Algèbre classique

Une expression algébrique est constituée de nombres, de lettres et de signes opératoires :

• le signe ${\displaystyle +}$ est utilisé pour marquer l'addition.
• le signe ${\displaystyle -}$ est utilisé pour marquer la soustraction.
• les signes ${\displaystyle \times }$ ou ${\displaystyle \cdot }$ sont utilisés pour marquer la multiplication. Quand la multiplication concerne deux lettres, il est possible d'écrire ${\displaystyle ab}$ au lieu de ${\displaystyle a\times b}$.
• le signe ${\displaystyle \div }$ est utilisé pour marquer la division, ${\displaystyle a\div b}$ pouvant également s'écrire ${\displaystyle {\cfrac {a}{b}}}$.

Par exemple :

• Le produit d'un nombre ${\displaystyle x}$ augmenté de 3 par lui-même s'écrit ${\displaystyle (x+3)x}$.
• La différence des carrés de deux nombres ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ s'écrit ${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$

Évaluer une expression algébrique consiste à attribuer une valeur à chacune des variables, puis à effectuer le calcul arithmétique obtenu.

Par exemple évaluer l'expression ${\displaystyle x^{2}+x-1}$ pour ${\displaystyle x=2}$ consiste à effectuer le calcul ${\displaystyle 2^{2}+2-1}$.

L'addition :

• s'écrit a + b ;
• est commutative : a + b = b + a ;
• est associative : (a + b) + c = a + (b + c) ;
• a une application réciproque appelée soustraction : (a + b) − b = a, équivaut à additionner un nombre négatif, a − b = a + (−b) ;
• a un élément neutre 0 qui conserve le nombre : a + 0 = a.

La multiplication :

• s'écrit a × b ou a • b ;
• est commutative : a × b = b × a ;
• est associative : (a × b) × c = a × (b × c) ;
• est abrégé par la juxtaposition : a × b ≡ ab ;
• a un élément neutre 1 qui conserve le nombre : a × 1 = a ;
• pour les nombres différents de zéro, a une application réciproque appelée division : (ab)/b = a, équivaut à multiplier par son inverse, a/b = a(1/b) ;
• est distributive par rapport à l'addition : (a + b)c = ac + bc ;
• a un élément absorbant 0 qui annule le nombre : a × 0 = 0.

Factoriser une expression algébrique, ${\displaystyle E}$, consiste à en transformer l'écriture sous la forme d'un produit de deux ou plusieurs expressions (${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ...) :

${\displaystyle E=A\times B\times \cdots }$

Chacune des expressions ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ... est appelée un facteur.

Développer une expression algébrique, ${\displaystyle E}$, consiste à en transformer l'écriture sous la forme d'une somme (ou différence) de deux ou plusieurs expressions. (${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ...) :

${\displaystyle E=A+B+\cdots }$

Chacune des expressions ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ... est appelée un terme.