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Liste de suites de nombres premiers

Certains nombres premiers peuvent appartenir à diverses catégories de nombres remarquables.

Autrement dit, des suites (finies ou infinies) de nombres premiers satisfaisant des propriétés particulières communes peuvent être établies, au sein de l'ensemble infini des nombres premiers[1].

Le présent article s'intéresse aux suites de nombres premiers appartenant à diverses catégories remarquables pour leur intérêt mathématique ou parfois ludique.

Il existe des formules qui donnent exclusivement des nombres premiers (nombres de Mills).

Premiers d'une classe de congruence

Nombre premier de Pythagore

Premier congru à 1 modulo 4.

Entier naturel premier de Gauss

Nombre premier qui, dans l'anneau des entiers de Gauss, est aussi un élément premier, c'est-à-dire qui est congru à 3 modulo 4.

Entier naturel premier d'Eisenstein

Nombre premier qui, dans l'anneau des entiers d'Eisenstein, est aussi un élément premier, c'est-à-dire qui est congru à –1 modulo 3.

Premiers liés aux puissances de 2

Nombre de Fermat premier

Premier de la forme , avec entier naturel. On n'en connait que cinq : .

Nombre de Mersenne premier

Premier de la forme .

Voir aussi : Nombre double de Mersenne (seulement quatre premiers connus : M3, M7, M31 et M127) et Nombre de Catalan-Mersenne (seulement cinq : 2, M2, M3, M7 et M127).

Nombre premier de Pierpont

Premier de la forme .

Nombre de Proth premier

Premier de la forme avec .

Nombre de Thebit premier

Premier de la forme .

Nombre premier de Wagstaff

Premier de la forme .

Nombre premier de Wieferich

Premier p tel que p2 divise 2p–1 – 1 (d'après le petit théorème de Fermat, tout nombre premier p > 2 divise le nombre 2p–1 – 1).

Les seuls nombres premiers de Wieferich connus sont 1 093 et 3 511. On ignore si l'ensemble des nombres premiers de Wieferich est fini ou infini.

Nombre de Woodall premier

Premier de la forme .

Nombre de Cullen premier

Premier de la forme .

Premiers extraits d'une suite récurrente linéaire

Nombre premier de Fibonacci

Nombre de Fibonacci premier.

Nombre premier de Lucas

Nombre à la fois premier et de Lucas.

Nombre de Pell premier

Nombre à la fois premier et de Pell.

Nombre de Newman-Shanks-Williams premier

Nombre à la fois premier et de Newman-Shanks-Williams.

Nombre de Perrin premier

Nombre à la fois premier et de Perrin.

n-uplet de nombres premiers distants d'écarts constants

Couples

Les suites suivantes concernent les couples de deux nombres premiers (non nécessairement consécutifs) de la forme (p, p + k), où l'écart k est un entier strictement positif. Pour chaque k impair, il existe au plus un couple de nombres premiers distants de k : le couple (2, 2 + k), si 2 + k est premier.

Écarts 2, 4 et 6

Quelques autres écarts pairs

n-uplets suivants

Nombre combinatoire premier

Nombre de Bell premier

Premier égal au nombre de partitions d'un ensemble fini.

Nombre premier factoriel

Premier de la forme n! ± 1.

Nombre premier primoriel

Premier de la forme pn# ± 1.

Nombre d'Euclide premier

Premier de la forme pn# + 1.

Nombre de Motzkin premier

Premier égal au nombre de façons de dessiner des cordes non sécantes entre n points d'un cercle.

Bon nombre premier

Premier tel que , où désigne le -ième nombre premier.

Nombre presque carré premier

Eric Weisstein propose d'appeler « nombre presque carré » un nombre de la forme (où, implicitement, et sont des entiers relatifs non nuls), et donne des liens vers l'OEIS, pour compris entre –5 et 5, pour ces suites de nombres, et pour les sous-suites de ceux qui sont premiers[2].

L'OEIS contient également des listes pour de –6 à –11 (OEIS A056909, OEIS A079138, OEIS A138338, OEIS A138353, OEIS A138355 et OEIS A138362) et de 6 à 8 (OEIS A028880, OEIS A028883 et OEIS A028886).

Exemples
  • Le seul nombre premier de la forme est 3 et le seul nombre premier de la forme est 5. Cela est dû au fait que 1 et 4 sont des carrés parfaits : est un nombre premier si et seulement si et est premier.
  • Pour , les nombres de Fermat , et même les nombres de Fermat généralisés , sont de la forme .
  • Les nombres de Carol et les nombres de Kynea sont de la forme .

Nombre premier de Chen

Premier p tel que p + 2 est premier ou semi-premier (c'est-à-dire le produit de deux nombres premiers).

En 1966, Jingrun Chen a démontré qu'il existe une infinité de tels nombres premiers.

Nombre premier cubain (ou cube)

Premier de la forme [3] avec entier strictement positif et égal à ou à .

Nombre premier équilibré

Nombre premier situé à égale distance des premiers précédent et suivant.

Nombre fortuné premier

Pour tout entier , le -ième nombre fortuné (suite A005235 de l'OEIS) est l'entier défini par : est le plus petit nombre premier strictement supérieur au nombre d'Euclide .

On conjecture que tout nombre fortuné est premier.

Nombre premier harmonique

Pour tout premier , le numérateur du n-ième nombre harmonique est divisible par au moins pour les trois valeurs , et . Le nombre premier p est dit harmonique si ces trois valeurs sont les seules.

Les nombres premiers harmoniques sont 5, 13, 17, 23, 41, 67, etc. (suite A092101 de l'OEIS). On conjecture qu'il en existe une infinité[4] - [5].

Nombre premier de Higgs

Premier pour lequel divise le carré du produit de tous les nombres premiers de Higgs inférieurs.

Nombre premier long

Premier tel que dans une base donnée non divisible par , l'entier soit cyclique.

Nombre de Markov premier

Premier pour lequel il existe des entiers et tels que .

Nombre premier de Pillai

Premier pour lequel il existe un entier tel que divise et ne divise pas .

Nombre premier de Ramanujan

Le n-ième nombre premier de Ramanujan est le plus petit entier à partir duquel la fonction « nombre de nombres premiers entre et  Â» est minorée par .

Nombre premier régulier

Nombre premier ne divisant pas le nombre de classes du corps cyclotomique ℚ(ζp). Les nombres premiers impairs non réguliers sont dits irréguliers.

Nombre premier de Sophie Germain

Premier tel que soit aussi premier, ce dernier étant alors appelé un nombre premier sûr.

Nombre premier de Stern

Premier qui n'est pas de la forme avec premier et entier non nul. Les huit connus (2, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493) sont peut-être les seuls.

Nombre premier supersingulier

Premier correspondant à une courbe elliptique ayant des propriétés exceptionnelles.

Il en existe exactement quinze : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 et 71.

Nombre premier sûr

Premier tel que soit aussi premier, ce dernier étant alors appelé un nombre premier de Sophie Germain.

Nombre premier unique

Premier pour lequel la période du développement décimal de est unique (aucun autre premier ne donne la même).

Nombre premier de Wall-Sun-Sun

Premier p dont le carré divise F(p – (p/5)). On ignore s'il en existe.

Paire de Wieferich

Une paire de nombres premiers est dite de Wieferich si q p–1 ≡ 1 (mod p2) et doublement de Wieferich si de plus p q–1 ≡ 1 (mod q2).

Nombre premier de Wilson

Premier p tel que p2 divise (p – 1)! + 1.

On conjecture qu'il existe une infinité de nombres premiers de Wilson mais on n'en connaît que trois : 5, 13 et 563 (suite A007540 de l'OEIS).

Nombre premier de Wolstenholme

Premier p pour lequel le coefficient binomial est congru à 1 mod p4.

On conjecture qu'il existe une infinité de nombres premiers de Wolstenholme mais on n'en connaît que deux : 16 843 et 2 124 679.

Premiers extraits d'une constante

Nombre premier de Mills

Partie entière de pour un entier n > 0, où θ est la constante de Mills (le plus petit réel pour lequel tous ces entiers sont premiers).

Nombre premier issu de la partie entière de puissances d'une constante

Premier égal à la partie entière, par défaut ou par excès, d'une puissance entière d'une constante égale à e[6], π[7] ou φ[8].

Nombre premier issu de troncature de constante

Premier dont les chiffres sont les premiers chiffres, en base dix, d'une constante mathématique (virgule éventuelle non prise en compte)[9].

Exemples :

ConstanteSymboles usuelsValeur approchée par défaut à 10–9 près
(suite OEIS des chiffres de l'approximation)
Nombre n de chiffres de p
(suite OEIS de ces nombres)
Nombres premiers p obtenus
(suite OEIS de ces nombres premiers)
Constante d'Apéryζ(3)1,202 056 903
(OEIS A002117)
10, 55, …
(OEIS A119334)
1 202 056 903, …
(OEIS A119333)
Constante de CatalanK ou β(2)0,915 965 594
(OEIS A006752)
52, …
(OEIS A118328)
…
(OEIS A118329)
Constante de Copeland-Erdős0,235 711 131
(OEIS A33308)
1, 2, 4, 11, …
(OEIS A227530)
2, 23, 2 357, …
(les nombres de Smarandache-Wellin premiers forment une sous-suite)
Constante de Népere2,718 281 828
(OEIS A001113)
1, 3, 7, 85, …
(OEIS A064118)
2, 271, 2 718 281, …
(OEIS A007512)[6]
Constante d'Euler-Mascheroniγ0,577 215 664
(OEIS A001620)
1, 3, 40, …
(OEIS A065815)
5, 577, …
(suite non disponible)
Constante de Glaisher-KinkelinA1,282 427 129
(OEIS A074962)
7, 10, 18, …
(OEIS A118420)
1 282 427, 1 282 427 129, …
(OEIS A118419)
Constante de Golomb-Dickmanλ, μ0,624 329 988
(OEIS A084945)
6, 27, …
(OEIS A174974)
624 329, …
(OEIS A174975)
Nombre d'orφ1,618 033 988
(OEIS A001622)
7, 13, …
(OEIS A064119)
1 618 033, …
(OEIS A064117)[8]
Constante de KhinchinK2,685 452 001
(OEIS A002210)
1, 407, …
(OEIS A118327)
2, …
(suite non disponible)
Constante piπ3,141 592 653
(OEIS A000796)
1, 2, 6, 38, …
(OEIS A060421)
3, 31, 314 159, …
(OEIS A005042)[7]
Constante de Pythagore√21,414 213 562
(OEIS A002193)
55, …
(OEIS A115377)
…
(OEIS A115453)
Constante de Ramanujan-Soldnerμ1,451 369 234
(OEIS A070769)
4, 144, …
(OEIS A122422)
1 451, …
(OEIS A122421)
Constante de Théodorus√31,732 050 807
(OEIS A002194)
2, 3, 19, …
(OEIS A119344)
17, 173, …
(OEIS A119343)

Curiosités

Dans cette section, les nombres sont exprimés en base dix.

Nombre premier diédral

Premier qui le reste lorsqu'il est observé, normalement ou tête en bas, en vue directe ou en réflexion dans un miroir, sur un afficheur 7 segments (le 1 est supposé être écrit à l'anglaise, comme une barre). Ce nom vient du fait que le groupe de symétrie du rectangle est le groupe diédral D4 (le groupe de Klein). Ces nombres forment la suite A134996 de l'OEIS : 2, 5, 11, 101, 181, etc. Leurs seuls chiffres possibles sont 0, 1, 2, 5 et 8.

Le nombre à 180 055 chiffres 10180 054 + 8R58 5671060 744 + 1 (où Rn est un répunit) est de plus premier palindrome. Lors de sa découverte en 2009 (par Darren Bedwell), il était le plus grand nombre premier diédral connu.

Nombre premier palindrome

Nombres à la fois premiers et palindromes, formant la suite A002385 de l'OEIS : 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, etc.

Nombre tétradique premier

Un nombre est dit tétradique[10] s'il reste inchangé lorsque ses chiffres sont mis tête en bas ou sont inversés par des symétries centrales, c'est-à-dire si c'est un nombre palindrome n'utilisant que les chiffres 0, 1 et 8.

Ceux qui sont premiers forment la suite A068188 de l'OEIS (11, 101, 181, etc.), dont le plus grand connu, en 2010, était le nombre premier diédral de 180 055 chiffres mentionné ci-dessus.

Nombre premier permutable

Premier dont toute permutation des chiffres est première, comme 13 ou 113 ou comme le répunit premier 11 (en base dix).

Reimerp

Premier devenant un premier distinct lorsque ses chiffres sont inversés, comme 13 ou 107 (« reimerp » vient du mot « premier » épelé à l'envers).

Nombre premier tronquable

Un nombre premier est dit :

  • tronquable à droite s'il reste premier lorsque ses derniers chiffres sont successivement enlevés ;
  • tronquable à gauche s'il ne contient pas le chiffre 0 et s'il reste premier lorsque ses premiers chiffres sont successivement enlevés.

Notes et références

Notes

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dihedral prime » (voir la liste des auteurs).

Références

  1. (en) Eric W. Weisstein, « Integer Sequence Primes », sur MathWorld.
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Near-Square Prime », sur MathWorld.
  3. D'où le nom (rôle joué par les cubes), villemin.gerard.free.fr Nombres - Curiosités, théorie et usages : nombres premiers cubes.
  4. (en) Arulappah Eswarathasan et Eugene Levine, « p-Integral harmonic sums », Discrete Math., vol. 91,‎ , p. 249-257 (DOI 10.1016/0012-365X(90)90234-9).
  5. (en) David W. Boyden, « A p-adic study of the partial sums of the harmonic series », Exper. Math., vol. 3, no 4,‎ , p. 287-302 (lire en ligne).
  6. (en) Eric W. Weisstein, « e-Prime », sur MathWorld.
  7. (en) Eric W. Weisstein, « Pi-Prime », sur MathWorld.
  8. (en) Eric W. Weisstein, « Phi-Prime », sur MathWorld.
  9. (en) Eric W. Weisstein, « Constant Primes », sur MathWorld.
  10. (en) Eric W. Weisstein, « Tetradic Number », sur MathWorld.

Voir aussi

Liens externes

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