Somme de trois cubes

Voici quelques exemples[1] :

${\displaystyle 3=1^{3}+1^{3}+1^{3}}$

${\displaystyle 10=1+1+8=1^{3}+1^{3}+2^{3}}$

${\displaystyle 36=1+8+27}$

${\displaystyle 20=1+(-8)+27=1^{3}+(-2)^{3}+3^{3}}$

et un exemple plus compliqué (donné dans la suite A060467 de l'OEIS) :

${\displaystyle 16=(-511)^{3}+(-1609)^{3}+1626^{3}.}$

On peut montrer qu'une condition nécessaire pour que ${\displaystyle n}$ s'exprime comme somme de trois cubes est que ${\displaystyle n}$ n'est pas congru à 4 ou 5 modulo 9, car les cubes sont égaux à 0, 1, ou −1 modulo 9, et la somme de trois de ces nombres ne donne ni 4 ni 5 modulo 9[2]. On ne sait pas si cette condition nécessaire est aussi suffisante.

Une représentation non triviale de ${\displaystyle n=0}$ comme somme de trois cubes serait un contre-exemple au dernier théorème de Fermat pour l'exposant 3, car l'équation ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=0}$ se réécrit ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z'^{3}}$ avec ${\displaystyle z'=-z}$, et comme l'a déjà prouvé Leonhard Euler[3], les seules solutions ont la forme

${\displaystyle a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0}$.

Pour la représentation de ${\displaystyle n=1}$ et ${\displaystyle n=2}$, il existe une infinité de solutions

${\displaystyle (9b^{4})^{3}+(3b-9b^{4})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1}$ découverte par Kurt Mahler en 1936[4]

et

${\displaystyle (1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}=2.}$ découverte par A. S. Verebrusov en 1908[5], cité par Louis J. Mordell[6].

Ces représentations peuvent être modifiées pour donner des représentations d'entiers qui sont des cubes ou les doubles d'un cube[6]. D'autres représentations, et d'autres familles paramétrées de représentations existent pour ${\displaystyle n=1}$[7]. Pour ${\displaystyle n=2}$, les autres représentations connues sont[7] - [8]:

${\displaystyle 1\ 214\ 928^{3}+3\ 480\ 205^{3}+(-3\ 528\ 875)^{3}=2,}$

${\displaystyle 37\ 404\ 275\ 617^{3}+(-25\ 282\ 289\ 375)^{3}+(-33\ 071\ 554\ 596)^{3}=2,}$

${\displaystyle 3\ 737\ 830\ 626\ 090^{3}+1\ 490\ 220\ 318\ 001^{3}+(-3\ 815\ 176\ 160\ 999)^{3}=2.}$

Seules les représentations de 1 et 2 peuvent être paramétrées ainsi par des polynômes de degré 4[6]. Même pour les représentations de 3, Louis J. Mordell écrit en 1953 : « je n'en connais pas d'autres » à propos de ses petites solutions

${\displaystyle 1^{3}+1^{3}+1^{3}=4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}=3}$,

et il mentionne qu'en plus, dans ce cas, les trois nombres élevés au cube doivent être égaux modulo 9[9] - [10].

Depuis 1955 et les études de Mordell, de nombreux auteurs ont cherché des solutions par exploration numérique [11] - [12] - [8] - [13] - [14] - [15] - [16] - [17] - [18] - [19]. En 2009, Elsenhans et Jahnel[20] utilisent une méthode de Noam Elkies qui fait usage d'algorithmes de réduction de réseaux pour chercher toutes les solutions de l'équation diophantienne

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$

pour des entiers ${\displaystyle n}$ positifs inférieurs à 1000 et pour ${\displaystyle \max(|x|,|y|,|z|)<10^{14}}$[18], et ils laissent ouvert les valeurs de ${\displaystyle n}$ égales à 33, 42, 74, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 et 975 parmi les entiers ${\displaystyle n\leq 1000}$. Après une vidéo de Timothy Browning dans Numberphile, Huisman en 2016 [21] étend cette recherche à ${\displaystyle \max(|x|,|y|,|z|)<10^{15}}$ ce qui lui permet de résoudre le cas 74 :

${\displaystyle 74=(-284\ 650\ 292\ 555\ 885)^{3}+66\ 229\ 832\ 190\ 556^{3}+283\ 450\ 105\ 697\ 727^{3}}$.

Grâce ces recherches exhaustives, tous les entiers ${\displaystyle n<100}$ qui ne sont pas congrus à 4 ou 5 modulo 9 possèdent une solution, laissant encore ouvert, à ce stade, les cas 33 et 42[19].

En mars 2019, Andrew Booker (en) résout le cas ${\displaystyle n=33}$, en découvrant que

${\displaystyle 33=8\ 866\ 128\ 975\ 287\ 528^{3}+(-8\ 778\ 405\ 442\ 862\ 239)^{3}+(-2\ 736\ 111\ 468\ 807\ 040)^{3}}$.

Pour obtenir ce résultat, Booker utilise une autre stratégie de recherche dont le temps de calcul est proportionnel à ${\displaystyle \min(|x|,|y|,|z|)}$ plutôt qu'à leur maximum[14] - [22], une approche qui avait déjà été suggérée par Heath-Brown et al.[8] - [23]. Il a aussi trouvé la représentation

${\displaystyle 795=(-14\ 219\ 049\ 725\ 358\ 227)^{3}+14\ 197\ 965\ 759\ 741\ 571^{3}+2\ 337\ 348\ 783\ 323\ 923^{3},}$

et vérifié qu'il n'y a pas de solutions pour ${\displaystyle n=42}$ et pour tout autre entier ${\displaystyle n\leq 1000}$ de statut inconnu avec ${\displaystyle |z|\leq 10^{16}}$. En septembre 2019, Andrew Booker et Andrew Sutherland (en) résolvent le cas ${\displaystyle n=42}$ et trouvent que

${\displaystyle 42=(-80\ 538\ 738\ 812\ 075\ 974)^{3}+80\ 435\ 758\ 145\ 817\ 515^{3}+12\ 602\ 123\ 297\ 335\ 631^{3}}$.

Ils utilisent pour cela la Charity EngineCharity Engine, un réseau mondial qui exploite la puissance de calcul inutilisée de 500 000 ordinateurs personnels ; le calcul a pris globalement 1,3 million d'heures de calcul[24]. Ils trouvent aussi que

${\displaystyle 906=(-74\ 924\ 259\ 395\ 610\ 397)^{3}+72\ 054\ 089\ 679\ 353\ 378^{3}+35\ 961\ 979\ 615\ 356\ 503^{3}}$[25]

et

${\displaystyle 165=(-385\ 495\ 523\ 231\ 271\ 884)^{3}+383\ 344\ 975\ 542\ 639\ 445^{3}+98\ 422\ 560\ 467\ 622\ 814^{3}\ }$[25].

Booker et Sutherland ont également trouvé une troisième représentation de ${\displaystyle n=3}$ après encore l'équivalent de 4 millions d'heures d'ordinateur sur Charity Engine, à savoir :

${\displaystyle 3=569\ 936\ 821\ 221\ 962\ 380\ 720^{3}+(-569\ 936\ 821\ 113\ 563\ 493\ 509)^{3}+(-472\ 715\ 493\ 453\ 327\ 032)^{3}.}$[26] - [27] - [28].

Cette découverte résout la question posée il y a 65 ans par Louis J. Mordell qui a suscité tant de recherches[29].

Les cas non résolus jusqu'à 1000 sont désormais 114, 390, 579, 627, 633, 732, 921 et 975[24].

Les entiers ${\displaystyle n\not \equiv 4{\pmod {9}}}$ et ${\displaystyle n\not \equiv 5{\pmod {9}}}$ inférieurs à 100 sont : 0, 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, ... (suite A060464 de l'OEIS) Ci-dessous sont listées les valeurs des solutions ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ et ${\displaystyle z}$ correspondantes de l'équation ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$ avec la valeur minimale de ${\displaystyle |y|}$ et ${\displaystyle |z|}$ et ${\displaystyle 0\leq |x|\leq |y|\leq |z|}$:

${\displaystyle x:\quad }$ 0, 0, 0, 1, -1, 0, 0, 0, 1, -2, 7, -1, -511, 1, -1, 0, 1, -11, -2901096694, -1, 0, 0, 0, 1, -283059965, -2736111468807040, -1, 0, 1, 0, 1, 117367, ... (suite A060465 de l'OEIS)

${\displaystyle y:\quad }$ 0, 0, 1, 1, -1, -1, 0, 1, 1, -2, 10, 2, -1609, 2, -2, -2, -2, -14, -15550555555, -1, -1, 0, 1, 1, -2218888517, -8778405442862239, 2, 2, 2, -3, -3, 134476,… (suite A060466 de l'OEIS)

${\displaystyle z:\quad }$ 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, -11, 2, 1626, 2, 3, 3, 3, 16, 15584139827, 3, 3, 3, 3, 3, 2220422932, 8866128975287528, 3, 3, 3, 4, 4, -159380,… ( suite A060467 de l'OEIS )

Dans les quatre listes ci-dessus, la 19^e valeur, est en gras : elles indiquent que pour ${\displaystyle n=24}$ la solution entière la plus petite de l'équation ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$ est donnée par les valeurs correspondantes, soit :

${\displaystyle (-2901096694)^{3}+(-15550555555)^{3}+15584139827^{3}=24}$.

Le problème des sommes de trois cubes a été popularisé aux États-Unis par Brady HaranBrady Haran, créateur de la chaîne Numberphile sur YouTube ; avec en 2015 une vidéo intitulée « The Uncracked Problem with 33 » contenant une interview avec Timothy Browning[30] ; six mois plus tard une autre vidéo, intitulée « 74 is Cracked » avec Browning, parle de la découverte par Huisman en 2016 d'une solution pour 74[31]. En 2019, Numberphile publie trois vidéos intitulées « 42 is the new 33 », « The mystery of 42 is solved » et « 3 as the sum of 3 cubes », pour signaler la découverte de solutions pour 33, 42, et la nouvelle solution pour 3[32] - [33] - [34].

La solution de Booker pour 33 a été décrite aux États-Unis dans des articles de Quanta MagazineQuanta Magazine[35] et New Scientist[36], ainsi que dans Newsweek qui annonce la collaboration de Booker et Sutherland en ces termes : « ...the mathematician is now working with Andrew Sutherland of MIT in an attempt to find the solution for the final unsolved number below a hundred: 42. »[37]. En France, un article en parle dans Pour la Science[38], un autre dans les Images des mathématiques[1].

Le nombre 42 a suscite un intérêt supplémentaire à cause de son apparition dans le roman de science-fiction Le Guide du voyageur galactique de Douglas Adams où il est la réponse à « la grande question sur la vie, l'univers et le reste ».

L'annonce de la solution pour 42 par Booker et Sutherland[39] - [40] a eu un écho international, y compris un article dans New Scientist[41], The Daily Mail[42], Die Zeit[43], Der Spiegel[44], et aussi sur Futura Science[45], Gurumed[46], Hitek[47] ou Tangente[48].

En 1992, Roger Heath-Brown a conjecturé que tout entier ${\displaystyle n}$ qui n'est pas congru à 4 ou 5 modulo 9 possède une infinité de représentations comme somme de trois cubes[49]. Le cas ${\displaystyle n=33}$ de ce problème a été utilisé par Bjorn Poonen comme premier exemple illustrant un article de synthèse[50] sur les problèmes indécidables en théorie des nombres, dont le dixième problème de Hilbert est l'exemple le plus connu. Même si ce cas particulier a été résolu depuis, il n'est pas connu si le problème de représenter un entier comme somme de trois cubes est décidable.

Si la conjecture de Heath-Brown est vraie, le problème est décidable. Dans ce cas, un algorithme consiste simplement à calculer le reste de ${\displaystyle n}$ modulo 9, et de retourner « non » si la valeur est 4 ou 5, et « oui » sinon. L'article de Heath-Brown contient aussi des conjectures sur la limite des entiers à tester pour trouver une solution explicite[49].

Une variante du problème liée au problème de Waring est la question de la représentation comme somme de trois cubes d'entiers naturels. Au XIX^e siècle, Charles Gustave Jacob Jacobi et ses collaborateurs ont compilé des tables de solutions pour ce problème[51]. Il est conjecturé que les nombres représentables ont une densité positive[52] - [53]. La question reste ouverte, mais Trevor Wooley a montré que ${\displaystyle \Omega (n^{0.917})}$ de ces nombres entre ${\displaystyle 1}$ et ${\displaystyle n}$ possèdent de telles représentations[54] - [55] - [56]. La densité est au plus ${\displaystyle \Gamma (4/3)^{3}/6\approx 0,119}$[2].

Tout entier peut être représenté comme somme de trois cubes de nombres rationnels (plutôt que comme somme de cubes d'entiers)[57] - [58].

• Hisanori Mishima, « Solutions of n = x³ + y³ + z³ for 0 ≤ n ≤ 99 »
• Daniel J. Bernstein, « threecubes »,
• Mathpages, « Sums of three cubes »
• Timothy Browning, « The Uncracked Problem with 33 », sur Numberphile
• Timothy Browning, « 74 is cracked », sur Numberphile
• Andrew Booker, « 42 is the new 33 », sur Numberphile
• Andrew Booker, « The Mystery of 42 is Solved », sur Numberphile
• Andrew Booker, « 3 as a sum of 3 cubes », sur Numberphile

• Problème des quatre cubes
• Problème de Waring