Numération en base non entière

La base ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ est très proche de la base 2 ; la méthode pour convertir un nombre écrit en binaire en base ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ est d'insérer un chiffre nul entre deux chiffres binaires ; par exemple

1911₁₀ = 11101110111₂ = 101010001010100010101_{${\displaystyle {\sqrt {2}}}$}

et

5118₁₀ = 1001111111110₂ = 1000001010101010101010100_{${\displaystyle {\sqrt {2}}}$}.

Ceci implique en particulier que tout entier peut être écrit en base ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ sans point décimal.

Cette base peut être utilisée pour illustrer la relation entre le côté d'un carré et de sa diagonale puisqu'un carré de côté 1_{${\displaystyle {\sqrt {2}}}$} a une diagonale de longueur 10_{${\displaystyle {\sqrt {2}}}$} et un carré de côté 10_{${\displaystyle {\sqrt {2}}}$} a une diagonale de longueur 100_{${\displaystyle {\sqrt {2}}}$}. Une autre utilisation est d'illustrer la proportion d'argent notée ${\displaystyle \delta _{Ag}}$, qui vaut ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}\simeq 2{,}414~213~562}$ (suite A014176 de l'OEIS), puisqu'elle s'écrit simplement ${\displaystyle \delta _{Ag}=11_{\sqrt {2}}}$ en base ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. Par ailleurs, l'aire d'un octogone régulier de côté 1_{${\displaystyle {\sqrt {2}}}$} est 1100_{${\displaystyle {\sqrt {2}}}$}, l'aire d'un octogone régulier de côté 10_{${\displaystyle {\sqrt {2}}}$} est 110000_{${\displaystyle {\sqrt {2}}}$}, l'aire d'un octogone régulier de côté 100_{${\displaystyle {\sqrt {2}}}$} est 11000000_{${\displaystyle {\sqrt {2}}}$}, etc...

La base d'or est le système de numération utilisant le nombre d'or, à savoir ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ comme base. Ce système de numération en base non entière est également désigné plus rarement comme « développement phinaire » (car le symbole pour le nombre d'or est la lettre grecque « phi »), mais aussi « système de numération de Bergman »[9]. Tout nombre réel positif possède une représentation standard en base φ où seuls les chiffres 0 et 1 sont utilisés, et où la suite « 11 » est évitée. Une représentation non standard en base φ avec ces deux chiffres (ou avec d'autres chiffres) peut toujours être réécrite en forme standard, en utilisant les propriétés algébriques du nombre φ — c'est-à-dire que φ + 1 = φ². Par exemple 11_φ = 100_φ. Malgré l'usage d'une base irrationnelle, tous les entiers naturels possèdent une représentation unique en développement fini dans la base φ. Les réels positifs qui possèdent une représentation finie dans la base φ sont les entiers de ℚ(√5) positifs.

Les autres nombres positifs possèdent des représentations standards infinies en base φ, les nombres rationnels positifs ayant des représentations périodiques. Ces représentations sont uniques, excepté celles des nombres qui ont un développement fini ainsi qu'un développement non fini (de la même manière qu'en base dix : 2,2 = 2,199999… ou 1 = 0,999…).

Cette base est présentée, entre autres, par George Bergman[10] en 1957 ; l'étude de la base d'or a produit des fruits en informatique, par exemple pour la conception de convertisseurs analogique-numérique et de processeurs tolérants au bruit[11].

La base e du logarithme naturel se comporte comme le logarithme décimal, et ln(1_e) = 0, ln(10_e) = 1, ln(100_e) = 2 et ln(1000_e) = 3.

La base e est le choix le plus économique comme base ${\displaystyle \beta >1}$ [12], quand l’économie d'une base est mesurée comme le produit de la base par la longueur de la chaîne nécessaire pour représenter un intervalle de valeurs.

La base π peut être utilisée pour illustrer simplement la relation entre le diamètre d'un cercle et sa circonférence, qui correspond à son périmètre; de la relation circonférence = diamètre × π, il résulte qu'un cercle de diamètre 1_π a une circonférence 10_π, un cercle de diamètre 10_π a une circonférence 100_π, etc. Similairement, comme aire = π × rayon², un cercle de rayon 1_π a une aire égale à 10_π, un cercle de rayon 10_π a une aire égale à 1000_π etc[13].

Il n'existe aucun système de numération positionnel dans lequel tout nombre admettrait une expression unique. Par exemple, en base dix, le nombre 1 possède les deux représentations 1,000... et 0,999... L'ensemble des nombres qui ont deux représentations est dense dans l'ensemble des réels (Petkovšek 1990) ; la classification des nombres réels qui possèdent un β-développement unique est plus compliquée que pour les bases entières (Glendinning et Sidorov 2001).

Si le développement du nombre réel 1 est

${\displaystyle d_{\beta }(1)=t_{1}\cdots t_{m}0^{\omega }}$, avec ${\displaystyle t_{m}\neq 0}$,

on dit que le développement de 1 est fini. Dans ce cas, on pose ${\displaystyle d_{\beta }^{*}(1)=(t_{1}\cdots t_{m-1}(t_{m}-1))^{\omega }}$, sinon, on pose ${\displaystyle d_{\beta }^{*}(1)=d_{\beta }(1)}$. Quand ${\displaystyle d_{\beta }^{*}(1)}$ est ultimement périodique, le nombre ${\displaystyle \beta }$ est appelé un nombre de Parry et le système est un système de Parry. Le nombre d'or ${\displaystyle \varphi }$ est un nombre de Parry ; en effet, on a ${\displaystyle d_{\beta }(1)=11}$ et ${\displaystyle d_{\beta }^{*}(1)=(10)^{\omega }}$. On doit à Parry la caractérisation suivante des β-développement pour les nombres de Parry[14] :

Une suite ${\displaystyle x=(x_{i})_{i\geq 1}}$ d'entiers naturels est le β-développement d'un nombre réel de [0,1[ si et seulement si les suites décalées ${\displaystyle (x_{n+i})_{i\geq 1}}$ sont lexicographiquement inférieures à ${\displaystyle d_{\beta }^{*}(1)}$d∗β(1) pour tout ${\displaystyle n\geq 0}$.

Un nombre de Pisot-Vijayaraghavan (ou plus simplement nombre de Pisot) est un entier algébrique réel dont tous les conjugués (réels ou complexes) sont de module strictement inférieur à 1. Un système de Pisot est un système dont la base β est un nombre de Pisot.

Ces nombres jouent un rôle dans la classification des nombres dont les β-développements sont périodiques. Soit β > 1, et soit ${\displaystyle \mathbb {Q} (\beta )}$ la plus petite extension de corps des nombres rationnels contenant β. Alors tout nombre réel dans l'intervalle [0,1[ qui a un β-développement ultimement périodique β appartient à ${\displaystyle \mathbb {Q} (\beta )}$. Plus précisément[15], on a :

• Si tout nombre dans ${\displaystyle \mathbb {Q} (\beta )\cap [0,1[}$ a un β-développement ultimement périodique, alors β est un nombre de Pisot ou un nombre de Salem;
• Si β est un nombre de Pisot, alors ${\displaystyle \mathbb {Q} (\beta )\cap [0,1[}$ est l'ensemble des nombres qui ont un β-développement ultimement périodique. L'ensemble des mots représentant les entiers naturels est un langage régulier[8].

Un nombre de Pisot est aussi un nombre de Parry[16], de sorte qu'un système de Pisot est un système de Parry.

Les systèmes de numération de Bertrand ont été introduits et étudiés par Anne Bertrand-Mathis[16]. Un système de numération général ${\displaystyle U}$ est un système de Bertrand si, pour tout mot non vide ${\displaystyle w}$ sur ${\displaystyle A_{U}}$, on a

${\displaystyle w\in \operatorname {rep} _{U}(\mathbb {N} )}$ si et seulement si ${\displaystyle w0\in \operatorname {rep} _{U}(\mathbb {N} )}$.

Le système de numération usuel en base ${\displaystyle k}$ est un système de Bertrand. De même, le système de numération de Fibonacci usuel ; en revanche, si on considère la suite ${\displaystyle F=\{1,3,4,7,\ldots \}}$ définie par ${\displaystyle F_{0}=1,F_{1}=3,F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n},}$ elle n'est plus de Bertrand parce que le nombre 2 est la représentation gloutonne de l'entier 2, et la représentation ${\displaystyle 20(=2\times 3+0)}$ du nombre 6 n'est pas une représentation gloutonne puisque ${\displaystyle \operatorname {rep} _{F}(6)=102(=4+2\times 1)}$.

La caractérisation suivante est due à Anne Bertrand :

Un nombre de Bertrand est un nombre réel β>1 vérifiant ces conditions.

Exemple : Le système de numération donné par la récurrence ${\displaystyle U_{n+1}=3U_{n}+1}$ et ${\displaystyle U_{0}=1}$ est tel que

${\displaystyle 0^{*}\operatorname {rep} _{U}(\mathbb {N} )=\{0,1,2\}^{*}\cup \{0,1,2\}^{*}30^{*}}$

Les systèmes de Parry sont un sous-ensemble strict des systèmes de Bertrand; l'exemple ci-dessus est n'est pas un système de Parry[8].