Opération ensembliste

L'ensemble des parties d'un ensemble E, noté habituellement ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$(E) ou ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$(E), est l'ensemble dont les éléments sont tous les sous-ensembles de E :

${\displaystyle {\mathfrak {P}}(E)=\{A\mid A\subseteq E\}.}$

Par exemple, si E = {a, b}, ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$(E) = {Ø, {a}, {b}, E}.

L'ensemble des parties d'un ensemble, muni de la réunion, de l'intersection et du complémentaire, forme une algèbre de Boole.

Son cardinal vérifie : ${\displaystyle \mathrm {card} ({\mathfrak {P}}(E))=2^{\mathrm {card} (E)}.}$ On utilise cette notation exponentielle pour le cardinal aussi bien dans le cas d'un ensemble E fini qu'infini.

Le produit cartésien, noté ${\displaystyle A\times B}$ (lire « A croix B »), de deux ensembles A et B est l'ensemble des couples dont la première composante appartient à A et la seconde à B :

${\displaystyle A\times B=\{(x,y)\mid (x\in A)\wedge (y\in B)\}.}$

Par exemple, si A = {a, b} et B = {c, d, e}, A × B = {(a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e)}.

Son cardinal est :

${\displaystyle \mathrm {card} (A\times B)=\mathrm {card} (A)\times \mathrm {card} (B).}$

La somme disjointe, ou réunion disjointe, de deux ensembles A et B, notée ${\displaystyle A+B,A{\dot {\cup }}B}$ ou encore ${\displaystyle A\sqcup B,}$ est définie par :

${\displaystyle A+B=(\{0\}\times A)\cup (\{1\}\times B)=\{(0,x)|(x\in A)\}\cup \{(1,x)|(x\in B)\}.}$

Les symboles 0 et 1 dans la définition précédente peuvent être remplacés par d'autres, par exemple Ø et {Ø}. La seule exigence est que les deux symboles utilisés diffèrent l'un de l'autre.

Par exemple, si A = {a, b}, A + A = {(0, a), (0, b), (1, a), (1, b)}.

Cette opération permet de définir la somme de cardinaux :

${\displaystyle \mathrm {card} (A)+\mathrm {card} (B)=\mathrm {card} (A+B).}$

Dans le cas où au moins l'un des deux ensembles est infini, on a aussi, que les ensembles soient disjoints ou non :

${\displaystyle \mathrm {card} (A)+\mathrm {card} (B)=\mathrm {card} (A\cup B)=\max(\mathrm {card} (A),\mathrm {card} (B)).}$

On définit F^E comme l'ensemble des applications de E dans F, qui s'identifie au produit cartésien ${\displaystyle \prod _{e\in E}F.}$

On peut alors identifier l'algèbre ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(E)}$ des parties d'un ensemble E à {0, 1}^E ; cela revient en effet à identifier chaque partie de E à son indicatrice.

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Algèbre des parties d'un ensemble » (voir la liste des auteurs).