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Problème des quatre cubes

Le problème des quatre cubes[1] consiste à demander si tout entier relatif est la somme de quatre cubes d'entiers relatifs.

En faisant X = T, Y = T, Z = - T + 1 dans l'identité

on obtient l'identité

qui montre que dans tout anneau, tout multiple de 6 (si on entend par là un élément de cet anneau de la forme 6a, a étant lui-même un élément de l'anneau) est somme de quatre cubes.

Puisque tout entier relatif est congru dans ℤ à son propre cube modulo 6, il en résulte que tout entier relatif est la somme de cinq cubes d'entiers relatifs.

Selon une conjecture encore ouverte[2], tout entier relatif serait la somme de quatre cubes d'entiers relatifs.

En 1966, V. A. Demjanenko a prouvé que tout entier relatif qui n'est congru ni à 4 ni à - 4 modulo 9 est la somme de quatre cubes d'entiers relatifs. Pour cela, il a notamment utilisé les identités suivantes :

Ces identités (et celles qu'on en tire par passage aux opposés) montrent immédiatement que tout entier relatif qui n'est congru ni à 4 ni à -4 modulo 9 et n'est congru ni à 2 ni à -2 modulo 18 est somme de quatre cubes d'entiers relatifs. À l'aide de raisonnements plus subtils, Demjanenko a prouvé que les entiers relatifs congrus à 2 ou à - 2 modulo 18 sont eux aussi sommes de quatre cubes d'entiers relatifs[3].

Le problème ne se pose donc plus que pour les entiers relatifs congrus à 4 ou à -4 modulo 9. On a par exemple

Notes et références

  1. Désigné comme « four cube problem » dans H. Davenport, The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers, Cambridge University Press, 7e édition, 1999, p. 173, 177.
  2. Du moins en 1982. Voir Philippe Revoy, « Sur les sommes de quatre cubes », L'Enseignement mathématique, t. 29, 1983, p. 209-220, en ligne sur le site retro.seals.ch de l'ETH-Bibliothek, p. 209 sur le point en question.
  3. V.A. Demjanenko, « On sums of four cubes », Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika, vol. 54, n° 5, 1966, p. 63-69, consultable en ligne sur le site Math-Net.Ru. Pour une démonstration en français, voir Philippe Revoy, « Sur les sommes de quatre cubes », L'Enseignement Mathématique, t. 29, 1983, p. 209-220, en ligne sur le site retro.seals.ch de l'ETH-Bibliothek.

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