Théorème de Davenport-Cassels

La démonstration peut se faire par descente infinie sur la taille du dénominateur commun des ${\displaystyle x_{i}}$[1].

Une variante plus répandue de cet énoncé se limite au cas où la forme quadratique est définie positive. Dans ce cas, le fait qu'elle soit définie permet de reformuler l'hypothèse plus simplement en : « Si, pour tout n-uplet x de rationnels, il existe un n-uplet a d'entiers tel que |q(x – a)| < 1 alors… » [2].

Le théorème de Davenport-Cassels a pour conséquence le théorème suivant :

D'après André Weil[3], Fermat, dans une lettre de Mersenne du 15 juillet 1636, affirme avoir prouvé ce résultat mais dans une autre lettre du 2 septembre de la même année, il reconnaît que sa preuve doit encore être travaillée. En 1912, une preuve de ce théorème est donnée par L. Aubry[3] - [4] - [5]. Le théorème de Davenport-Cassels, postérieur à cette publication permet aussi d'en donner une preuve.

En effet, le carré de la distance usuelle sur ℚ² ou ℚ³ est une forme quadratique vérifiant les conditions du théorème de Davenport-Cassels. Pour s'en convaincre, il suffit d'observer que, pour tout rationnel ${\displaystyle x_{i}}$, il existe un entier ${\displaystyle a_{i}}$ tel que ${\displaystyle |x_{i}-a_{i}|\leq 1/2}$. Ainsi, pour tout couple (resp. triplet) ${\displaystyle x}$ de rationnels, il existe un couple (resp. triplet) ${\displaystyle a}$ d'entiers tel que ${\displaystyle d^{2}(x,a)=\sum _{i=1}^{2}|x_{i}-a_{i}|^{2}\leq {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}<1}$ (resp. ${\displaystyle d^{2}(x,a)=\sum _{i=1}^{3}|x_{i}-a_{i}|^{2}\leq {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}<1}$).

• Théorème des deux carrés de Fermat
• Théorème des 15