k(\log k+\log \log k+6).}$

Il obtint par la suite[23] - [24] la généralisation 2-dimensionnelle suivante de ce problème :

Considérons un système d'équations de la forme ${\displaystyle x_{1}^{n-i}y_{1}^{i}+\dots +x_{k}^{n-i}y_{k}^{i}=N_{i},\quad i=0,1,\dots ,n,}$ où les entiers naturels N_i tendent vers l'infini à la même vitesse. Il existe deux constantes c₀, c₁ telles que :

• si k > c₀n²logn, un tel système a toujours des solutions (x₁, … , x_k, y₁, … , y_k) ∈ ℕ^2k ;
• si k < c₁n², il existe des N_i pour lesquels il n'en a pas.

Des raffinements mineurs ont été obtenus en 1989 par Vaughan.

Wooley a ensuite établi[25] l'existence d'une constante C telle que ${\displaystyle G(k)\leq k(\log k+\log \log k+C).}$

Vaughan et Wooley ont écrit un article de synthèse complet sur le problème de Waring[21].

• (en) W. J. Ellison, « Waring's problem », Amer. Math. Month., vol. 78,‎ 1971, p. 10-36 (lire en ligne)
  Exposé, contenant une formule précise pour g(k), une version simplifiée de la preuve de Hilbert et de nombreuses références.
• G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par François Sauvageot, préf. Catherine Goldstein), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »] [détail de l’édition], particulièrement les chapitres 20 (« Représentation d'un nombre par deux ou quatre carrés ») et 21 (« Représentation par des cubes ou des puissances plus élevées »).

• Base additive
• Problème de Waring-Goldbach (en)
• Théorème d'Erdős-Suranyi
• Problème des quatre cubes
• Somme de trois cubes d'entiers relatifs
• Théorème des nombres polygonaux de Fermat