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Préfixe binaire

Les prĂ©fixes binaires sont souvent utilisĂ©s lorsqu’on a affaire Ă  de grandes quantitĂ©s d’octets. Ils sont dĂ©rivĂ©s, tout en Ă©tant diffĂ©rents, des prĂ©fixes du SystĂšme international d'unitĂ©s (kilo-, mĂ©ga-, giga- et ainsi de suite).

La raison d’ĂȘtre de ces prĂ©fixes binaires est d’éviter la confusion de valeur avec les prĂ©fixes SI.

Du fait que les capacitĂ©s de mĂ©moires d’ordinateurs sont des puissances de deux ou des multiples de telles puissances, l’utilisation de puissances de 1 024 = 210 comme prĂ©fixes pour de telles capacitĂ©s et, de façon dĂ©rivĂ©e, pour toutes les tailles de programmes et de supports informatiques, est venue naturellement aux informaticiens. Le problĂšme est que les premiers informaticiens n’ont pas Ă©prouvĂ© le besoin d’inventer de nouveaux prĂ©fixes ; ils ont simplement utilisĂ© les prĂ©fixes SI en changeant lĂ©gĂšrement leur valeur (par exemple kilo → 1 024 au lieu de 1 000. L’habitude en est ensuite restĂ©e.

Si l’erreur ainsi faite est faible pour les premiĂšres capacitĂ©s mĂ©moires qui s’exprimaient en ko (2,4 %), elle devient difficilement tolĂ©rable dans le cas des capacitĂ©s actuelles qui s’expriment en Go (7,4 %), voire en To (10 %).

C’est la raison pour laquelle le besoin s’est fait sentir de crĂ©er les prĂ©fixes binaires. Bien qu’ils existent depuis 1998 (voir ci-dessous : normes), certains informaticiens sont rĂ©ticents Ă  utiliser ces prĂ©fixes. Donc les deux systĂšmes cohabitent actuellement, ce qui permet d’entretenir une confusion pour le grand public. D’autant plus que les vendeurs de disques dur, CD et DVD ont bien compris leur intĂ©rĂȘt d’utiliser les prĂ©fixes SI avec leurs vraies valeurs : ils suivent ainsi la norme de 1998, mais ceux de leurs acheteurs qui ne la suivent pas croient acheter des disques de plus grandes capacitĂ©s que ce qui est indiquĂ©.

Une autre pratique des informaticiens a Ă©tĂ© de raisonner en adoptant l’octet pour unitĂ© implicite et donc d’abrĂ©ger les prĂ©fixes : k, M, et G pour kilooctet, mĂ©gaoctet et gigaoctet. Un terme tel que « trois mĂ©gaoctets » est parfois abrĂ©gĂ©, de façon incorrecte selon les normes, en « 3 M » au lieu de « 3 Mo », ce qui entretient lĂ  aussi une certaine confusion.

Normes

En 1999, le ComitĂ© technique 25 (QuantitĂ©s et unitĂ©s) de la Commission Ă©lectrotechnique internationale (CEI) a publiĂ© l’Amendement 2 de la norme CEI 60027-2 : Symboles littĂ©raux Ă  utiliser en Ă©lectrotechnique – DeuxiĂšme partie : TĂ©lĂ©communications et Ă©lectronique. Cette norme, d’abord publiĂ©e en 1998, introduit les prĂ©fixes kibi-, mĂ©bi-, gibi-, tĂ©bi-, pĂ©bi- et exbi-. Les noms sont formĂ©s en prenant la premiĂšre syllabe de chaque prĂ©fixe SI et en lui suffixant bi pour « binaire ». La norme stipule Ă©galement que les prĂ©fixes SI ont toujours leurs valeurs de puissances de 10 et ne doivent jamais ĂȘtre utilisĂ©s comme puissances de 2.

Largement inspirĂ© par la CEI, l’IEEE a adoptĂ© ces prĂ©fixes dans le standard IEEE 1541 et le CENELEC en a fait une norme europĂ©enne sous la rĂ©fĂ©rence EN 60027-2:2007[1].

Dans la deuxiĂšme version parue en 2004, les prĂ©fixes CEI s’arrĂȘtaient initialement Ă  exbi-, correspondant au prĂ©fixe SI exa-. Les deux autres prĂ©fixes SI zetta- (1021) et yotta- (1024) seront « traduits » un an plus tard lors de la publication de la troisiĂšme version.

L’usage de cette norme ne s’est pas encore gĂ©nĂ©ralisĂ©. MalgrĂ© tout, les derniĂšres versions de certains logiciels, voire de systĂšmes d’exploitations (comme Ubuntu Ă  partir de la version 10.10 et Mac OS X Ă  partir de Snow Leopard), en tiennent maintenant compte. Par contre, d'autres comme Microsoft Windows continuent d'utiliser des valeurs binaires avec des prĂ©fixes SI.

Tableaux des préfixes binaires et décimaux

Voici à gauche le tableau des préfixes binaires et à droite celui des préfixes décimaux, pour comparaison.

Préfixes binaires (préfixes CEI)
Nom Symbole 210a = facteur a
kibi Ki 210 = 1 024 1
mĂ©bi Mi 220 = 1 048 576 2
gibi Gi 230 = 1 073 741 824 3
tĂ©bi Ti 240 = 1 099 511 627 776 4
pĂ©bi Pi 250 = 1 125 899 906 842 624 5
exbi Ei 260 = 1 152 921 504 606 846 976 6
zĂ©bi Zi 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 7
yobi Yi 280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 8
Préfixes décimaux (préfixes SI)
Nom Symbole 103a = facteur a Erreur Erreur inverse
kilo k 103 = 1 000 1 2,4 % -2,3 %
mĂ©ga M 106 = 1 000 000 2 4,9 % -4,6 %
giga G 109 = 1 000 000 000 3 7,4 % -6,9 %
tĂ©ra T 1012 = 1 000 000 000 000 4 10 % -9,1 %
pĂ©ta P 1015 = 1 000 000 000 000 000 5 13 % -11 %
exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 6 15 % -13 %
zetta Z 1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000 7 18 % -15 %
yotta Y 1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 8 21 % -17 %

Dans ce deuxiĂšme tableau, l’erreur indiquĂ©e dans l'avant derniĂšre colonne est celle effectuĂ©e quand on utilise un prĂ©fixe dĂ©cimal Ă  la place d’un prĂ©fixe binaire (et non le contraire). Si cette erreur n’est que de 2,4 % pour kilo au lieu de kibi, ce qui est parfois supportable, elle atteint 7,4 % pour giga/gibi, et mĂȘme presque 10 % pour tĂ©ra/tĂ©bi.

Ce rapprochement entre préfixes décimaux et binaires provient d'une coïncidence arithmétique qui fait que 1 024 = 210 est proche de 1 000 = 103, à 2,4 % prÚs. Cette coïncidence permet plus généralement d'estimer les puissances successives de 2 à partir des puissances successives de 10. Cela permet de mieux apprécier l'ordre de grandeur de chaque puissance de deux, voire de trouver une approximation en notation décimale, pour des exposants pas trop élevés.

La formule 210a + b ≈ 2b103a donne une bonne prĂ©cision pour les exposants « 10a + b » (puissance de 2) infĂ©rieurs Ă  50 environ, c'est-Ă -dire pour les exposants « 3a » (puissance de 10) infĂ©rieurs Ă  15 environ. Pour les exposants « 10a + b » (puissance de 2) infĂ©rieurs Ă  300 environ, c'est-Ă -dire pour les exposants « 3a » (puissance de 10) infĂ©rieurs Ă  90 environ, « 3a » est toujours une estimation satisfaisante pour l'ordre de grandeur, c'est-Ă -dire pour le nombre de zĂ©ros Ă  inscrire aprĂšs le « 1 ».

Pour a = 5 et b = 3 par exemple, l'approximation donne : 253 ≈ 8 × 1015. Or, si 1015 reste un bon ordre de grandeur, la valeur rĂ©elle de 253 est plus proche de 9 × 1015.

Pour les exposants « 10a + b » (puissance de 2) supérieurs à 300 environ, c'est-à-dire pour les exposants « 3a » (puissance de 10) supérieurs à 90 environ, l'approximation devient de moins en moins précise ; l'ordre de grandeur se décale progressivement pour atteindre un écart d'une magnitude (un zéro) vers « 3a » (puissance de 10) = 300 environ.

Ainsi, pour a = 100 et b = 0 par exemple, l'Ă©cart relatif entre 21000 et 10300 est d'environ

Dans les deux tableaux ci-dessus, « b » est toujours égal à 0, « a » varie de 1 à 8. La valeur de « a » est indiquée dans la quatriÚme colonne de chacun des deux tableaux. La formule utilisée est rappelée dans le titre de la colonne précédente contenant également la valeur du résultat.

Usage historique

Selon chaque informaticien et (ou) Ă©lectronicien, les prĂ©fixes SI prenaient le sens des puissances de 2 (valeurs du tableau de gauche de la section prĂ©cĂ©dente) ou de 10 (valeurs du tableau de droite de la section prĂ©cĂ©dente). Ces guerres de clochers sont toujours d’actualitĂ© et entretiennent la confusion qui en dĂ©coule.

Les fabricants de pĂ©riphĂ©riques de stockage ne s'y trompent pas et utilisent habituellement les prĂ©fixes SI, le nombre rĂ©sultant Ă©tant le plus grand. Ainsi un disque dur de 30 Go a une capacitĂ© de 30 × 109 octets, soit environ 28 × 230 octets ou 28 Gio[2]. En tĂ©lĂ©communications, une connexion Ă  1 Mbit/s transfĂšre 106 bits par seconde. Cependant, dans la hiĂ©rarchie numĂ©rique plĂ©siochrone, les lignes E1, dites 2 Mbit/s correspondent en rĂ©alitĂ© Ă  2 048 000 bit/s (soit 32 canaux de 64 kbit/s).

Parfois les deux systĂšmes peuvent se mĂ©langer. Pour les fabricants de disquettes, le prĂ©fixe « M » ne signifiait ni 1 000 × 1 000, ni 1 024 × 1 024. La disquette standard 1,44 MB a une capacitĂ© de 1,44 × 1 000 × 1 024 octets.

Parfois le symbole « K » est utilisĂ© Ă  la place du symbole « k », essentiellement parce que le systĂšme mĂ©trique n'a pas Ă©tĂ© assimilĂ© par tous les anglo-saxons. Certains estiment que « k » correspond au prĂ©fixe SI en puissance de dix et que « K » correspond au prĂ©fixe en puissance de deux. Ces deux types d’usages sĂšment eux aussi la confusion. Le SI a refusĂ© « K », qui correspond au symbole du kelvin.

Il peut y avoir Ă©galement confusion au niveau des symboles des unitĂ©s de mesure d’information elles-mĂȘmes, ceux-ci n’étant pas dĂ©finis univoquement. La pratique recommandĂ©e est « b » ou « bit » pour le bit, « o » pour l’octet et « B » pour le byte. Les unitĂ©s « b » et « B » ne sont pas reconnues par le SI. Dans ce systĂšme, « B » est le symbole du bel et « b » le symbole du barn. L’utilisation du « O » (« o » majuscule) pour « octet » n'est Ă©galement pas reconnue par le SI Ă  cause du risque de confusion avec le zĂ©ro.

Notes et références

  1. (en) EN 60027-2:2007 « Copie archivée » (version du 17 juin 2008 sur Internet Archive), Informations sur la norme européenne.
  2. Plus prĂ©cisĂ©ment : 27,939 677 238 464 3 Gio.

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

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