Formules pour les nombres premiers

Le théorème de Wilson permet facilement de montrer que la fonction f(n) = 2 + (2(n!) mod(n + 1)) produit tous les nombres premiers, et seulement eux, quand n parcourt tous les entiers positifs : f(n) = n + 1 si n + 1 est premier, et f(n) = 2 sinon[8].

La factorielle de n prend rapidement des valeurs bien trop grandes pour être utilisable en pratique, mais le recours à la fonction modulo (que l'on sait calculer rapidement) contourne cette difficulté ; cependant, les seules méthodes connues pour calculer f(n) prennent environ n opérations élémentaires, de plus, cette fonction ne donne pas réellement π(n), mais teste seulement si n est premier ou non ; pour ce test, ou pour calculer π(n), f est donc beaucoup plus inefficace que la méthode de division par tous les entiers inférieurs ou égaux à √n (ou que le crible d'Ératosthène), méthodes elles-mêmes bien moins rapides que les meilleurs tests de primalité actuellement connus.

D'autres formules donnant directement p_n ou π(n) peuvent être construites à partir de f ; ainsi, on a, en utilisant la fonction partie entière ⌊∙⌋ :

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {(j-1)!+1 \over j}-\left\lfloor {(j-1)! \over j}\right\rfloor \right\rfloor }$ ;

mais ces formules sont encore moins facilement utilisables que celle donnant f.

Une autre approche, plus prometteuse et n'utilisant pas le théorème de Wilson, consiste essentiellement à simuler le crible d'Ératosthène, ou les formules qu'on peut en déduire, comme la formule d'inclusion-exclusion de Legendre[9] ; c'est le terrain de prédilection de nombreux amateurs, ainsi, les formules suivantes ont été déterminées en 2000 par un enseignant espagnol, S. M. Ruiz[10] :

${\displaystyle \pi (n)=n-1+\sum _{j=2}^{n}\left[{2 \over j}\left(1+\sum _{s=1}^{\left\lfloor {\sqrt {j}}\right\rfloor }\left(\left\lfloor {j-1 \over s}\right\rfloor -\left\lfloor {j \over s}\right\rfloor \right)\right)\right]}$

et

${\displaystyle p_{n}=1+\sum _{k=1}^{2(\lfloor n\ln(n)\rfloor +1)}\left(1-\left\lfloor {\pi (k) \over n}\right\rfloor \right).}$

On remarquera le nombre important de sommations dans ces formules, qui fait qu'elles seraient, elles aussi, peu utilisables en pratique ; de bien meilleures méthodes de calcul exact de π(n) et p_n, qu'on trouvera détaillées dans l'article consacré à ces fonctions, restent d'ailleurs relativement inefficaces[12].

Compte tenu des remarques de la première section, l'existence de polynômes à plusieurs variables ne prenant que des valeurs premières paraissait peu vraisemblable. Aussi, les travaux de Youri Matiiassevitch, qui a résolu en 1970 le dixième problème de Hilbert en montrant que toute relation diophantienne pouvait être codée par un tel polynôme, provoquèrent une véritable surprise. Il est même possible de donner des exemples explicites de ce résultat ; ainsi, le monstrueux polynôme suivant (de degré 25, et comportant 26 variables)[13] :

${\displaystyle (k+2)(1-\alpha _{0}^{2}-\alpha _{1}^{2}-\cdots -\alpha _{13}^{2})}$

avec

${\displaystyle \alpha _{0}=wz+h+j-q}$

${\displaystyle \alpha _{1}=(gk+2g+k+1)(h+j)+h-z}$

${\displaystyle \alpha _{2}=16(k+1)^{3}(k+2)(n+1)^{2}+1-f^{2}}$

${\displaystyle \alpha _{3}=2n+p+q+z-e}$

${\displaystyle \alpha _{4}=e^{3}(e+2)(a+1)^{2}+1-o^{2}}$

${\displaystyle \alpha _{5}=(a^{2}-1)y^{2}+1-x^{2}}$

${\displaystyle \alpha _{6}=16r^{2}y^{4}(a^{2}-1)+1-u^{2}}$

${\displaystyle \alpha _{7}=n+l+v-y}$

${\displaystyle \alpha _{8}=(a^{2}-1)l^{2}+1-m^{2}}$

${\displaystyle \alpha _{9}=ai+k+1-l-i}$

${\displaystyle \alpha _{10}=[(a+u^{2}(u^{2}-a))^{2}-1](n+4dy)^{2}+1-(x+cu)^{2}}$

${\displaystyle \alpha _{11}=p+l(a-n-1)+b(2an+2a-n^{2}-2n-2)-m}$

${\displaystyle \alpha _{12}=q+y(a-p-1)+s(2ap+2a-p^{2}-2p-2)-x}$

${\displaystyle \alpha _{13}=z+pl(a-p)+t(2ap-p^{2}-1)-pm}$

a, pour ensemble de valeurs strictement positives (lorsque ${\displaystyle (a,\dots ,z)\in \mathbb {N} ^{26}}$), exactement l'ensemble des nombres premiers[14].

Mais on peut cependant se demander s'il s'agit bien là encore d'une « formule ». Il est d'ailleurs extrêmement difficile de trouver un jeu de 26 variables donnant un nombre positif, et il n'existe aucune méthode connue pour résoudre un tel système autrement que par l'exploration de toutes les combinaisons possibles des paramètres.

Bien qu'on ne puisse pas parler exactement de formule, une suite définie par une relation de la forme u_n+1 = f(u_n), où f est une fonction assez simple, et qui ne prendrait que des valeurs premières, resterait intéressante. Certaines suites dérivées de la démonstration d'Euclide de l'infinité des nombres premiers (comme la suite de Sylvester) s'avèrent décevantes à cet égard, ainsi on ne sait même pas s'il existe une infinité de nombres premiers primoriels. On ne connaît en fait que peu d'exemples intéressants de telles suites, d'ailleurs d'une forme un peu plus complexe.

Conway a ainsi défini une généralisation du problème de Syracuse, qui le transforme en un langage de programmation, FRACTRAN ; le texte suivant[15] :

${\displaystyle {\frac {17}{91}},{\frac {78}{85}},{\frac {19}{51}},{\frac {23}{38}},{\frac {29}{33}},{\frac {77}{29}},{\frac {95}{23}},{\frac {77}{19}},{\frac {1}{17}},{\frac {11}{13}},{\frac {13}{11}},{\frac {15}{14}},{\frac {15}{2}},{\frac {55}{1}}.}$

correspond, pour ce langage, à un programme qui produit, dans l'ordre, la suite des nombres premiers (on peut donc l'interpréter comme une suite définie par récurrence). Pour cela, partant du nombre 2, on multiplie itérativement par la première fraction donnant un produit entier. Parmi la suite d'entiers qu'on obtiendra, les puissances de 2 successives auront pour exposant la suite des nombres premiers. L'efficacité de ce programme étant extrêmement faible, l'intérêt est seulement dans l'élégance de son écriture.

La suite u_n définie par la relation de récurrence

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+\operatorname {gcd} (n,a_{n-1}),\quad a_{1}=7,}$

(où gcd(x, y) désigne le PGCD de x et y) et u_n = a_n+1 – a_n commence par 1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1, ... (suite A132199 de l'OEIS). Rowland a démontré en 2008 que cette suite ne contient (à part 1) que des nombres premiers[16].

En 1947, William H. Mills a montré qu'il existe des nombres réels M tels que pour tout entier n, la partie entière de M⁽³ⁿ⁾ est un nombre premier[17]. Le plus petit M ayant cette propriété, la constante de Mills, est d'ailleurs connu avec une bonne précision, mais qui s'avère tout aussi illusoire pour calculer de grands nombres premiers, par exemple parce que la taille de p(n) = ⌊M⁽³ⁿ⁾⌋ devient rapidement bien supérieure à tout ce qu'un ordinateur peut contenir (pour stocker p(25), on a déjà besoin d'un téraoctet).

En 2017, Fridman et al. ont démontré[18] que la suite de réels (f_n) définie par :

• ${\displaystyle f_{1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {p_{k}-1}{p_{k-1}\#}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {p_{k}-1}{\prod _{i=1}^{k-1}p_{i}}}}$
• ${\displaystyle \forall n\geq 1\quad f_{n+1}=\lfloor f_{n}\rfloor \left(f_{n}-\lfloor f_{n}\rfloor +1\right)}$

vérifie :

${\displaystyle \forall n\geq 1\quad p_{n}=\lfloor f_{n}\rfloor }$.

L'irrationnel f₁ = 2,9200509773…[19] n'est autre[20] que la valeur moyenne de la suite 2, 3, 2, 3, 2, 5, etc. dont le n-ième terme est le plus petit nombre premier ne divisant pas n[18] - [21].

Bien que les calculs correspondants soient plus maniables que ceux de la formule de Mills, ce résultat reste tout aussi théorique. En effet, ces calculs nécessitent de connaître un nombre de plus en plus important de décimales de f₁ (environ n décimales pour obtenir p_n), mais pour obtenir n décimales de f₁, il faut déjà connaître les valeurs des n premiers nombres premiers. Par contre, cela procure une compression mémoire, en effet, le stockage de ${\displaystyle n}$ décimales nécessite moins de mémoire que pour les ${\displaystyle n}$ premiers nombres premiers.

La notion de fraction continue permet de définir le nombre réel positif ${\displaystyle u_{1}=[p_{1},p_{2},p_{3},...]=2.31303673643...}$  A064442 à partir duquel on retrouve la suite des nombres premiers en utilisant la récurrence suivante: ${\displaystyle u_{n+1}=(u_{n}-\lfloor u_{n}\rfloor )^{-1}}$. Il s'ensuit que ${\displaystyle p_{n}=\lfloor u_{n}\rfloor }$.

La méthode de Fridman et al. peut être vue comme une alternative de la méthode par fraction continue (connue antérieurement), et on peut donc émettre la même réserve : le nombre ${\displaystyle u_{1}}$ est défini (ci-dessus) en utilisant les nombres premiers, il faudrait donc une définition alternative indépendante des nombres premiers pour que cette méthode soit utilisable.

• Jean-Paul Delahaye, Merveilleux nombres premiers : Voyage au cœur de l'arithmétique, 2000 [détail de l’édition]
• Marcus du Sautoy (trad. de l'anglais), La Symphonie des nombres premiers, Paris, éditions Héloïse d'Ormesson, 2005, 491 p. (ISBN 2-35087-011-1)

(en) Eric W. Weisstein, « Prime Formulas », sur MathWorld