Nombres premiers sexy

En mathématiques, un couple de nombres premiers sexy (ou nombres premiers sexys[1]) est un couple de nombres premiers dont la différence est 6 (autrement dit, un couple de la forme (p, p + 6) où p et p + 6 sont des nombres premiers). C'est le cas, par exemple, des nombres 5 et 11. Certains de ces nombres premiers sont consécutifs, par exemple 23 et 29 sont premiers et il n'y a pas de nombre premier entre eux deux.

Le terme « sexy » est un jeu de mots fondé sur le mot latin pour « six » : sex.

Groupements

Couples

Les couples de nombres premiers sexy (suites A023201 et A046117 de l'OEIS, ou suite A156274) inférieurs à 500 sont :

(5,11), (7,13), (11,17), (13,19), (17,23), (23,29), (31,37), (37,43), (41,47), (47,53), (53,59), (61,67), (67,73), (73,79), (83,89), (97,103), (101,107), (103,109), (107,113), (131,137), (151,157), (157,163), (167,173), (173,179), (191,197), (193,199), (223,229), (227,233), (233,239), (251,257), (257,263), (263,269), (271,277), (277,283), (307,313), (311,317), (331,337), (347,353), (353,359), (367,373), (373,379), (383,389), (433,439), (443,449), (457,463), (461,467)

En novembre 2005, le plus grand couple de nombres premiers sexy connu est (p, p + 6) pour

p = (48011837012 × ((53238 × 7879#)² - 1) + 2310) × 53238 × 7879# / 385 + 1, où 7879# est une primorielle.

Il est composé de 10 154 chiffres et a été découvert par Torbjörn Alm, Micha Fleuren et Jens Kruse Andersen[2].

En octobre 2019, le plus grand couple de nombres premiers sexy connu a été découvert par P. Kaiser et est composé de 50 539 chiffres. Il se compose des deux premiers suivants :

p =

(520461 × 2⁵⁵⁹³¹+1) × (98569639289 × (520461 × 2⁵⁵⁹³¹-1)²-3)-1

p +6 =

(520461 × 2⁵⁵⁹³¹+1) × (98569639289 × (520461 × 2⁵⁵⁹³¹-1)²-3)+5[3]

Triplets

Comme les nombres premiers cousins, les nombres premiers sexy peuvent être étendus à des constellations plus grandes.

Les triplets de nombres premiers sexys sont les triplets de nombres premiers de la forme (p, p + 6, p + 12) tels que p + 18 est composé (non premier). Les triplets inférieurs à 1 000 (suites A046118, A046119 et A046120 de l'OEIS) sont :

(7,13,19), (17,23,29), (31,37,43), (47,53,59), (67,73,79), (97,103,109), (101,107,113), (151,157,163), (167,173,179), (227,233,239), (257,263,269), (271,277,283), (347,353,359), (367,373,379), (557,563,569), (587,593,599), (607,613,619), (647,653,659), (727,733,739), (941,947,953), (971,977,983)

En décembre 2019, le plus grand triplet de nombres premiers sexy connu (qui s'écrit avec 10602 chiffres), découvert par Gerd Lamprecht et Norman Luhn, est (p, p+6, p+12) pour :

p =

2683143625525x2³⁵¹⁷⁶+1[4].

Quadruplets

De façon similaire, on peut définir des quadruplets de nombres premiers sexys (p, p+6, p+12, p+18). À l'exception du quadruplet (5, 11, 17, 23), la représentation décimale de p finit forcément par 1. Les quadruplets inférieurs à 1 000 (suites A046121, A046122, A046123 et A046124 de l'OEIS) sont :

(5,11,17,23), (11,17,23,29), (41,47,53,59), (61,67,73,79), (251,257,263,269), (601,607,613,619), (641,647,653,659).

En octobre 2019 Gerd Lamprecht et Norman Luhn ont découvert un quadruplet possédant 3025 chiffres avec :

$p =$ 121152729080 × 7019#/1729 + 1[5] - [6] où 7019# est une primorielle.

Quintuplet

Comme dans une progression arithmétique de raison 6, un terme sur 5 est divisible par 5, le seul quintuplet de nombres premiers sexy existant est (5, 11, 17, 23, 29), et il n'est pas possible de trouver une séquence plus longue (sextuplet, etc.)[7].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sexy prime » (voir la liste des auteurs).

Selon l’orthographe recommandée depuis les rectifications orthographiques du français en 1990.
(en) Gigantic sexy and cousin primes, message de Jens Kruse Andersen sur PrimeFormGW (PFGW), un groupe de discussion Yahoo! consacré aux tests de primalité, 3 novembre 2005.
S. Batalov, « Let's find some large sexy prime pair[s] », sur mersenneforum.org (consulté le 3 octobre 2019)
Gerd Lamprecht et Norman Luhn, « Gerd Lamprecht & Norman Luhn, Dec 2019 », sur Mersenne forum
Gerd Lamprecht et Norman Luhn, « CPAP's sexy prime », sur primenumbers yahoo group, octobre 2019 (consulté le 13 octobre 2019)
« The Largest Known CPAP's », sur primerecords.dk (consulté le 30 juin 2023).
Démonstrations détaillées sur le site ChronoMath.

Voir aussi

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Sexy Primes », sur MathWorld

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