Puissance de deux

Suivant le domaine d'activité, une puissance de deux se note :

• 2ⁿ
• 2 ^ n
• 2 ** n
• 2 [3] n
• 2 ↑ n (Notation des puissances itérées de Knuth)
• puissance(2,n)
• power(2,n)
• 1 << n
• H₃(2,n)
• 2 → n → 1 (Notation des flèches chaînées de Conway)

Il existe plusieurs prononciations :

• 2 exposant n
• 2 puissance n
• 2 à la puissance n
• 2 élevé à la puissance n
• n-ième puissance de 2

L'informatique qui est basée sur le système binaire utilise toujours les puissances de deux. En particulier, 2ⁿ donne le nombre de façons dont les bits dans un entier binaire de longueur n peuvent être arrangés. Par exemple, un octet contient 8 bits et peut donc stocker 2⁸ valeurs différentes (soit 256).

Aussi, un kibioctet contient 1 024 (2¹⁰) octets.

La plupart des dimensions en informatique sont des sommes de puissances de 2, que ce soit pour la taille de la mémoire (2, 4, 8 ou 12 gibioctets), la résolution vidéo (pour un écran de 14 pouces, il y a généralement 640 par 480 pixels, où 640 = 512 + 128 et 480 = 256 + 128 + 64 + 32) ou le dimensionnement des mémoires de masse.

Les 33 premières puissances de deux[1] sont :

Les cellules de mémoires modernes et les registres manipulent souvent un nombre de bits qui est une puissance de deux. Les puissances les plus fréquentes qui apparaissent sont celles dont l'exposant est aussi une puissance de deux.

La notation ${\displaystyle 2^{2^{n}}\quad {\rm {signifie}}\quad 2^{(2^{n})}}$ (et non (2²)ⁿ, cette dernière expression valant en fait 2²ⁿ=4ⁿ).

Exemples[2]

• n = 6 : 2⁶⁴ = 18 446 744 073 709 551 616
• n = 7 : 2¹²⁸ = 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456

• 2²⁴ = 16 777 216, le nombre de couleurs uniques qui peuvent être affichées en couleurs vraies, qui est utilisé par la plupart des écrans d'ordinateur.
  Ce nombre est le résultat de l'utilisation du système à trois canaux RVB, avec 8 bits pour chaque canal, ou 24 bits au total.
• 2³² – 1 = 4 294 967 295 est la taille maximale d'un fichier dans le système de fichiers FAT32, soit 4 Gio moins 1 octet.
• 2³² = 4 294 967 296 est le nombre d'adresses IPv4.
• 2⁶⁴ – 1 = 18 446 744 073 709 551 615, est le nombre de grains de blé que Sissa, l'inventeur légendaire du jeu d'échecs, a demandé à son seigneur à travers un problème mathématique : un (2⁰) sur la première case, deux (2¹) sur la deuxième case, puis quatre (2²), huit (2³), seize (2⁴), etc. jusqu'à 2⁶³ car un échiquier comporte 64 cases. Il aurait ainsi dû recevoir 2⁶⁴ – 1 grains, nombre tellement élevé que même en 2012, il représente 1000 fois la production mondiale annuelle de blé.
• 2¹²⁸ = 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456, qui vaut approximativement 3,4 10³⁸, est le nombre d'adresses IPv6.

• La somme des n premières puissances de 2 est égale à la puissance de 2 suivante moins 1 :${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=0}^{n-1}2^{i}=2^{n}-1}$ou encore : toute puissance de 2 est égale à la somme de toutes les puissances de 2 inférieures plus 1 :${\displaystyle 2^{n}=S_{n}+1.}$Les puissances de 2 sont donc des nombres presque parfaits.
• Un entier est divisible par 2ⁿ si et seulement si ses n derniers chiffres binaires sont tous des zéros.
• Les puissances de 2 sont les seuls nombres qui ne sont pas divisibles par un nombre impair autre que 1.
• Les chiffres des unités des puissances successives de 2 forment une suite périodique (2, 4, 8 et 6).
• Les nombres formés par les chiffres des dizaines et des unités des puissances successives de 2 (en partant de 2²) forment également une suite périodique (04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76 et 52)
• Chaque puissance de 2 est une somme de coefficients binomiaux :${\displaystyle 2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}.}$
• Le nombre réel 0,12481632641282565121024… formé par la suite (2ⁿ)_n∈ℕ des puissances de 2 est un nombre univers[3].

Un nombre de Mersenne premier est un nombre premier de la forme 2^N – 1. Par exemple, le nombre premier 31, qui s'écrit sous la forme 2⁵ – 1.

Pour que 2^N – 1 soit premier, il est nécessaire que N le soit, mais cette condition n'est pas suffisante. Le plus petit contre-exemple est
2¹¹ – 1 = 2047 = 23 × 89.