Nombre de Kynea

Les dix premiers nombres de Kynea (suite  A093069[2]) sont

2, 7, 23, 79, 287, 1 087, 4 223, 16 639, 66 047 et 263 167.

Leurs classes de congruence modulo 7 sont

2, 0, 2, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 2

donc pour tout entier k > 0, le (3k+1)-ième nombre de Kynea n'est pas premier.

Sur les 25 premiers nombres de Kynea, seuls les 5 suivants ne sont ni premiers, ni multiples de 7 :

• ${\displaystyle k(6)=41\times 103}$
• ${\displaystyle k(11)=1399\times 3001}$
• ${\displaystyle k(14)=15913\times 16871}$
• ${\displaystyle k(20)=47\times 353\times 66271697}$
• ${\displaystyle k(24)=23\times 41\times 71\times 353\times 11909543.}$

Le n-ième nombre de Kynea est égal à 4ⁿ + (2ⁿ⁺¹ – 1), ainsi qu'à ((2ⁿ – 1)² – 2) + 2ⁿ⁺².

Sa représentation binaire si n ≥ 1 (suite  A244663) est un 1, suivi de n – 1 zéros, suivis de n + 1 uns, puisque

${\displaystyle 4^{n}+2^{n+1}-1=2^{2n}+\sum _{i=0}^{n}2^{i}.}$

Donc, par exemple, 23 est 10111 en binaire, 79 est 1001111, etc.

Les dix plus petits nombres de Kynea premiers (suite  A091514) et leurs indices (suite  A091513) sont :

Le plus grand nombre de Kynea premier connu, d'indice n = 281 621, vaut approximativement 5,46 × 10^169 552. Il a été trouvé par Cletus Emmanuel en 2005[3], en utilisant le k-crible de Phil Carmody[4] et OpenPFGW[5]. C'est le 46^e nombre de Kynea premier.