Théorème de Stark-Heegner

Soient ℚ le corps des nombres rationnels et d ≠ 1 un entier sans facteur carré (c'est-à-dire produit, ou opposé d'un produit, de nombres premiers distincts). Alors le corps de nombres ℚ(√d) est une extension de degré 2 de ℚ, appelée une extension quadratique. Le nombre de classes de ℚ(√d) est le nombre de classes d'équivalence des idéaux non nuls de l'anneau des entiers de ce corps, où deux idéaux I et J sont équivalents si et seulement s’il existe des éléments non nuls a et b de l'anneau tels que aI = bJ. Ainsi, l'anneau des entiers de ℚ(√d) est principal (ou encore : factoriel, ce qui ici est équivalent car cet anneau est de Dedekind) si et seulement si son nombre de classes est égal à 1. Le théorème de Stark-Heegner peut alors être énoncé comme suit :

Théorème — Si d < 0, alors le nombre de classes de l'anneau des entiers de ℚ(√d) est égal à 1 si et seulement si

${\displaystyle d\in \{-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163\}.}$

Ce résultat fut conjecturé en premier par le mathématicien allemand Gauss et démontré par Kurt Heegner en 1952, bien que la démonstration de Heegner ne fût pas acceptée[1] avant que Harold Stark donne une démonstration en 1967[2] et montre qu'elle était en réalité équivalente à celle de Heegner.

Si, inversement, d > 0, la conjecture de Gauss selon laquelle il existerait une infinité de corps quadratiques réels dont le nombre de classes vaut 1[3] n'est toujours pas résolue. Les résultats par calculs indiquent qu'il existe un grand nombre de tels corps[4].