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Nombre de Carol

En mathématiques récréatives, le n-ième nombre de Carol (où n est un entier strictement positif[1]) est l'entier

L'amateur qui les étudie, Cletus Emmanuel, leur a donné le nom d'une amie, Carol G. Kirnon[2].

Propriétés

Les dix premiers nombres de Carol (suite A093112 de l'OEIS) sont

–1, 7, 47, 223, 959, 3 967, 16 127, 65 023, 261 119 et 1 046 527.

Leurs classes de congruence modulo 7 sont

–1, 0, –2, –1, 0, –2, –1, 0, –2, etc.

donc pour tout entier k > 0, le (3k+2)-ième nombre de Carol n'est pas premier.

Le n-ième nombre de Carol est égal à (22n – 1) – 2n+1, ainsi qu'à ((2n + 1)2 – 2) – 2n+2.

Sa représentation binaire si n > 2 est, de gauche à droite, (n – 2) uns consécutifs, un zéro au milieu, puis (n + 1) uns consécutifs, puisque

Par exemple, le troisième nombre de Carol (47) s'écrit 101111 en binaire et le quatrième (223) s'écrit 11011111.

Nombres de Carol premiers

Les dix plus petits nombres de Carol premiers (suite OEIS A091516) et leurs indices (suite OEIS A091515) sont :

indice n234671012151819
nombre de Carol premier7472233 96716 1271 046 52716 769 0231 073 676 28768 718 952 447274 876 858 367

Le plus grand nombre de Carol premier connu est le nombre de Carol d'indice 253 987, qui a 152 916 chiffres. Il a été trouvé par Cletus Emmanuel en 2007[3] en utilisant les programmes MultiSieve[4] et PrimeFormGW[5]. C'est le 40e nombre de Carol premier.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Carol number » (voir la liste des auteurs).
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