Matrice conjuguée

En algèbre linéaire, la matrice conjuguée d'une matrice $A$ à coefficients complexes est la matrice ${\overline {A}}$ constituée des éléments de $A$ conjugués.

Plus précisément, si on note $a_{i,j}$ et $b_{i,j}$ les coefficients respectifs de $A$ et de ${\overline {A}}$ alors

b_{i,j}={\overline {a_{i,j}}}

Par exemple, si

A={\begin{pmatrix}3+i&5\\2-2i&i\end{pmatrix}}

alors ${\bar {A}}={\begin{pmatrix}3-i&5\\2+2i&-i\end{pmatrix}}$ .

Le concept de matrice conjuguée ne doit pas être confondu avec le concept de conjugaison dans un groupe général linéaire, on parle dans ce cas de matrices semblables.

Propriétés

On note $A$ et $B$ deux matrices quelconques de $M_{m,n}(\mathbb {C} )$ et $\alpha \in \mathbb {C}$ un scalaire.

L'application « conjugaison » est antilinéaire :
${\overline {A+B}}={\overline {A}}+{\overline {B}},\quad {\overline {\alpha A}}={\overline {\alpha }}{\overline {A}}$ .
La matrice conjuguée de ${\overline {A}}$ est $A$ . Par conséquent, l'application « conjugaison » de $\mathrm {M} _{m,n}(K)$ dans lui-même est une bijection et une involution.
La matrice conjuguée du produit de deux matrices est égale au produit des matrices conjuguées de ces deux matrices:
${\overline {AB}}={\overline {A}}\,{\overline {B}}$ .
Si une matrice carrée $A$ est inversible, alors sa matrice conjuguée l'est aussi, et la matrice conjuguée de l'inverse de $A$ est égale à l'inverse de sa matrice conjuguée :
${\overline {A^{-1}}}=\left({\overline {A}}\right)^{-1}$ .