Principe des puissances virtuelles

Soit ${\displaystyle M}$ un point matériel de masse ${\displaystyle m}$ en équilibre par rapport à un repère galiléen ${\displaystyle R}$. On note ${\displaystyle F}$ la résultante des forces extérieures. Si ${\displaystyle v^{\star }}$ est un vecteur quelconque de l'espace ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, l'équation classique de la statique du point :

est équivalente à :

Le produit ${\displaystyle F\cdot v^{\star }}$ est appelé la puissance virtuelle de la force ${\displaystyle F}$ par rapport à ${\displaystyle R}$.

Si le point ${\displaystyle M}$ est en mouvement par rapport à ${\displaystyle R}$, on note ${\displaystyle a}$ l'accélération du point par rapport à ce repère.

L'équation classique de la dynamique de ${\displaystyle M}$

est équivalente à :

Le produit ${\displaystyle ma\cdot v^{\star }}$ est appelé puissance virtuelle des quantités d'accélération par rapport à ${\displaystyle R}$.

Problème mécanique type.

Un système mécanique ${\displaystyle \Omega }$ est défini par un domaine de l'espace que l'on décide d'étudier, sur lequel est défini une répartition de masse. Cette masse définit sur ${\displaystyle \Omega }$ une mesure au sens des mathématiques.

Exemples de systèmes mécaniques :

1. un point matériel ;
2. un solide matériel indéformable ;
3. un système de solides matériels indéformables ;
4. un milieu continu (solide déformable ou fluide).

Exemples de systèmes mécaniques

Soit ${\displaystyle \Omega }$ un système mécanique, on appelle mouvement admissible de ${\displaystyle \Omega }$ la donnée d'un champ de vitesse en tout point du domaine du système. L'ensemble des champs de vitesse virtuelle admissibles a une structure d'espace vectoriel topologique. Tout l'art du mécanicien est de choisir l'espace vectoriel topologique le mieux adapté au problème que l'on étudie.

• Pour un point matériel dans l'espace sans conditions particulières, les mouvements admissibles sont les translations de l'espace.
• Pour un point matériel se déplaçant sans frottement sur une courbe donnée, les mouvements admissibles seront :
  • soit les mouvements de ce point restant sur la courbe si on ne veut pas connaître les efforts de réaction ;
  • soit les mouvements généraux dans l'espace si on veut étudier la réaction du support.
• Pour un solide indéformable, les mouvements admissibles sont :
  • soit des translations et des rotations (lorsqu'on ne veut pas étudier les efforts à l'intérieur du solide) ;
  • soit des mouvements qui divisent le solide en deux ou plusieurs parties solides, si on veut connaître les efforts d'une partie donnée du solide sur les autres.
• Pour un milieu continu, on a a priori n'importe quel champ de vitesse continu (voire discontinu si l'on veut pouvoir étudier la rupture).

Remarque : de manière heuristique, on peut dire que plus l'espace vectoriel des champs de vitesses virtuelles que l'on aura choisi, sera « riche », plus les équations du problème que l'on étudie, seront complexes à résoudre, mais en contrepartie les informations recueillies à la fin du calcul seront d'autant plus « intéressantes ».

Un mouvement rigidifiant d'un système (solide ou non) ${\displaystyle \Omega }$ est un mouvement conférant au système un mouvement de corps rigide.

Si l'on considère un système dans l'espace et que ${\displaystyle O}$ est l'origine d'un repère spatial, alors tout mouvement rigidifiant ${\displaystyle v^{\star }}$ peut s'écrire :

Mouvements rigidifiants d'un solide dans le plan.

La puissance accélératrice d'un système ${\displaystyle \Omega }$ est la puissance développée par les quantités d'accélération dans le champ de mouvement.

Pour un point matériel de masse ${\displaystyle m}$ dans le champ de vitesse ${\displaystyle \ v}$ on obtient :

Pour un système de ${\displaystyle N}$ points matériels de masses ${\displaystyle m_{i}}$ on obtient dans le champ ${\displaystyle v_{i}}$ :

Dans le cas d'un milieu continu (solides, fluides, etc.) de masse volumique ${\displaystyle \rho (M)}$ dans un champ ${\displaystyle v(M)}$ :

La puissance extérieure ou puissance des efforts extérieurs est la puissance développée par les efforts extérieurs dans le champ de vitesse.

Pour un point matériel soumis à la force ${\displaystyle F}$ dans le champ de vitesse ${\displaystyle v}$ elle s'exprime par :

Pour un système de ${\displaystyle N}$ points ${\displaystyle P_{i}}$ soumis aux forces ${\displaystyle F_{i}}$ dans le champ ${\displaystyle v_{i}}$ :

Pour un milieu continu ${\displaystyle \Omega }$ de frontière ${\displaystyle \partial \Omega }$ soumis aux efforts volumiques ${\displaystyle f(M)}$ et aux efforts surfaciques ${\displaystyle F(M)}$ dans le champ ${\displaystyle v(M)}$ :

La puissance des efforts intérieurs est la puissance développée par les efforts intérieurs (ou internes) au système considéré. Ce sont le plus souvent des efforts de contact (systèmes de points matériels ou de solides, milieux granulaires) ou des efforts de cohésion (milieux continus).

L'axiomatique énoncée ci-après indique que cette puissance est toujours nulle lorsque le mouvement est rigidifiant. Pour un système de points matériels ou de solides, elle peut s'exprimer de manière similaire à la puissance extérieure (en considérant les actions sur chacun des points/solides par les autres).

Pour un milieu continu, son expression dépend de la modélisation adoptée et peut être déduite du PPV et de quelques hypothèses de modélisation.

Soit ${\displaystyle \ R}$ un référentiel galiléen. Les vitesses, accélérations et puissances sont prises par rapport à ce repère.

• Soit ${\displaystyle \Omega }$ un système, soit ${\displaystyle \varepsilon }$ un espace, dit espace des mouvements virtuels, qui contient l'ensemble des mouvements admissibles par ${\displaystyle \Omega }$ et ${\displaystyle \varepsilon _{R}}$ l'espace des mouvements virtuels rigidifiants. On note respectivement ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{a},{\mathcal {P}}_{e}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}}$ la puissance accélératrice, la puissance des efforts extérieurs à ${\displaystyle \Omega }$ et la puissance des efforts intérieurs.

Pour un système mécanique :

• 1°) dans un référentiel galiléen, pour tout mouvement virtuel admissible, la puissance virtuelle d’accélération est égale à la somme des puissances virtuelles des efforts extérieurs et des efforts intérieurs ;
• 2°) pour tout mouvement virtuel rigidifiant, la puissance virtuelle des efforts intérieurs est nulle.

Si l'on applique le PPV à un système matériel quelconque soumis aux efforts volumiques ${\displaystyle f}$ et surfaciques ${\displaystyle F}$ en choisissant un champ rigidifiant ${\displaystyle v_{R}^{\star }=v_{0}^{\star }+\Omega _{0}^{\star }\wedge OM}$ on obtient :

Ce qui traduit le fait que la réduction du torseur des actions extérieures en ${\displaystyle O}$ — point fixe — est égale à la dérivée de la réduction du torseur cinétique au même point :

Pour retrouver le théorème de l'énergie cinétique (notée ${\displaystyle T}$ ici), il suffit de choisir comme mouvement virtuel le mouvement réel, on obtient alors immédiatement :

Note : dans le cadre de l'axiomatique des puissances virtuelles, ce qu'on appelle souvent « principe de l'action et de la réaction », peut se démontrer, et devient donc un théorème.

Soit ${\displaystyle \Omega }$ un système quelconque formé de deux parties ${\displaystyle \Omega _{1}}$ et ${\displaystyle \Omega _{2}}$. On appelle ${\displaystyle R_{1}}$ et ${\displaystyle R_{2}}$ respectivement la résultante des efforts de ${\displaystyle \Omega _{1}}$ sur ${\displaystyle \Omega _{2}}$ et de ${\displaystyle \Omega _{2}}$ sur ${\displaystyle \Omega _{1}}$. Choisissons un mouvement virtuel quelconque de translation du système complet défini par le champ de vitesse virtuelle ${\displaystyle v^{\star }}$. Ce mouvement virtuel est rigidifiant. En vertu de l'axiomatique, les efforts intérieurs à ${\displaystyle \Omega }$ ont une puissance nulle :

d'où

${\displaystyle R_{1}=-R_{2}}$

La résultante des actions de ${\displaystyle \Omega _{1}}$ sur ${\displaystyle \Omega _{2}}$ est l'opposée de celles de ${\displaystyle \Omega _{2}}$ sur ${\displaystyle \Omega _{1}}$.

Une démonstration analogue, en choisissant un mouvement virtuel de rotation de ${\displaystyle \Omega }$, montrerait que les moments des actions réciproques de ${\displaystyle \Omega _{1}}$ et ${\displaystyle \Omega _{2}}$ sont aussi opposés.

Le PPV constitue une démarche de modélisation : en effet, il comporte deux « volets », l'un traduisant un équilibre de puissance, l'autre une nullité dans un type de mouvement. Parmi les trois types de puissances, il en existe deux dont les expressions sont relativement simples (même si elles font en réalité déjà intervenir des hypothèses et font donc déjà partie d'une modélisation) et une, celle des efforts intérieurs, qui pose un réel problème dès que l'on sort du cadre des systèmes de points matériels ou des solides indéformables.

Pour pouvoir appliquer le PPV, il faut donc proposer une écriture pour la puissance des efforts intérieurs. Pour ce faire, il existe principalement deux démarches. La première consiste à changer d'échelle, à considérer un volume élémentaire de matière et à en déduire une expression des efforts intérieurs et donc de leur puissance. Une autre démarche est présentée ici, qui permet d'aboutir à la théorie du premier gradient et aux théories de gradients d'ordres plus élevés.

1. On suppose qu'il existe une densité volumique (ou massique) de puissance des efforts intérieurs, ${\displaystyle p_{i}}$ telle que ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}=\int _{\Omega }p_{i}d\Omega }$
2. On suppose que cette densité volumique peut s'écrire ${\displaystyle p_{i}=A\cdot v^{\star }}$ où ${\displaystyle A}$ est un champ de vecteur.

L'hypothèse 2. revient à représenter les efforts intérieurs par un champ de vecteur.

Soit le champ rigidifiant ${\displaystyle v_{0}^{\star }+\Omega _{0}^{\star }\wedge OM}$, d'après le PPV on a donc :

Ce qui conduit à ${\displaystyle A=0}$

On vient de montrer que si l'on représente les efforts intérieurs par un champ de vecteur, ce champ est nécessairement nul.

On peut remplacer l'hypothèse 2. par l'hypothèse suivante :

2'. la densité volumique de puissance des efforts intérieurs est une forme linéaire de ${\displaystyle v^{\star }}$ faisant intervenir ${\displaystyle v^{\star }}$ et ses gradients successifs.

Si l'on choisit de s'arrêter au premier gradient, on obtient la théorie du premier gradient, qui est la modélisation la plus courante pour un milieu continu, on peut alors montrer que les efforts intérieurs sont représentés par un tenseur d'ordre 2, ${\displaystyle \mathbb {\sigma } }$, qui est symétrique et vérifie ${\displaystyle \mathbb {\sigma } \cdot n=F}$ où ${\displaystyle n}$ est le vecteur normal sortant à la frontière de ${\displaystyle \Omega }$ et F l'effort surfacique appliqué sur cette frontière.

On peut prendre des gradients d'ordres plus élevés, ce qui conduit à des modèles plus complexes mais permettant de rendre compte d'effets plus subtils. Ainsi, avec le premier gradient, on ne peut pas couper une motte de beurre, et il faut monter au troisième gradient pour pouvoir la perforer, tandis que le second gradient permet déjà de la découper avec le fil à beurre..