Lemme de Schur

Si Id désigne l'application identité, on a :

${\displaystyle \quad \forall \lambda \in K\quad \forall u\in U\quad (\phi -\lambda {\rm {Id}})\circ u=u\circ (\phi -\lambda {\rm {Id}}).}$

On en déduit par application du lemme de Schur que ϕ – λ Id est un automorphisme ou est nulle. Soit λ* une valeur propre de ϕ, alors ϕ – λ* Id n'est pas un automorphisme, donc est l'application nulle, ce qui démontre le corollaire.

Vérifions dans un premier temps que φ satisfait la propriété suivante :

${\displaystyle \forall t\in G\quad \varphi \circ \rho _{E}(t)=\rho _{F}(t)\circ \varphi \quad \mathrm {ou~encore} \quad \varphi =\rho _{F}(t)\circ \varphi \circ \rho _{E}(t)^{-1}\;}$

Remarquons tout d'abord que, si t est un élément de G, l'application de G dans G qui à s associe ts est une permutation de G, . On en déduit que :

${\displaystyle \forall t\in G\quad \rho _{F}(t)\circ \varphi \circ \rho _{E}(t)^{-1}={\frac {1}{g}}\sum _{s\in G}\rho _{F}(t)\circ \rho _{F}(s)\circ \psi \circ \rho _{E}(s)^{-1}\circ \rho _{E}(t)^{-1}={\frac {1}{g}}\sum _{s\in G}\rho _{F}(ts)\circ \psi \circ \rho _{E}(ts)^{-1}=\varphi }$

1. Comme les représentations ne sont pas isomorphes, φ ne peut être à la fois injective et surjective. Le lemme de Schur montre que, comme φ n'est pas un automorphisme, φ est l'application nulle.
2. Si (E, ρ_E) = (F, ρ_F), les hypothèses du corollaire 1 sont vérifiées, ce qui montre que φ est une homothétie. Dans ce cas, l'expression définissant φ est la moyenne de g applications toutes semblables à ψ et donc ayant la même trace que ψ. Les traces de φ et ψ sont donc égales. En notant λ le rapport de l'homothétie φ on a donc : nλ = Tr(φ) = Tr(ψ). En appliquant tout ceci à un ψ arbitraire de trace 1, on trouve de plus que n est inversible dans K.

1. Si C une matrice de dimension mxn de coefficients (c_jk), la traduction du point 1 du corollaire précédent montre que :${\displaystyle \sum _{s\in G}A(s)CB(s)^{-1}=0}$ donc ${\displaystyle \forall i\in [1,n]\;\forall l\in [1,m]\quad \sum _{jk}\sum _{s\in G}a_{ij}(s)c_{jk}b_{kl}(s^{-1})=\sum _{jk}\left(\sum _{s\in G}a_{ij}(s)b_{kl}(s^{-1})\right)c_{jk}=0.}$Cette égalité est vraie pour toute matrice C, donc pour toute valeur de c_jk, ce qui démontre le point 1.
2. Avec les mêmes notations (maintenant B = A et m = n), on obtient d'après le point 2 du corollaire précédent :${\displaystyle {\frac {1}{g}}\sum _{s\in G}A(s)CA(s)^{-1}={\frac {1}{n}}{\rm {Tr}}(C){\rm {Id}}}$ donc ${\displaystyle \forall i,j\in [1,n]\quad {\frac {1}{g}}\sum _{jk}\sum _{s\in G}a_{ij}(s)c_{jk}a_{kl}(s^{-1})={\frac {1}{n}}\sum _{k}c_{kk}\delta _{il}.}$On en déduit :${\displaystyle \forall i,j,k,l\in [1,n]\quad {\frac {1}{g}}\sum _{s\in G}a_{ij}(s)a_{kl}(s^{-1})={\frac {1}{n}}\delta _{il}\delta _{jk},}$et le point 2 est démontré.

C'est une conséquence directe du corollaire 4. L'article associé démontre que la trace de ρ(s⁻¹) est égale au conjugué de la trace de ρ(s), pour tout élément s de G. En utilisant les notations du paragraphe précédent, on obtient :

${\displaystyle \langle \chi _{1},\chi _{2}\rangle ={\frac {1}{g}}\sum _{s\in G}\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ii}(s)\right){\overline {\left(\sum _{j=1}^{m}b_{jj}(s)\right)}}={\frac {1}{g}}\sum _{s\in G}\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ii}(s)\right)\left(\sum _{j=1}^{m}b_{jj}(s^{-1})\right)={\frac {1}{g}}\sum _{ij}\left(\sum _{s\in G}a_{ii}(s)b_{jj}(s^{-1})\right).}$

Si les deux représentations ne sont pas isomorphes, alors le point 1 du corollaire permet de conclure à l'orthogonalité.

D'après le point 2 on obtient :

${\displaystyle \langle \chi _{1},\chi _{1}\rangle ={\frac {1}{n}}\sum _{ij}\delta _{ij}\delta _{ij}=1,}$

ce qui démontre la proposition.