Histoire de la géométrie

Un extrait du papyrus Rhind - vers 1650 av. J.-C. - British Museum

Les pyramides égyptiennes et les plans d'irrigation témoignent assez d'une connaissance au moins empirique des figures planes et solides. Les rares documents subsistant (papyrus de Moscou, papyrus Rhind, papyrus Kahun) montrent l'utilisation de règles pratiques pour résoudre des questions spécifiques faisant intervenir les notions de longueur, d'angle, d'aire et de volume.

La géométrie semble être apparue chez les Égyptiens à la suite de la nécessité à laquelle ils étaient confrontés d'arpenter chaque année des terrains transformés par les crues du Nil. Elle s'est ensuite développée pour les besoins de l'architecture, de l'agriculture et de l'astronomie.

La tablette prébabylonienne YBC 7289 datant de -1700 ± 100 témoigne des premiers questionnements sur le calcul des longueurs et donne une bonne approximation de la longueur de la diagonale d'un carré (racine carrée de 2).

Parmi les résultats de ces sciences Antiques, on peut citer des versions du théorème de Pythagore[Note 1], développé par les Égyptiens et les Babyloniens 1 500 ans avant les Pythagoriciens, une table de trigonométrie chez les Babyloniens, ou encore la formule exacte du volume d'une pyramide carrée tronquée.

La civilisation de la vallée de l'Indus a utilisé des résultats de géométrie aussi développés que leurs contemporains en Mésopotamie et en Égypte.

La géométrie a été pratiquée en Inde depuis lors, et le mathématicien indien du VII^e siècle Brahmagupta, auquel on attribue l'invention du zéro, est aussi l'auteur d'un théorème qui porte son nom. Par ailleurs, la contribution indienne au développement de la trigonométrie est également tout à fait significative (voir Histoire des fonctions trigonométriques).

Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique

Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique, texte fondamental des connaissances de la civilisation chinoise, offrent des calculs d'aires et de volumes, et une formulation du théorème de Pythagore. Ils ont été produits vers le I^er ou le II^e siècle av. J.-C..

Démonstration visuelle du théorème de Pythagore

Les cinq solides platoniciens, sous forme de dés à jouer.

Platon et son Académie représentés sur une mosaïque de Pompéi.

Thalès de Milet et Pythagore passent pour être parmi les premiers à avoir développé un raisonnement hypothético-déductif et à s'être interrogés sur la valeur des raisonnements.

On attribue généralement à Thalès l'égalité des angles opposés, l'égalité des angles à la base d'un triangle isocèle, l'étude des angles inscrits et bien sûr le théorème de Thalès.

On attribue aux pythagoriciens la preuve du théorème de Pythagore et la figuration des nombres entiers.

On ne peut manquer, dans une revue de la géométrie antique, de rappeler l'importance de la recherche en géométrie pour Platon et ses disciples, et de citer la formule célèbre (mais légendaire) qui résume cette importance au sein de son Académie, « que nul n'entre ici, s'il n'est géomètre »[Note 2].

On a pu prêter à l'illustre philosophe l'introduction des cinq solides platoniciens : le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, l'icosaèdre et le dodécaèdre régulier. Il est cependant plus vraisemblable que leur découverte n'ait pas été faite par un seul homme, et que le mathématicien Grec ayant identifié l'existence des seuls 5 polyèdres réguliers soit Théétète. Par ailleurs, Platon est crédité d'avoir introduit l'idée que toutes les figures géométriques puissent être construites à l'aide d'une règle et d'un compas. Les problèmes de la trisection de l'angle, de la duplication du cube, et de la quadrature du cercle qui résultent de cette hypothèse, ont hanté l'antiquité, les mathématiciens Arabes et les modernes jusqu'au XIX^e siècle. Ce dernier problème incita Ménechme à introduire les coniques.

Les proportions et l'incommensurabilité[Note 3] sont introduites par Eudoxe de Cnide.

Propositions 31, 32 et 33 du livre XI des Éléments d'Euclide (vol. 2 du manuscrit, feuillets 207 verso - 208 recto - bibliothèque vaticane)

Mais le champion toutes catégories de la géométrie grecque est bien sûr Euclide. Ses Éléments sont le premier ouvrage de géométrie qui nous soit parvenu pour ainsi dire intégralement. Euclide y expose de manière si précise et si rigoureuse les principaux travaux connus à son époque en géométrie, qu'on a pu le considérer comme l'inventeur même de la méthode axiomatique.

Il n'y a pas d'ouvrage mathématique plus illustre que celui d'Euclide, qui, en nombre d'éditions ne le cède qu'à la Bible ou au Coran : Il fut tenu pour l'expression de la vérité absolue pendant plus de 2 000 ans.

Les Éléments d'Euclide déroulent l'ensemble des connaissances de géométrie de l'Antiquité à partir de 5 axiomes fondamentaux. Parmi ces axiomes, le cinquième présente l'aspect d'un simple théorème, en sorte que les générations successives de géomètres se sont efforcées de le démontrer, on le sait maintenant, en vain.

Il faut également signaler la contribution d'Archimède, qui introduisit le raisonnement par exhaustion, montra l'existence du nombre pi, et s'approcha des conceptions différentielles qu'il n'atteignit cependant pas (voir par exemple La quadrature de la parabole, De la mesure du cercle, De la sphère et du cylindre, Des spirales, et l'aventure du palimpseste.)

On mentionnera aussi Apollonius, qui publia au tournant du II^e siècle av. J.-C. un traité sur les coniques qui fit autorité jusqu'aux temps modernes.

Copie du X^e siècle d'Aristarque de Samos (III^e siècle av. J.-C.) montrant le calcul des dimensions relatives de la Terre, de la Lune et du Soleil.

Après ces géants des mathématiques, la géométrie marquera le pas dans l'Antiquité. Les innovations géométriques de Pappus ou de Proclus ne pouvant être tenues pour comparables, même de manière approchante.

En parallèle à la géométrie théorique, les anciens ont également développé une science plus directement orientée vers les applications pratiques. En particulier, les astronomes Hipparque et Ptolémée ont introduit des relations entre les côtés et les angles des triangles qui sont comme les prémisses de la trigonométrie.

La création de la géométrie analytique est l'œuvre de Descartes, et à un titre moindre de Fermat. Les idées de Descartes sont celles de repère et de projection orthogonale. Cette théorie permet de concevoir l'espace géométrique comme une collection de points représentés chacun par trois nombres.

L'invention cartésienne (1637) constitue une véritable révolution dans le petit monde de la géométrie, puisque par le moyen de l'utilisation de ces repères, cette science se trouve en quelque sorte ramenée à des calculs sur des ensembles de deux ou trois nombres. La reine Antique des mathématiques qu'était la géométrie se voit ainsi ravir le trône au profit d'une science, somme toute assez nouvelle : l'algèbre.

Principia Mathematica - œuvre magistrale de Newton dans laquelle il rénove la vision géométrique d'Euclide en introduisant le calcul différentiel.

Certaines méthodes de calcul d'Archimède recouraient à la division d'éléments en d'autres de plus en plus petits. Par exemple, pour approcher pi, Archimède calculait le périmètre du polygone circonscrit au cercle et celui du polygone inscrit. Il obtenait ainsi un encadrement de pi, et avait par cette méthode trouvé l'approximation de 22/7.

Au cours de la première moitié du XVII^e, un certain nombre de savants occidentaux tels Fermat, Pascal, Gregory, Barrow, Cavalieri, très familiers des raisonnements d'Archimède, avaient commencé à simplifier ses méthodes.

Vers les années 1670, les illustres savants anglais et allemand que sont Newton et Leibniz, explicitent enfin les méthodes de calcul permettant l'utilisation des infiniment petits. Cette découverte est l'une des plus importantes jamais faites en mathématiques. Elle provoqua d'ailleurs, entre les deux génies conscients chacun de l'importance de sa trouvaille, une querelle de priorité assez amère... (compte tenu des nettes différences d'approche de la question, il est aujourd'hui tenu pour hautement vraisemblable que les deux savants sont arrivés à la même découverte indépendamment. Au niveau strict du calendrier, la priorité de la découverte revient, au dire de ses collègues anglais, à Newton. Celle de la publication revient à Leibniz).

Ces méthodes permettent de ramener le calcul de certaines caractéristiques géométriques des figures courbes telles qu'angles entre les tangentes, surfaces, et volumes, à des calculs sur ce qu'on appelle les dérivées et intégrales (voir les articles Calcul infinitésimal, Dérivée et Intégration (mathématiques)). Elles ramènent l'usage de la règle et du compas à celui d'instruments fort grossiers ne permettant de traiter que des figures bien particulières.

Girard Desargues illustré par A. Bosse.

Une autre contribution originale du XVII^e siècle, due surtout à Desargues, et à un titre moindre à Pascal, se trouve inspirée par le développement des travaux de géométrie relatifs à l'étude de la perspective conique. La principale innovation consiste en l'introduction de points à l'infini dans des raisonnements de géométrie autres que ceux effectués pour la justification des constructions de vue en perspective.

Parmi les propriétés mises à jour dans ce cadre, on citera le théorème de Desargues et le théorème de Pascal dont la postérité a été rehaussée par D. Hilbert.

Cette contribution passera plutôt inaperçue et son importance ne se révèlera qu'au XIX^e siècle.

L'inventeur de la géométrie projective est Jean-Victor Poncelet. La démarche qu'il suit, et qui part des travaux de Monge, est de pure géométrie synthétique.

En remettant à jour la question des points à l'infini et en autorisant même la considération de points imaginaires, Poncelet et ses continuateurs (Chasles, Gergonne en France, Möbius, Plücker et von Staudt en Allemagne) modernisent la géométrie d'Euclide et mettent à jour des méthodes de démonstration fulgurantes pour des séries de problèmes liés aux alignements de points et autres considérations générales portant sur les figures, mais à l'exception des égalités de longueur (propriétés métriques). La notion de birapport est mise en avant ; les grandeurs géométriques (angles, longueurs, surfaces) deviennent des grandeurs orientées, etc.

Les méthodes de la géométrie projective font d'abord l'objet d'une certaine méfiance de la part des mathématiciens plus algébristes comme Cauchy, mais au fil des années, elles trouvent petit à petit droit de cité et finiront par s'imposer comme « l'une des manières de pratiquer la géométrie ».

Dans la seconde moitié du siècle, le Français Laguerre, et surtout l'Anglais Cayley resituent la position de la géométrie Euclidienne : elle n'est qu'un cas particulier de la géométrie projective (parfois appelée géométrie supérieure à cette époque).

La contribution de Cayley va même plus loin puisqu'elle prouve que, dans le plan, les géométries non euclidiennes elliptiques et hyperboliques sont des géométries projectives.

Pseudosphère - Surface exhibée par Beltrami comme modèle de géométrie hyperbolique à deux dimensions. (La pseudosphère est la surface obtenue en faisant tourner une tractrice autour de son asymptote.)

L'idée de démontrer l'axiome d'Euclide par l'absurde, c'est-à-dire de le supposer faux pour arriver à découvrir une contradiction n'était pas neuve.

Il fallait en revanche être un Russe à demi-fou originaire du lointain gouvernement de Kazan, pour tenter le contraire et oser publier une découverte aussi incroyable que celle d'une méthode de raisonnement géométrique basée sur une hypothèse différente de celle d'Euclide : C'est ce que fit Lobatchevski dès le début des années 1820. La parution de son livre écrit en russe et diffusé par un éditeur confidentiel eut cependant peu d'écho international. Un traitement à peine plus chaleureux fut réservé à une publication du même genre par le Hongrois Bolyai, quelques années plus tard.

Gauss, qui connaissait ces résultats et dont certaines recherches allaient dans la même voie, n'osa jamais publier dans ce sens « par crainte des cris des Béotiens », comme il l'écrivit lui-même[1]. En revanche, la situation changea très vite à la mort du savant allemand à l'examen des papiers qu'il n'avait pas voulu publier de son vivant. L'idée d'une géométrie non-euclidienne était née, et la dernière des grandes interrogations de la géométrie antique était enfin éclaircie : Le postulat d'Euclide était peut être vrai ou faux ; il revenait toutefois à une science expérimentale d'en décider, car il n'était pas démontrable par les seules mathématiques.

Riemann, ancien élève de Gauss, invente peu après un autre type de géométrie non euclidienne liée cette fois à la géométrie différentielle (voir plus bas).

Dans la seconde moitié du XIX^e siècle, le sujet devient à la mode, et un certain nombre de travaux célèbres (Beltrami, Christoffel...) voient le jour. On s'aperçoit que l'on peut essentiellement définir, dans le plan, deux types de géométries non euclidiennes : la géométrie hyperbolique et la géométrie elliptique. La somme des angles d'un triangle est inférieure à deux angles droits en géométrie hyperbolique ; elle est supérieure en géométrie elliptique.

Construction par Gauss de l'heptadécagone (17 côtés) à la règle et au compas.

La géométrie analytique continue de se développer. Les découvertes fondamentales du début du siècle sur la résolution des équations polynomiales (Galois- Abel), et ceux de Gauss portant sur la constructibilité de certains polygones à la règle et au compas éclaircissent considérablement la question et permettent à Pierre-Laurent Wantzel d'énoncer en 1837 un théorème portant sur la non-constructibilité à la règle et au compas (théorème de Wantzel). L'impossibilité de la duplication du cube et celle de la trisection de l'angle en résultent.

Ce sont également des considérations algébriques qui permettront à Lindemann de démontrer la transcendance du nombre pi, confirmant ainsi rigoureusement l'impossibilité de quarrer le cercle.

La géométrie différentielle va connaître au XIX^e siècle un développement extraordinaire notamment sous l'impulsion des deux mathématiciens Gauss et Riemann. La possibilité découverte et développée par Gauss, d'écrire les équations des surfaces sous forme de systèmes de deux équations à deux inconnues et non pas sous forme d'une seule équation à deux inconnues introduit l'idée de carte d'une surface. Elle permettra de développer une géométrie intrinsèque aux surfaces, et les notions de formes fondamentales et de courbure de Gauss. La valeur de la courbure de Gauss ne dépend pas des fonctions utilisées pour paramétrer la surface : c'est le célèbre theorema egregium, c'est-à-dire théorème remarquable qui va inspirer Riemann et le conduire à introduire le concept de variété différentielle, en élargissant le concept de surface à des espaces mathématiques abstraits, les variétés, qui diffèrent des surfaces par leur dimension.

On notera que c'est la géométrie différentielle qui permettra à Einstein de développer sa théorie de la relativité générale.

Vers les années 1870, non seulement l'idée de vérité absolue pour le 5^e axiome était-elle tombée, mais on disposait de plusieurs notions nouvelles (géométrie des variétés différentielles - géométrie non euclidienne - géométrie projective). Cette soudaine abondance de « vérités » n'allait pas sans créer un certain malaise.

Le programme d'Erlangen, publié en 1872 sous le titre Considérations comparatives sur les recherches géométriques modernes, est l'œuvre de Felix Klein (Elementarmathematik vom höheren Standpunkt). C'est un important travail de synthèse qui valide[Note 5] les géométries non euclidiennes et donne à la géométrie projective un rôle central.

Ce travail constitue une extension de l'approche de Riemann, et met en avant la notion de groupe continu, qui sera développée notamment par Sophus Lie. Selon la conception de Klein, la géométrie est l'étude des espaces de points sur lesquels opèrent des groupes de transformations et des quantités et des propriétés qui sont invariantes pour ces groupes.

Dès la première moitié du siècle Hamilton invente les quaternions qui permettent pour la première fois d'algébriser l'espace. La notion d'espace vectoriel émerge petit à petit, notamment à partir des travaux de Grassmann. Cayley invente les matrices. Toutes ces notions sont au départ de pure géométrie.

La création de l'algèbre linéaire constituera l'un des développements majeurs des mathématiques de la fin XIX^e et du début du XX^e siècle. Mais, lorsqu'on considère les chemins empruntés par cette théorie au cours de son développement, il faut cesser à un moment ou à un autre de parler de géométrie. À partir de quand ?

Après la découverte du caractère particulier de la géométrie d'Euclide, la reformulation des axiomes de la géométrie a fait l'objet de toute une série de travaux remarquables. On citera en particulier l'ouvrage de D. Hilbert sur les fondements de la géométrie.

Après Hilbert, la question des axiomes à retenir pour fonder la géométrie a été reprise notamment par Birkhoff avec en filigrane la théorie ergodique, et Tarski (espaces de Banach de dimension finie).

La multitude des méthodes d'axiomatisation de la géométrie d'Euclide, et l'incertitude quant à leur identité complète (paradoxe de Banach-Tarski par exemple) est l'un des mystères les plus fascinants des mathématiques actuelles.