Modélisation des robots

Des distinctions peuvent être faites entre :

• Chaîne ouverte simple; exemples : bras mécaniques plus ou moins autonomes.
• Chaîne arborescente; exemples : robot anthropomorphes.
• Chaîne fermée; exemples : robots à architectures parallèles.

• À base fixe, souvent les bras manipulateurs fréquemment utilisés dans l'industrie.
• Systèmes (plus ou moins) libres dans l'espace ; (exemples : robots marcheurs à pattes, robots mobiles sur roues).

• En négligeant les jeux mécaniques, les articulations sont des liaisons bilatérales qui apparaissent mathématiquement sous forme de contraintes égalités.
• Pour simplifier, le présent exposé est restreint aux articulations à un degré de liberté (pivot ou glissière : 1 ddl), dont la variable articulaire est un scalaire noté « q ». (D'autres articulations procureraient plus d'un ddl ; pivot glissant : 2ddl, rotule : 3ddl, etc.)
• Cependant, dans le cas d'une base mobile le symbole «q», représentera la position et l'orientation de la base et désignera jusqu'à 6 variables.

Bien que ne faisant pas partie, au sens strict, du robot, l'environnement est placé dans cette section.

• Influence du milieu ambiant : excepté pour quelques robot spatiaux, il est indispensable de tenir compte du champ de pesanteur et, éventuellement, des forces dues à l'atmosphère.
• Pour agir effectivement dans un monde matériel peuplé d'objets et d'obstacles, les deux fonctions essentielles d'un robot[5] sont la locomotion et la préhension. Une locomotion de type terrestre peut être effectuée par reptation, patte, roue motrice, chenille.
• Les obstacles et les objets sont schématisés par des figures géométriques simples ou plus élaborées (voir B-Rep). Un exemple habituel très simple est le plan d'appui horizontal introduit pour supporter les évolutions d'un robot mobile.
• Les contacts ponctuels sans frottement sont directement modélisés par des liaisons unilatérales, qui correspondent à des contraintes inégalités. Une modélisation complète et détaillée devrait même aborder les problèmes de Détection des collisions.
• Pour représenter les frottements sec entre corps solides, la loi de Coulomb, malgré sa rusticité et son apparente simplicité, aboutit fréquemment à des complications mathématiques.

• À la structure du robot correspond un graphe orienté : les corps sont les nœuds (sommets) et les articulations sont les arcs.
• Dans le cas d'une chaîne ouverte (acycliques), le graphe est une arborescence. On peut alors utiliser, le vocabulaire généalogique des lignées paternelles : ainsi pour chaque corps les 4 termes : ascendants, père, fils, descendants[geom 2]; sont définis de manière intuitive.
• Chaque corps est désigné par son numéro dénominatif qui respecte la convention «Numéro du père < Numéro du fils».
• À chaque corps est attaché son repère propre, de même numéro dénominatif.

Définitions dans l'espace euclidien à 3 dimensions ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{3}}$.

• Base orthonormée[geom 3] : trois vecteurs de longueur un, perpendiculaires entre eux.
• Orientation: Ce terme a plusieurs significations:
  1. Orientation d'un plan par le sens de rotation d'un point sur un cercle ; deux sens de rotation : sens antihoraire ou trigonométrique ou CounterClockWise OU sens horaire ou des-aiguilles-d'une-montre ou ClockWise.
  2. Orientation propre d'un trièdre, d'un repère cartésien donné : direct ou indirect, on peut utiliser des règles basées sur la distinction entre la gauche et la droite[geom 4], règle de trois doigts de la main droite, du bonhomme d'Ampère.
  3. Orientation d'un axe dans l'espace ou d'une ligne de visée : par deux paramètres, deux angles (exemple : azimut et site ou hauteur).
  4. Orientation dans l'espace d'une base ou d'un repère ou d'un solide rigide : par trois paramètres, (exemple : trois angles d'Euler, trois angles de Tait-Bryan).
• Soit le vecteur libre ${\displaystyle {\vec {\mathbf {v} }}}$ , dont les composantes sont ${\displaystyle x,y,z}$ dans une base orthonormée ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ de l'espace ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{3}\,.}$

Sous la condition de spécifier que ce vecteur est exprimé dans la base ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ il peut être caractérisé par une matrice dont les trois éléments sont les composantes du vecteur. En pratique, les calculs effectifs sont effectués en utilisant l'écriture matricielle suivante :

${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{Vmatrix}x\\y\\z\end{Vmatrix}}=\mathbf {v} _{(31)},\qquad \mathbf {v} ^{t}={\begin{Vmatrix}x&y&z\end{Vmatrix}}=\mathbf {v} _{(13)}^{t},\qquad {\begin{bmatrix}\mathbf {v} \end{bmatrix}}_{(33)}={\begin{Vmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{Vmatrix}}.}$

• Avec cette notation, le produit vectoriel ${\displaystyle {\vec {\mathbf {v} }}={\vec {\mathbf {a} }}\wedge {\vec {\mathbf {b} }}}$, projetée dans ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, prend la forme matricielle :

${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} \end{bmatrix}}\mathbf {b} }$. Cependant, en pratique, lorsque le risque d'ambiguïté semble faible, l'écriture fautive : ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }$ est tolérable.

• De même, au produit scalaire ${\displaystyle {\vec {\mathbf {v} }}\bullet {\vec {\mathbf {w} }}}$ correspond l'expression matricielle ${\displaystyle \mathbf {v} ^{t}\mathbf {w} =\mathbf {w} ^{t}\mathbf {v} }$.

Soit deux bases orthonormées dans l'espace euclidien à trois dimensions ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{3}}$ :

• ${\displaystyle {\mathcal {B}}=({\vec {e}}\,^{1},{\vec {e}}\,^{2},{\vec {e}}\,^{3})}$, dénommée l' «Ancienne base»;
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}'=({\vec {e}}\,'^{1},{\vec {e}}\,'^{2},{\vec {e}}\,'^{3})}$, la « Nouvelle base » que l'on caractérise par l'exposant « prime ».

La définition des composantes (ou coordonnées)[geom 5] revient à écrire :

${\displaystyle {\vec {\mathbf {x} }}=\sum _{i=1}^{3}x_{i}{\vec {e}}\,^{i}=x_{1}{\vec {e}}\,^{1}+x_{2}{\vec {e}}\,^{2}+x_{3}{\vec {e}}\,^{3}=x'_{1}{\vec {e}}\,'^{1}+x'_{2}{\vec {e}}\,'^{2}+x'_{3}{\vec {e}}\,'^{3}.}$

La matrice de passage directe ${\displaystyle {\mathcal {P}}={\mathcal {P_{B,B'}}}}$, qui donne les anciennes coordonnées du vecteur dans ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ en fonction des nouvelles dans ${\displaystyle {\mathcal {B'}}}$, est déterminée[geom 6] par :

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{ij}={\vec {e}}\,^{i}\centerdot {\vec {e}}\,'^{j},}$ avec ${\displaystyle {1\leqslant i\leq 3,\quad 1\leq j\leqslant 3}.}$

Règle mnémotechnique : Les colonnes de la matrice de passage sont les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base, exprimés dans l'ancienne base.

Dans le cas où les bases sont orthonormées, la matrice de passage est orthogonale. Son inverse, qui est dénommée matrice de passage inverse, est égale à sa transposée, et la valeur absolue de son déterminant est égale à 1 :

${\displaystyle {\mathcal {P}}^{-1}={\mathcal {P}}^{t}}$ , et ${\displaystyle \det({\mathcal {P}})=\det({\mathcal {P}}^{t})=\pm 1.}$ autrement dit :

${\displaystyle {\mathcal {P}}\,{\mathcal {P}}^{t}={\mathcal {P}}^{t}\,{\mathcal {P}}={\boldsymbol {1}}_{(33)}.}$

Pour les vecteurs (vecteurs polaires) ${\displaystyle \mathbf {x} }$, la formule du changement de coordonnées s'écrit :

${\displaystyle \mathbf {x} ={\mathcal {P}}\,\mathbf {x} ^{'},}$ ou bien ${\displaystyle \mathbf {x} ^{'}={\mathcal {P}}^{t}\,\mathbf {x} }$[geom 7].

• Lorsque les bases orthonormées ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {B}}'}$ ont la même orientation, alors ${\displaystyle \det({\mathcal {P}})=+{1}}$ , et ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ correspond à une rotation dans l'espace.
• Sinon ${\displaystyle \det({\mathcal {P}})=-1}$, et ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ correspond à l'association d'une rotation avec une symétrie par rapport à un plan. L'introduction de repères orientés dans le sens indirect rend les notations relatives aux robots présentant un plan de symétrie sagittal plus maniables. En effet, en cas de configuration symétrique, les variables articulaires qui sont à gauche sont alors égales à celles qui sont à droite.

Dans l'« espace ordinaire »[geom 8], un déplacement quelconque se décompose[geom 9] en une translation et une rotation.

On utilise des repères orthonormés « R » qui sont constitués par une origine O et une base ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ de trois vecteurs. Ainsi, la position d'un point géométrique M peut être caractérisée par un seul vecteur ${\displaystyle {\vec {\mathbf {x} }}={\overrightarrow {\rm {OM}}}}$ (ses coordonnées étant ${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{Vmatrix}x&y&z\end{Vmatrix}}^{t}}$), tandis que la position d'un repère (ou d'un solide) est défini par celle d'un point particulier et aussi par son orientation (orientation dans l'espace).

Soit 2 repères orthonormées, R et R', définis par leurs origines O et O' et par leurs bases ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {B'}}.}$ Avec :

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{ij}={\vec {e}}\,^{i}\centerdot {\vec {e}}\,'^{j}\qquad$ :} la matrice de passage directe (33) ;
• ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{i}={\vec {e}}\,^{i}\centerdot {\overrightarrow {OO'}}\qquad$ :} , pour caractériser la translation de O vers O'.

La matrice de passage (44) en coordonnées homogènes, prend la forme :

${\displaystyle {\mathfrak {P}}={\begin{Vmatrix}{\mathcal {P}}_{(33)}&{\mathcal {T}}_{(31)}\\\mathbf {0} _{(13)}&1_{(11)}\end{Vmatrix}}.}$ L'inverse de la matrices de passage (44) directe ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ est la matrice de passage (44) homogène inverse :

${\displaystyle {\mathfrak {P}}^{-1}={\begin{Vmatrix}{\mathcal {P}}_{(33)}^{t}&-{\mathcal {P}}_{(33)}^{t}{\mathcal {T}}_{(31)}\\\mathbf {0} _{(13)}&1\end{Vmatrix}}.}$

Et les formules de changements de repères s'écrivent :

${\displaystyle {\mathfrak {X}}={\begin{Vmatrix}x\\y\\z\\1\end{Vmatrix}}={\begin{Vmatrix}\mathbf {x} _{(31)}\\1\end{Vmatrix}}={\mathfrak {P}}\!\cdot \!{\mathfrak {X'}}\;,\qquad {\mathfrak {X'}}={\begin{Vmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{Vmatrix}}={\mathfrak {P}}^{-1}\!\cdot \!{\mathfrak {X}}.}$

Les matrices de passage entre deux repères dépendent, en général, des paramètres constitutifs et des variables articulaires.

Rotation d'un angle ${\displaystyle \varphi }$ autour d'un vecteur unitaire ${\displaystyle {\vec {\mathbf {u} }}}$, la matrice de passage directe est donnée par la formule de Rodrigues :

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\mathbf {1} _{(33)}\,+\,\left[\mathrm {u} \right]sin\varphi \,+\,[\mathrm {u} ]^{2}(1\!-\!cos\varphi ).}$

On passe du repère fixe (« ancien ») Oxyz au référentiel lié au solide (« nouveau ») Ox'y'z' par trois rotations successives autour d'un des axes de coordonnées. La matrice de passage correspondante est le produit de trois matrices élémentaires représentant chacune une rotation autour d'un seul axe d'une coordonnée. Selon les axes intermédiaires choisis, on distingue:

1. Les angles d'Euler, 6 ordres possibles : (z-x-z | x-y-x | y-z-y | z-y-z | x-z-x | y-x-y). Les angles étant dénommés: précession - nutation - rotation propre. On rencontre généralement l'ordre (z-x-z), dans les manuels français.
2. Les angles de Tait-Bryan, six ordres possibles : (x-y-z | y-z-x | z-x-y | x-z-y | z-y-x | y-x-z).

Les angles de Cardan, qui sont utilisés dans les domaines aéronautique et spatial, correspondraient à l'ordre (z-y-x), et apparaissent souvent sous les noms : (z:)Azimuth=lacet=yaw ; (y:)Tanguage=pitch ; (x:)Roulis=roll.

L'utilisation des quaternions unitaires élimine les difficultés[geom 10] numériques dues aux configurations singulières.

Les axes articulaires étant donnés ou bien définis, ils sont choisis comme axes des «z» des repères propres et les conventions de Denavit-Hartenberg permettent de caractériser la position relative (dans l'espace ponctuel)[geom 11] de deux repères avec seulement quatre paramètres[geom 12]. On rencontre surtout deux variantes :

• Denavit-Hartenberg 1955.
• Khalil-Kleinfinger = Denavit-Hartenberg modifié, qui est particulièrement appropriée aux principaux algorithmes numériques.

• Les matrices de passages ${\displaystyle {\mathcal {P}}{(\mathbf {q} )}_{(33)}}$ et ${\displaystyle {\mathfrak {P}}{(\mathbf {q} )}_{(44)}}$ dépendent de paramètres constitutifs constants et des variables articulaires q. Du point de vue de la modélisation, elles contiennent l'information utile pour spécifier la configuration du robot. Après la description des paramètres constitutifs, la modélisation géométrique directe se réduit donc, en pratique, à un simple produit de matrices.
• Les coordonnées cartésiennes ${\displaystyle \mathbf {x} _{(31)}{\text{ ou }}{\mathfrak {X}}_{(41)}}$ sont des composantes de l'espace opérationnel que l'on calcule avec les formules génériques du changement de bases, ${\displaystyle \mathbf {x} ={\mathcal {P}}\,\mathbf {x} ^{'}}$, ou de repères avec les coordonnées homogènes, ${\displaystyle {\mathfrak {X}}={\mathfrak {P}}\,{\mathfrak {X'}}}$.
• Exemple d'une chaîne cinématique ouverte constituée de N corps numérotés de 1 à N = 6. Les formules de changement de bases (ou de repères en coordonnées homogènes) sont utilisées pour donner des jeux de relations du type :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} _{0}={\mathcal {P}}_{0,1}\mathbf {x} _{1}&\,,\qquad \mathbf {x} _{1}={\mathcal {P}}_{0,1}^{t}\mathbf {x} _{0}.\\\mathbf {x} _{1}={\mathcal {P}}_{1,2}\mathbf {x} _{2}&\,,\qquad \mathbf {x} _{2}={\mathcal {P}}_{1,2}^{t}\mathbf {x} _{1}.\\\mathbf {x} _{2}={\mathcal {P}}_{2,3}\mathbf {x} _{3}&\,,\qquad \mathbf {x} _{3}={\mathcal {P}}_{2,3}^{t}\mathbf {x} _{2}.\\\mathbf {x} _{3}={\mathcal {P}}_{3,4}\mathbf {x} _{4}&\,,\qquad \mathbf {x} _{4}={\mathcal {P}}_{3,4}^{t}\mathbf {x} _{3}.\\\mathbf {x} _{4}={\mathcal {P}}_{4,5}\mathbf {x} _{5}&\,,\qquad \mathbf {x} _{5}={\mathcal {P}}_{4,5}^{t}\mathbf {x} _{4}.\\\mathbf {x} _{5}={\mathcal {P}}_{5,6}\mathbf {x} _{6}&\,,\qquad \mathbf {x} _{6}={\mathcal {P}}_{5,6}^{t}\mathbf {x} _{5}.\\{\text{ Par des substitutions successives, }}&{\text{ on en déduit les expressions pour N = 6$ :}}\end{aligned}}}

${\displaystyle \mathbf {x} _{0}={\mathcal {P}}_{0,6}\mathbf {x} _{6},\qquad \mathbf {x} _{6}={\mathcal {P}}_{0,6}^{t}\mathbf {x} _{0}.}$

Ceci en ayant posé, pour N = 6 : ${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}_{0,6}={\mathcal {P}}_{0,1}&{\mathcal {P}}_{1,2}{\mathcal {P}}_{2,3}\cdots {\mathcal {P}}_{5,6}.\\{\mathcal {P}}_{0,6}^{t}={\mathcal {P}}_{5,6}^{t}&{\mathcal {P}}_{4,5}^{t}{\mathcal {P}}_{3,4}^{t}\cdots {\mathcal {P}}_{1,0}.\\\end{aligned}}}$

Pour alléger encore le formalisme dans le cas des chaînes simples, l'écriture générale d'un produit de matrices tel que :

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{0,N}={\mathcal {P}}_{0,1}{\mathcal {P}}_{1,2}{\mathcal {P}}_{2,3},\cdots ,{\mathcal {P}}_{N-2,N-1}{\mathcal {P}}_{N-1\,N}\,;}$

peut être abrégée en :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}_{0,N}&={\mathcal {P}}_{0}{\mathcal {P}}_{1}{\mathcal {P}}_{2},\cdots ,{\mathcal {P}}_{N-2}{\mathcal {P}}_{N-1}.\\{\mathcal {P}}_{0,N}^{t}&={\mathcal {P}}_{N-1}^{t}{\mathcal {P}}_{N-2}^{t},\cdots ,{\mathcal {P}}_{1}^{t}{\mathcal {P}}_{0}^{t}.\\\end{aligned}}}$

De cette façon, toute relation vectorielle peut se traduire sous forme matricielle (donc calculable numériquement) dans n'importe quel repère (du robot comme de l'environnement) arbitrairement choisi.

Étant donné une situation opérationnelle X, quand on cherche à résoudre q= G(X), les trois cas sont possibles :

1. Une infinité de solutions : configuration redondante, (cas de plus de six articulations dans un bras manipulateur). Mathématiquement le nombre de ddl est inutilement grand, (ce qui peut être justifié par d'autres avantages pratiques).
2. Une ou plusieurs solutions.
3. Aucune solution, la situation donnée peut se trouver en dehors de la zone d'accessibilité, ou bien c'est une configuration singulière. (Exemples : deux axes de glissières qui arrivent en parallélisme, deux axes de pivots qui se trouvent en coïncidence…).

Le modèle cinématique direct (MCD) calcule la vitesse dans le domaine cartésien en fonction de la vitesse articulaire du robot : ${\displaystyle \mathbf {\dot {X}} =\mathbb {VP} ={\mathfrak {F}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )={\dfrac {\partial {\mathsf {F}}}{\partial \mathbf {q} }}\mathbf {\dot {q}} }$ (voir : matrice jacobienne).

Le modèle cinématique inverse (MCI) permet de passer de la vitesse opérationnelle à la vitesse dans le domaine articulaire : ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} ={\mathfrak {G}}(\mathbf {\dot {X}} ).}$ (Possibilité de plusieurs solutions), voir également : Décomposition en valeurs singulières#Cinématique inverse.

En première approximation, on utilise fréquemment des hypothèses simplificatrices telles que :

• Les corps constitutifs sont des solides rigides ; les ressorts sont (éventuellement) les seuls constituants déformables.
• Les termes difficiles à évaluer de frottement visqueux sont estimés plus ou moins empiriquement.
• Les articulations sont des pivots (articulation rotoïde) ou des glissières (articulation prismatique),
• Les actionneurs (électriques, hydrauliques ou autres) sont schématisés par des forces ou des couples (qui sont des fonctions des signaux de commandes). (Dans le cas des systèmes sous actionnés, certaines articulations sont dépourvues d'actionneurs.
• Les forces de contact avec l'environnement suivent la loi approchée du frottement sec de Coulomb.

• Les forces ainsi que les grandeurs cinématiques (vitesses, accélérations) sont représentées explicitement par des vecteurs.
• On aboutit à des algorithmes relativement simples à programmer et rapides à exécuter, ce qui permet leur utilisation dans les logiciels d'intégration numérique où une, ou plusieurs, résolutions d'un problème dynamique doivent être effectuées à chaque pas d'intégration.
• Dans le même ordre d'idées, tous les termes, analytiquement compliqués, des équations de Lagrange peuvent avantageusement être calculés numériquement par plusieurs appels, avec successivement ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} =0,\mathbf {\ddot {q}} =0,{\boldsymbol {\lambda }}=0,g=0,\cdots }$ de l'algorithme RNEA (voir plus bas).

L'état du système représentatif ${\displaystyle (\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )}$ est décrit par des variables de configuration ou (coordonnées généralisées) et leurs dérivées, les formulations analytiques[dyna 1] peuvent être considérées comme des applications typiques du calcul des variations. Des principes variationnels, provenant de la physique classique, sont utilisés[dyna 2] à partir de fonctions telles que l'énergie cinétique, l'énergie potentielle, leur somme, leur différence..., dépendant généralement seulement de l'état. Mathématiquement, il s'agit de la recherche de l'extrêmum de l'intégrale d'une fonction inconnue (fonctionnelle) à plusieurs variables, avec ou sans contraintes. Il en résulte par des changements de variables et en utilisant les ressources de l'algèbre et de l'analyse, des expressions variées qui sont pourtant équivalentes à la formulation vectorielle.

• Ainsi, les équations de Lagrange sans contrainte, sont un cas particulier des équations d'Euler-Lagrange et peuvent être démontrées en minimisant la fonction action qui est une intégrale du lagrangien L =T-V.
• Pour prendre en compte les liaisons bilatérales holonomes, il faut rajouter des variables auxiliaires : les multiplicateurs de Lagrange pour obtenir les équations de Lagrange avec contraintes, (qui ne sont plus valables s'il y a des liaisons non holonomes). Il est aussi possible d'effectuer une partition algébrique[dyna 3] entre les variables (déclarées) indépendantes et les autres variables qui sont dépendantes.
• D'autres approches sont conseillées, ou même indispensables, particulièrement quand il y a des liaisons non holonomes (robot sur roues évidemment, mais aussi robots rampants ou à pattes). L'introduction de quasi-vitesses : ${\displaystyle \mathbf {w} ={\mathsf {B}}(\mathbf {q} )\mathbf {\dot {q}} ,}$ est alors presque systématique.
  • Les équations de Boltzmann-Hamel sont adaptées aux robots à base libre, en prenant les composantes du vecteur rotation du corps de base comme quasi-vitesses.
  • Il existe d'autres méthodes. On se restreint ici à l'évocation de quelques noms emblématiques : Gibbs-Appell, Kane, Maggi, Udwadia et Kalaba.

Une modélisation réaliste incorpore un éventail de sujets assez disparates qui proviennent des liaisons non permanentes.

• Liaisons unilatérales qui peuvent être saturées (égalité) ou non saturées (inégalité stricte) : conditions et multiplicateurs de Karush-Kuhn-Tucker.
• Possibilités d'impacts et de chocs subséquents.
• Les contacts avec frottement, entre le robot et son environnement, (commande en effort, robots marcheurs) sont délicats à modéliser, ce qui est dû à la forme non biunivoque de la loi de Coulomb. Ces difficultés qui avaient été entrevues dès 1895 avec le paradoxe de Painlevé (en) sont l'objet de recherches actuelles sous le nom de Mécanique non régulière (en).

• Chaque grandeur est affectée du même indice que le corps qu'elle caractérise.
• Ainsi la masse, le centre de gravité, le tenseur d'inertie (qui est symétrique) au centre de gravité, du corps Cj, se noteront respectivement : ${\displaystyle \quad m_{j}\,,\;{\rm {G_{j}\,,\;{\mathbf {I} }_{j}.}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Pour préciser la disposition géométrique, on pose aussi}}:\\{\vec {\boldsymbol {\rho }}}_{j}&={\overrightarrow {\rm {{O_{j}}{G_{j}}}}}\,;\;{\vec {\boldsymbol {\xi }}}_{j}={\overrightarrow {\rm {{O_{j}}{O_{j+1}}}}}\;.\\\end{aligned}}}$.

• Les composantes d'une grandeur non scalaire dépendent du repère sur lequel elles sont projetées ce qui est indiqué par un indice supérieur à gauche.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}^{\ell }\mathbb {W} _{j}&\;:\quad {\text{composantes projetées sur le repère }}{\rm {R_{\ell }.}}\\{}^{0}\mathbb {W} _{j}&\;:\quad {\text{composantes projetées sur le repère absolu galliléen.}}\\{}^{j}\mathbb {W} _{j}&\equiv \mathbb {W} _{j}\;:\quad {\text{pour alléger l'écriture des composantes propres.}}\\\end{aligned}}}$.

Ils sont appelés « vrais vecteurs » ou « vecteurs polaires » en cas d'ambiguïté.

• ${\displaystyle \mathbf {f} }$ : résultante générale des forces appliquées.
• ${\displaystyle \mathbf {v} }$ : vecteur vitesse linéaire.
• ${\displaystyle \mathbf {\dot {v}} }$ : accélération linéaire spatiale (en), par rapport au repère propre.
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}}$ : accélération linéaire inertielle, par rapport au repère absolu galiléen, avec la relation ${\displaystyle \quad {\boldsymbol {\gamma }}=\mathbf {\dot {v}} +{\boldsymbol {\omega }}\wedge \mathbf {v} \,.}$

Les pseudovecteurs qui apparaissent en mécanique, proviennent de produits vectoriels de vrais vecteurs.

• ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ : Moment de force (pseudovecteur).
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ : Vecteur vitesse de rotation (pseudovecteur).
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\dot {\omega }}}}$ : Vecteur accélération angulaire ou accélération de rotation (pseudovecteur).

Pour les pseudovecteurs ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}}$ la formule du changement de coordonnées[dyna 4] prend les formes :

${\displaystyle {\boldsymbol {y}}=\det({\mathcal {P}})*{\mathcal {P}}\,{\boldsymbol {y}}^{'}\,}$ et ${\displaystyle \qquad {\boldsymbol {y}}^{'}=\det({\mathcal {P}}^{t})*{\mathcal {P}}^{t}\,{\boldsymbol {y}}=\det({\mathcal {P}})\times {\mathcal {P}}^{t}\,{\boldsymbol {y}}\,}$.

Un torseur est un champ de vecteurs glissants équiprojectif[dyna 5] qui est similaire à un champ de moments. Un torseur est l'association d'un pseudovecteur et d'un vrai vecteur.

• L'énergie cinétique d'un système est la somme des énergies cinétiques des N corps constitutifs :

${\displaystyle T(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )=\sum _{j=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left[m_{j}\;{}^{0}\mathbf {v} _{j}\!\centerdot \!{}^{0}\mathbf {v} _{j}\;+\;{}^{0}{\boldsymbol {\omega }}_{j}\!\centerdot \!({}^{0}\mathbf {I} _{j}\;{}^{0}{\boldsymbol {\omega }}_{j})\right].}$

• De même l'énergie potentielle dans le champ de pesanteur ${\displaystyle \mathbf {\vec {g}} }$ :

${\displaystyle V(\mathbf {q} )=\sum _{j=1}^{N}[-m_{j}\;{}^{0}\mathbf {g} \centerdot {}^{0}\mathbf {r} _{j}].}$

La dynamique des solides rigides entremêle les mouvements de translation et de rotation. D'où l'intérêt pratique d'utiliser des symboles représentant 6 paramètres. En anglais, cette notation est qualifiée de « spatial »[dyna 6].

Le torseur cinématique (des vitesses des points d'un solides), le torseur des efforts et la dérivée du torseur cinématique (en un point M d'un repère), peuvent respectivement s'écrire :

${\displaystyle \mathbb {F} _{\rm {M}}={\begin{Vmatrix}{{\boldsymbol {\mu }}_{\rm {M}}}\\{\mathbf {f} }\end{Vmatrix}};\quad \mathbb {V} _{\rm {M}}={\begin{Vmatrix}{\boldsymbol {\omega }}\\{\mathbf {v} _{\rm {M}}}\end{Vmatrix}};\quad {\dot {\mathbb {V} }}_{\rm {M}}={\begin{Vmatrix}{\boldsymbol {\dot {\omega }}}\\{\mathbf {\dot {v}} _{\rm {M}}}={\boldsymbol {\gamma }}_{\rm {M}}-{\boldsymbol {\omega }}\wedge \mathbf {v} _{\rm {M}}\end{Vmatrix}}.}$

Soit, en un même point, les torseurs ${\displaystyle \mathbb {V} _{1}\,{,}\qquad \mathbb {V} _{2}\,{,}\qquad \mathbb {F} _{2}\,.}$
${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Deux opérateurs utiles }}&{\text{agissant sur les torseurs sont$ : }}\odot {\text{ et }}\oplus {\text{ définis par : }}\\\mathbb {V} _{1}\odot \mathbb {V} _{2}&={\begin{Vmatrix}{\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{1}\wedge {\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{2}\\{\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{1}\wedge {\vec {\mathbf {v} }}_{2}\,+\,{\vec {\mathbf {v} }}_{1}\wedge {\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{2}\end{Vmatrix}}.\\\mathbb {V} _{1}\oplus \mathbb {F} _{2}&={\begin{Vmatrix}{\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{1}\wedge {\vec {\boldsymbol {\mu _{2}}}}\,+\,{\vec {\mathbf {v} }}_{1}\wedge {\vec {\mathbf {f} }}_{2}\\{\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{1}\wedge {\vec {\mathbf {f} }}_{2}\end{Vmatrix}}.\end{aligned}}}

Soit R1 (« ancien repère ») et R2 (« nouveau repère ») deux repères. Pour alléger les notations nous posons d'abord ici :

• ${\displaystyle {\vec {\boldsymbol {\xi }}}={\overrightarrow {{O\!_{1}}{O\!_{2}}}},}$ vecteur dont on utilisera les composantes dans R1 ;
• ${\displaystyle {\mathcal {P}}={\mathcal {P}}_{1,2},}$ la matrice de passage(33) directe de R1 vers R2 ;
• ${\displaystyle \mathbb {A} =\mathbb {A} _{1,2},}$ la matrices de passage(66), de R1 vers R2, pour les torseurs.

Nous disposons[dyna 7] des formules suivantes :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} ^{t}&={\begin{Vmatrix}{\mathcal {P}}^{t}&\quad 0\\{\mathcal {P}}^{t}\,{[{\boldsymbol {\xi }}]^{t}}&\quad {\mathcal {P}}^{t}\end{Vmatrix}};\quad \mathbb {V} _{2}=\mathbb {A} ^{t}\,\mathbb {V} _{1}.\\\mathbb {A} ^{-t}&={\begin{Vmatrix}{\mathcal {P}}&\quad 0\\{[{\boldsymbol {\xi }}]}\,{\mathcal {P}}&\quad {\mathcal {P}}\end{Vmatrix}};\quad \mathbb {V} _{1}=\mathbb {A} ^{-t}\,\mathbb {V} _{2}.\\\mathbb {A} &={\begin{Vmatrix}{\mathcal {P}}&\quad {[{\boldsymbol {\xi }}]}\,{\mathcal {P}}\\0&\quad {\mathcal {P}}\end{Vmatrix}};\quad \mathbb {F} _{1}=\mathbb {A} \,\mathbb {F} _{2}.\\\mathbb {A} ^{-1}&={\begin{Vmatrix}{\mathcal {P}}^{t}&\quad {\mathcal {P}}^{t}\,{[{\boldsymbol {\xi }}]^{t}}\\0&\quad {\mathcal {P}}^{t}\end{Vmatrix}};\quad \mathbb {F} _{2}=\mathbb {A} ^{-1}\,\mathbb {F} _{1}.\end{aligned}}}$

Soit un corps rigide dont la masse, le centre de gravité, le tenseur d'inertie au centre de gravité, sont respectivement ${\displaystyle m{\text{ , G , }}\mathbf {I} _{\rm {G}}}$. Le point O étant une origine quelconque, en posant :

• ${\displaystyle {\vec {\boldsymbol {\rho }}}={\overrightarrow {\rm {OG}}}}$, pour définir la position du centre de gravité.
• ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {I}}}=\mathbf {I} _{\rm {G}}/m}$ : le tenseur réduit (33), au centre de gravité.
• ${\displaystyle {\mathfrak {I}}=m\,{\begin{Vmatrix}{{\mathcal {\tilde {I}}}-[{\boldsymbol {\rho }}}]^{2}&[{\boldsymbol {\rho }}]\\*[{\boldsymbol {\rho }}]&{\boldsymbol {1}}_{(33)}\end{Vmatrix}}}$, matrice d'inertie (6×6) du corps isolé.

En notation sextuplet et en un point quelconque d'un solide rigide, les équations de Newton-Euler (en) prennent la forme :

${\displaystyle \mathbb {F} ={\mathfrak {I}}\,\mathbb {\dot {V}} +\mathbb {V} \!\oplus {\mathfrak {I}}\,\mathbb {V} .}$

• Nous considérons d'abord ici les chaînes cinématiques ouvertes simples. Les corps constitutifs : C1...CN, sont numérotés de 1 à N, l'indice 0 correspond à un repère absolu ou règne un champ de pesanteur d'intensité g. La liaison C0-C1 possède 6 degrés de liberté (ddl) pour les robots à base libre ou flottante, et 0 ddl dans le cas des robots à base fixe.
• Les grandeurs ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{j},\mathbf {v} _{j},{\boldsymbol {\mu }}_{j},\cdots }$ caractérisent le corps Cj, et sont projetées sur son repère propre Rj, fixé à Cj, d'origine Oj.
• Le corps Cj se meut autour de l'articulation j, d'axe ${\displaystyle {\vec {z}}_{j}\;}$ (conformément à la convention de Khalil-Kleinfinger), dont la nature est caractérisée par une matrice (6×1) (sauf pour la base libre) :

${\displaystyle \mathbb {S} _{j}={\begin{Vmatrix}0\\0\\1\\0\\0\\0\end{Vmatrix}}:}$ pivot ; ${\displaystyle \mathbb {S} _{j}={\begin{Vmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\1\end{Vmatrix}}:}$ glissière ; ${\displaystyle \mathbb {S} _{1}=\mathbf {1} _{(66)}:\,}$ si C1 est une base libre.

• Quelques modifications mineures permettent d'adapter les algorithmes pour chaînes simples au cas des chaînes arborescentes. En adoptant un vocabulaire généalogique, le principe de ces modifications est de remplacer le prédécesseur d'un corps par son « père ». Chaque corps, sauf C0, a un seul père, quoiqu'il puisse posséder un nombre quelconque de fils (zéro pour un corps terminal ou feuille du graphe représentatif). Avec la convention « numéro père < numéro fils » le parcours dans le graphe s'effectue de manière adéquate et la simplicité des algorithmes est conservée.
• Chaînes fermées...

L'algorithme RNEA[dyna 8], résout le problème de la dynamique inverse : à un instant donné, ${\displaystyle \mathbf {q} ,\,\mathbf {\dot {q}} ,\,\mathbf {\ddot {q}} }$ étant connus, on obtient les efforts des actionneurs ${\displaystyle \mathbf {\tau } .}$ Il comporte deux boucles de récurrences :

• Une montée (indices de 1 à N) cinématique, qui utilise la composition des vitesses et des accélérations.
• Une descente (de N à 1) des efforts, où interviennent les lois de Newton-Euler et des actions réciproques.

L'effet de la pesanteur est (rigoureusement) obtenu par une accélération du corps de base C1 opposée à la pesanteur.

L'axe ${\displaystyle {\overrightarrow {O_{0}\,z_{0}}}}$ étant la verticale ascendante[dyna 9] du repère absolu galiléen ${\displaystyle {\rm {R_{0}}}}$, on ajoute artificiellement l'accélération ${\displaystyle \mathbf {\tilde {g}} _{1}}$ à l'accélération naturelle du repère ${\displaystyle {\rm {R_{1}}}}$ avec :

${\displaystyle \mathbf {\tilde {g}} _{0}={\begin{Vmatrix}0\\0\\+\left|g\right|\end{Vmatrix}}\,;\qquad {\mathcal {P}}\!{_{0}}={\mathcal {P}}_{0,1}\,;\qquad \mathbf {\tilde {g}} _{1}={\mathcal {P}}_{0}^{t}\,\mathbf {\tilde {g}} _{0}.}$

Les conditions initiales sont ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{1},\mathbf {v} _{1},{\boldsymbol {\dot {\omega }}}_{1},\mathbf {\gamma } _{1},}$ les vitesses et les accélérations de la base (corps ${\displaystyle \mathrm {C} _{1}}$), les variables articulaire proprement dites, ${\displaystyle q_{2},q_{3},\cdots ,q_{N}}$) et éventuellement, l'effort ${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{N+1}}$) exercé par l'environnement sur le point de contact ${\displaystyle \mathrm {O} _{N+1}}$ du corps terminal ${\displaystyle \mathrm {C} _{N}}$ , projeté dans le repère ${\displaystyle \mathrm {R} _{N+1}}$ attaché à ce point de contact appartenant à ${\displaystyle \mathrm {C} _{N}}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}\mathbb {V} _{0}&=0\;;\\\mathbb {\dot {V}} _{0}&={\begin{Vmatrix}0\\-{\boldsymbol {\vec {g}}}\end{Vmatrix}}\;;\\\\\mathbb {F} _{N+1}&=-{{\mathfrak {F}}_{N+1}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$

La base mobile ayant six degrés de liberté (et non un seul), l'harmonisation des notations est imparfaite[dyna 10]. Ici nous adoptons la notation conventionnelle suivante :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}{\text{Rappels$ : }}&\mathbb {S} _{1}={\boldsymbol {1}}_{(66)}\;;\;q_{1}\Leftrightarrow \mathbf {q} {(1)}_{(61)},\cdots \;;\\\mathbb {V} _{1}=\mathbb {S} _{1}\,{\dot {q}}_{1}&={\begin{Vmatrix}{\boldsymbol {\omega _{1}}}\\\mathbf {v} _{1}\end{Vmatrix}}\;;\\\\\mathbb {\dot {V}} _{1}=\mathbb {S} _{1}\,{\ddot {q}}_{1}&={\begin{Vmatrix}{\boldsymbol {\dot {\omega }}}_{1}\\{\boldsymbol {\gamma _{1}}}-{\boldsymbol {\omega _{1}}}\wedge \mathbf {v} _{1}\end{Vmatrix}}\;;\\\\\tau _{1}\Leftrightarrow {\boldsymbol {\tau }}{(1)}_{(61)}=\mathbb {F} _{1}\;.\\\end{cases}}\end{aligned}}}

For j= 1 to N do ${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}\qquad {}_{i}&={}_{j-1}\,;\,\mathbb {A} _{i}=\mathbb {A} _{ij}\;;\\\qquad \mathbb {V} _{j}&=\mathbb {A} _{i}^{t}\,\mathbb {V} _{i}+\mathbb {S} _{j}\,{\dot {q}}_{j}\;;\\\qquad \mathbb {\dot {V}} _{j}&=\mathbb {A} _{i}^{t}\,\mathbb {\dot {V}} _{i}+\mathbb {S} _{j}\,{\ddot {q}}_{j}+\mathbb {V} _{j}\!\odot \mathbb {S} _{j}\,{\dot {q}}_{j}\;;\\\qquad \mathbb {R} _{j}&={\mathfrak {I}}_{j}\,\mathbb {\dot {V}} _{j}+\mathbb {V} _{j}\!\oplus {\mathfrak {I}}_{j}\,\mathbb {V} _{j}.\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

For k= N+1 downto 2 do ${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}\qquad {}_{j}&={}_{k-1}\,;\,\mathbb {A} _{j}=\mathbb {A} _{jk}\;;\\\qquad \mathbb {F} _{j}&=\mathbb {A} _{j}\,\mathbb {F} _{k}+\mathbb {R} _{j}\;;\\\qquad \tau _{j}&=\mathbb {S} _{j}^{t}\,\mathbb {F} _{j}.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Moyennant un adroit agencement des instructions, il est possible de ne faire appel qu'aux « grandeurs du père » et l'algorithme précédent est à peine modifié.

1. Montée cinématique

For j= 1 to N do ${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}\qquad &{\text{p = père(j)}}\,;\\\qquad \mathbb {V} _{j}&=\mathbb {A} _{pj}^{t}\,\mathbb {V} _{i}+\mathbb {S} _{j}\,{\dot {q}}_{j}\;;\\\qquad \mathbb {\dot {V}} _{j}&=\mathbb {A} _{pj}^{t}\,\mathbb {\dot {V}} _{i}+\mathbb {S} _{j}\,{\ddot {q}}_{j}+\mathbb {V} _{j}\!\odot \mathbb {S} _{j}\,{\dot {q}}_{j}\;;\\\qquad \mathbb {F} _{j}&={\mathfrak {I}}_{j}\,\mathbb {\dot {V}} _{j}+\mathbb {V} _{j}\!\oplus {\mathfrak {I}}_{j}\,\mathbb {V} _{j}.\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

1. Descente des efforts

For j= N downto 1 do ${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}\qquad &{\text{p = père(j)}}\,;\\\qquad \tau _{j}&=\mathbb {S} _{j}^{t}\,\mathbb {F} _{j}\;;\\\qquad &{\text{if }}p>0{\text{ then$ :}}\\\qquad \mathbb {F} _{p}&=\mathbb {F} _{p}+\mathbb {A} _{pj}\,\mathbb {F} _{j}\;;\\&{\text{ end if}}.\\\end{cases}}\end{aligned}}}

• Il traite le problème de dynamique directe : connaissant l'état et les efforts des actionneurs, on obtient les accélérations (ce qui permet d'aboutir au mouvement par intégration).
• L'idée de départ est de considérer une partie de la chaîne comme étant un seul corps rigide dont on calcule l'inertie équivalente (« l'articulated body inertia ») ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ de manière à pouvoir écrire des équations auxiliaires du mouvement du type : ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {K} \,\mathbb {\dot {V}} +\mathbb {D} }$ (cf. Newton-Euler).
• Il est souvent appelé, d'après le nom de son auteur, algorithme de Featherstone.
• Le cas d'une chaîne simple est seul considéré ici.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}\qquad \mathbb {V} _{1}&={\begin{Vmatrix}{\boldsymbol {\omega _{1}}}\\\mathbf {v} _{1}\end{Vmatrix}}\;;\\\\\qquad {\boldsymbol {\alpha }}_{1}&=0\,;\quad {\text{car}}\quad \mathbb {V} _{1}\!\odot \mathbb {V} _{1}\mathbf {\dot {q}} _{1}=0\;;\\\qquad {\boldsymbol {\beta }}_{1}&=\mathbb {V} _{1}\!\oplus {\mathfrak {I}}_{1}\,\mathbb {V} _{1}\;;\\\mathbb {K} _{N+1}&=0\;;\\\mathbb {B} _{N+1}&=\mathbb {F} _{N+1}\;;\\\mathbb {D} _{N+1}&=\mathbb {F} _{N+1}.\end{cases}}\end{aligned}}}$

For j= 2 to N do ${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}\qquad {}_{i}&={}_{j-1}\,;\\\qquad \mathbb {V} _{j}&=\mathbb {A} _{j}^{t}\,\mathbb {V} _{i}+\mathbb {S} _{j}\,{\dot {q}}_{j}\;;\\\qquad {\boldsymbol {\alpha }}_{j}&=\mathbb {V} _{j}\!\odot \mathbb {S} _{j}\,{\dot {q}}_{j}\;;\\\qquad {\boldsymbol {\beta }}_{j}&=\mathbb {V} _{j}\!\oplus {\mathfrak {I}}_{j}\,\mathbb {V} _{j}.\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

For j= N downto 1 do ${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}\qquad {}_{k}&={}_{j+1}\,;\\\qquad w_{k}&=\mathbb {S} _{k}^{t}\mathbb {K} _{k}\mathbb {S} _{k}\,;\\\qquad \mathbb {K} _{j}&={\mathfrak {I}}_{j}+\mathbb {A} _{j}\left[\mathbf {1} _{(66)}-\mathbb {K} _{k}\mathbb {S} _{k}\mathbb {S} _{k}^{t}/w_{k}\right]\mathbb {K} _{k}\mathbb {A} _{j}^{t}\,;\\\qquad \mathbb {B} _{j}&=\mathbb {A} _{j}\left[\mathbb {D} _{k}+\mathbb {K} _{k}\mathbb {S} _{k}\left(\tau _{k}-\mathbb {S} _{k}^{t}\mathbb {D} _{k}\right)/w_{k}\right]+{\boldsymbol {\beta }}_{j}\;;\\\qquad \mathbb {D} _{j}&=\mathbb {K} _{j}{\boldsymbol {\alpha }}_{j}+\mathbb {B} _{j}.\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

For j= 1 to N do ${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}{}_{i}&={}_{j-1}\,;\\{\ddot {\mathrm {q} }}_{j}&=\left(\tau _{j}-\mathbb {S} _{j}^{t}\left[\mathbb {K} _{j}\mathbb {A} _{i}{\dot {\mathbb {V} }}_{i}+\mathbb {D} _{j}\right]\right){/}w_{j}\;;\\{\dot {\mathbb {V} }}_{j}&=\mathbb {A} _{i}^{t}\,{\dot {\mathbb {V} }}_{i}+\mathbb {S} _{j}\,{\ddot {q}}_{j}+\mathbb {V} _{j}\!\odot \mathbb {S} _{j}\,{\dot {q}}_{j}.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Cet algorithme calcule la matrice d'inertie dans l'espace de configuration. Son principe consiste à « rigidifier » l'arborescence, excepté en une seule articulation, en considérant successivement les N configurations ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} =0\,;\qquad \mathbf {\ddot {q}} =0\,,\,{\ddot {q}}_{\ell }=1,\,\ell =1,\cdots ,N.}$ Pour j = 1, ${\displaystyle \mathbb {F} }$ doit être considéré comme une matrice (66).

${\displaystyle {\mathfrak {M}}=0.}$

For j= 1 to N do ${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}{\mathcal {K}}_{j}&={\mathfrak {I}}_{j}.\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

for j= N downto 1 do ${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}\quad \mathbb {F} &={\mathcal {K}}_{j}\mathbb {S} _{j}\,;\\\quad {\mathfrak {M}}_{jj}&=\mathbb {S} _{j}^{t}\mathbb {F} \,;\\\quad p&={\text{père}}{(j)}\,;\quad \qquad {\text{if }}p>0{\text{ then$ :}}\\\quad {\mathcal {K}}_{p}&={\mathcal {K}}_{p}+\mathbb {A} _{pj}{\mathcal {K}}_{j}\mathbb {A} _{pj}^{t}\,;{\text{end if}}\\\quad \ell &=j\;;\\\quad &{\text{while }}p>0{\text{ do :}}\\\quad \mathbb {F} &=\mathbb {A} _{p\ell }\mathbb {F} \,;\\\quad \ell &={\text{père}}(\ell )\,;\\\quad {\mathfrak {M}}_{j\ell }&=\mathbb {S} _{\ell }^{t}\mathbb {F} \,;\qquad {\mathfrak {M}}_{\ell j}={\mathfrak {M}}_{j\ell }\,;\\&{\text{ end while.}}.\\\end{cases}}\end{aligned}}}

Cet algorithme calcule la matrice d'inertie dans l'espace de configuration. Il s'avèrerait particulièrement efficace pour les chaînes simples (bras manipulateurs). Il a l'originalité de provenir des équations de Gibbs-Appell, c'est-à-dire d'un calcul des variations opérant sur « l'énergie » d'accélération (analogue de l'énergie cinétique dans lequel le carré des vitesses est remplacé par le carré des accélérations). La matrice d'inertie du système est en effet la matrice hessienne de l'énergie d'accélération.

Soit un système mécanique articulé composé de ${\displaystyle Nc}$ corps et dont les articulations sont des pivots ou des glissières.

• Dans le cas d'un système à base fixe, le nombre de variables articulaires est égal au nombre de degrés de liberté du système ${\displaystyle N=Nc.}$ (chaque corps est mobile autour de son articulation).
• Dans le cas d'un système à base entièrement libre, la base, C1, possède 6 degrés de liberté et le nombre de degrés de liberté du système est alors ${\displaystyle N=Nc+5.}$

En appelant ${\displaystyle q^{j}\,;\,{j=1},\cdots ,N}$ les variables de configuration (ou coordonnées généralisées) les grandeurs qui interviennent dans la formation des équations de Lagrange sont :

• L'énergie cinétique du système ${\displaystyle T(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )}$ , qui est la somme des énergies cinétiques des Nc corps constitutifs ${\displaystyle {\rm {{(\,Nc\leqslant N\,)}.}}}$ En appelant, pour le corps d'indice ${\displaystyle {}_{i}\;,\mathbf {v} _{i},\;{\boldsymbol {\omega }}_{i},\;\mathbf {I} _{i},}$ respectivement, la vitesse au centre de gravité, le vecteur rotation, le tenseur d'inertie au centre de gravité, toutes ces grandeurs étant exprimées dans le repère absolu galiléen, on a :

${\displaystyle T(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{Nc}\left[m_{i}|\mathbf {v} _{i}|^{2}+{\boldsymbol {\omega }}_{i}^{t}(\mathbf {I} _{i}{\boldsymbol {\omega }}_{i})\right].}$

• La matrice d'inertie du système ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{jk}(\mathbf {q} )\,,}$ est une matrice [N×N], symétrique, définie positive, telle que :

${\displaystyle T(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}{{\mathfrak {M}}_{jk}{\dot {q}}^{j}{\dot {q}}^{k}}={\frac {1}{2}}{\mathfrak {M}}_{jk}{\dot {q}}^{j}{\dot {q}}^{k},}$ avec la convention de sommation d'Einstein sur les indices répétés.

• L'énergie potentielle : ${\displaystyle V(\mathbf {q} ).}$

Dans le cas où il n'y a pas de composant élastique, l'énergie potentielle ${\displaystyle V(\mathbf {q} ,g)}$ est proportionnelle à l'intensité de la pesanteur ${\displaystyle g,}$ et avec ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{j}={\overrightarrow {OG_{j}}}}$ dans R0, elle devient simplement :
${\displaystyle V(\mathbf {q} ,g)=\sum _{j=1}^{Nc}[-m_{j}{\boldsymbol {g}}^{t}{\boldsymbol {r}}_{j}].}$
On pose ici : ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{k}(\mathbf {q} )={\frac {\partial \ V_{(}\mathbf {q} )}{\partial q^{k}}},}$ pour le terme d'énergie potentielle d'indice ${\displaystyle k.}$

• ${\displaystyle \tau _{k}}$ : Effort (couple ou force) exercé par l'actionneur de l'articulation ${\displaystyle k}$.
• Le lagrangien est défini par la différence entre l'énergie cinétique ${\displaystyle T}$ et l'énergie potentielle ${\displaystyle V}$ :

${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V.}$

Avec les formules précédente pour T et V, l'expression générale des équations de Lagrange :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\!\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{k}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{k}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\!\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}^{k}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{k}}}+{\frac {\partial V}{\partial q^{k}}}=\tau _{k}\;;}$

peut se mettre sous la forme habituelle suivante :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}{\mathfrak {M}}_{jk}(\mathbf {q} ){\ddot {q}}{\,}^{j}&+\quad {\mathfrak {C}}_{k}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )+{\mathcal {V}}_{k}(\mathbf {q} )=\tau _{k}\,;\\{\mathfrak {C}}_{k}(\mathbf {q} {,}\mathbf {\dot {q}} )&=\Gamma _{ijk}(\mathbf {q} ){\dot {q}}{\,}^{i}{\dot {q}}{\,}^{j}\,;\\\Gamma _{ijk}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\mathfrak {M}}_{jk}}{\partial q^{i}}}+{\frac {\partial {\mathfrak {M}}_{ki}}{\partial q^{j}}}-{\frac {\partial {\mathfrak {M}}_{ij}}{\partial q^{k}}}\right)\,.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Le terme ${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{k}}$ représente les forces[dyna 11] centrifuge et de Coriolis et peut être exprimé avec les symboles de Christoffel de première espèce[dyna 12].

Le calcul algébrique des coefficients de ces équations est envisageable avec un logiciel de calcul symbolique. Toutefois, les algorithmes des sections précédentes, qui sont basés sur la formulation vectorielle de la mécanique, permettent aussi de calculer numériquement ces coefficients.

Lorsque des points du robot sont en contact avec un obstacle fixe de l'environnement, sa position ${\displaystyle \mathbf {Z} =\phi (\mathbf {q} )}$[dyna 13] est une constante, ce qui correspond à des liaisons bilatérales (qui sont permanentes si les vitesses et les accélérations sont nulles, ou transitoires dans le cas contraire). Cette situation est représentée par les équations de Lagrange avec r > 0 contraintes égalités :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}\quad \phi _{\ell }(\mathbf {q} )&=0\,;\;\ell =1,\cdots ,r.\\\quad {\mathfrak {J}}_{\ell i}(\mathbf {q} ){\dot {q}}\,^{i}\!&=0\,;\qquad {\mathfrak {J}}_{\ell i}(\mathbf {q} )={\frac {\partial \phi _{\ell }}{\partial q^{i}}}\,;\quad \ell =1,\cdots ,r\,;\quad i,k=1,\cdots ,N.\\{\mathfrak {M}}_{ik}(\mathbf {q} ){\ddot {q}}{\,}^{i}&+\;{\mathfrak {C}}_{k}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )+{\mathcal {V}}_{k}(\mathbf {q} )=\tau _{k}+{\mathfrak {J}}_{k\ell }^{t}(\mathbf {q} )\lambda ^{\ell }.\\\qquad {\text{Les r variables }}&{\text{ supplémentaires }}{\boldsymbol {\lambda }}{\text{ sont les multiplicateurs de Lagrange.}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

Lorsque les contraintes représentent des liaisons ayant une signification géométrique, les multiplicateurs sont les composantes des efforts de réaction exercés par l'environnement sur le système mécanique.

Il est physiquement plus satisfaisant de modéliser les actions de contact par des liaisons unilatérales et par des équations de Lagrange avec contraintes inégalités :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}\quad \phi _{\ell }(\mathbf {q} )&=0\,;\;\ell =1,\cdots ,r.\\\quad \psi _{m}(\mathbf {q} )&\geqslant 0\,;\;m=1,\cdots ,s.\\\quad {\mathfrak {J}}_{\ell i}(\mathbf {q} ){\dot {q}}\,^{i}&=0\,;\qquad {\mathfrak {J}}_{\ell i}(\mathbf {q} )={\frac {\partial \phi _{\ell }}{\partial q^{i}}}\,;\quad \ell =1,\cdots ,r\,;\quad i,k=1,\cdots ,N.\\\;{\mathfrak {K}}_{mi}(\mathbf {q} ){\dot {q}}\,^{i}\!&\geqslant 0\,;\qquad {\mathfrak {K}}_{mi}(\mathbf {q} )={\frac {\partial \psi _{m}}{\partial q^{i}}}\,;\quad m=1,\cdots ,s\,;\quad i,k=1,\cdots ,N.\\{\mathfrak {M}}_{ik}(\mathbf {q} ){\ddot {q}}{\,}^{i}&+\;{\mathfrak {C}}_{k}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )+{\mathcal {V}}_{k}(\mathbf {q} )=\tau _{k}+{\mathfrak {J}}_{k\ell }^{t}(\mathbf {q} )\lambda ^{\ell }+{\mathfrak {K}}_{km}^{t}(\mathbf {q} )\mu ^{m}.\\\quad {\text{Les s variables }}&{\text{ supplémentaires }}{\boldsymbol {\mu }}{\text{ sont les multiplicateurs de Karush-Kuhn-Tucker qui vérifient les conditions$ :}}\\\qquad \psi _{m}\geqslant 0&\Leftrightarrow \mu ^{m}=0\,;\qquad \psi _{m}=0\Leftrightarrow \mu ^{m}\geqslant 0.\end{cases}}\end{aligned}}}