Contrainte holonome

Les contraintes d'un corps supposé rigide sont holonomes scléronomes : pour deux particules quelconques numérotées ${\displaystyle \ i,j}$, il existe une constante ${\displaystyle \ C_{i,j}}$ telle que l'on doit avoir ${\displaystyle \|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}\|=C_{i,j}}$.

Le système étudié peut être décrit par d'autres variables que les positions spatiales de ses N points : angles, positions relatives, etc. Dans ce cas, les nouvelles coordonnées utilisées sont appelées « coordonnées généralisées » ; elles sont souvent notées ${\displaystyle \ \{q_{1},...,q_{n}\}}$ et sont au nombre de ${\displaystyle \ n\leq 3N}$. On a ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}={\vec {r}}_{i}\left(q_{1},...,q_{n},t\right)}$, et la contrainte holonome peut alors s'écrire ${\displaystyle \ f(q_{1},q_{2},...,q_{n},t)=0}$. Le système des N points, évoluant dans l'espace de dimension 3, peut alors être considéré comme décrit dans un espace de dimension n.

• Un système de N corps ponctuels non soumis à une contrainte holonome a 3N degrés de liberté et nécessite donc 3N variables réelles indépendantes pour être décrit (par exemple : les 3N coordonnées des N corps).
• Un système de N corps ponctuels soumis à K contraintes holonomes indépendantes a 3N - K degrés de liberté et nécessite donc 3N - K variables réelles indépendantes pour être décrit : ce peut être des coordonnées spatiales de certains corps, ou d'autres données.

Exemple du positionnement d'un triangle

Dans l'espace, un triangle quelconque est déterminé par trois sommets (9 coordonnées: ${\displaystyle {(x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2}),(x_{3},y_{3},z_{3})}}$) et possède donc 9 degrés de liberté. Or, la forme d'un triangle non localisé dans l'espace possède 3 degrés de liberté, étant complètement déterminée par la longueur de ses 3 côtés (L₁,L₂,L₃). La connaissance de la forme du triangle à positionner dans l'espace induit les 3 contraintes holonomes indépendantes suivantes (avec L₁,L₂,L₃ fixés) :

${\textstyle {\begin{array}{lcr}(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}=L_{1}^{2}\\(x_{1}-x_{3})^{2}+(y_{1}-y_{3})^{2}+(z_{1}-z_{3})^{2}=L_{2}^{2}\\(x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}+(z_{2}-z_{3})^{2}=L_{3}^{2}\end{array}}}$

Ces trois contraintes retirent 3 degrés de liberté au système, lequel en compte maintenant 9 - 3 = 6. Dans l'espace, la position d'un triangle de forme donnée peut donc être déterminée par 6 variables indépendantes. Par exemple, on peut choisir 3 coordonnées cartésiennes pour situer l'un de ses sommets, disons P. À partir de ce sommet, on détermine la direction dans laquelle placer le second, disons Q, avec un vecteur unitaire de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ (cela correspond à 2 angles). Ensuite, on fait tourner le troisième sommet autour de l'axe (PQ) pour déterminer sa position (cela prend 1 angle). En termes de coordonnées généralisées, on peut donc décrire la position d'un triangle quelconque dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ comme un vecteur de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times S^{2}\times S^{1}}$, où ${\displaystyle S^{n}}$ désigne la n-sphère, l'ensemble des vecteurs unitaires de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$. De même, comme la position de tout solide rigide est déterminée par trois de ses points non alignés quelconques, elle est déterminée par 6 variables indépendantes.

Un déplacement virtuel ${\displaystyle \left(\delta q_{1},\delta q_{2},...,\delta q_{n}\right)}$ est un déplacement instantané et infinitésimal du système de telle sorte qu'il vérifie toujours ses contraintes. Pour une contrainte holonome, on doit donc avoir ${\displaystyle \ f\left(q_{1}+\delta q_{1},q_{2}+\delta q_{2},...,q_{n}+\delta q_{n},t\right)=0}$, d'où, au premier ordre, ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}.\delta q_{i}=0}$.

On peut justifier que le vecteur ${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}\right)_{i}}$ est proportionnel à la force de contrainte généralisée, associée à la contrainte ${\displaystyle \ f}$, dont les n coordonnées sont ${\displaystyle \ Z_{j}(q,t)=\sum _{i=1}^{N}{\vec {Z}}_{i}({\vec {r}},t).{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}}$ (proportionnalité justifiée par un raisonnement sur les degrés de liberté du système[1]), le coefficient de proportionnalité étant nommé multiplicateur de Lagrange. En cas d'existence de K contraintes holonomes, on peut justifier de la même manière que la somme des forces de contraintes est une composition linéaires des vecteurs, indexés par k = 1,2,...,K, ${\displaystyle \left({\frac {\partial f_{k}}{\partial q_{i}}}\right)_{i}}$, les coefficients étant nommés également multiplicateurs de Lagrange.

• Un corps M ponctuel dont les mouvements sont limités à l'intérieur d'une sphère de centre O et de rayon R vérifie l'inéquation ${\displaystyle \scriptstyle OM\leq R}$, soit ${\displaystyle \textstyle \|{\vec {r}}_{M}-{\vec {r}}_{O}\|\leq R}$, ce qui est une contrainte non holonome.
• Une masse ponctuelle attachée à l'extrémité d'un ressort vérifie la contrainte non holonome ${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}x=0}$, avec ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$.

• Claude Gignoux et Bernard Silvestre-Brac ; Mécanique : de la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien, éditeur EDP-Sciences, 2002, 467 pages (ISBN 2868835848).