Nombre de Heegner
En théorie des nombres , un nombre de Heegner est un entier positif n sans facteur carré tel que l'anneau des entiers du corps quadratique imaginaire ℚ[i √ n ] est principal (ou encore : factoriel , ce qui ici est équivalent car l'anneau est de Dedekind ).
Le théorème de Stark-Heegner indique qu'il y a exactement neuf nombres de Heegner [1] :
1 , 2 , 3 , 7 , 11 , 19 , 43 , 67 et 163 (suite 0003173 de l' OEIS ).
Ce résultat était conjecturé par Gauss et démontré, à quelques erreurs près, par Kurt Heegner en 1952. Alan Baker et Harold Stark ont indépendamment démontré la conjecture en 1966, et Stark a comblé la preuve de Heegner[2] .
La détermination de ces nombres est un cas particulier du problème du nombre de classes , et ils sous-tendent plusieurs résultats arithmétiques frappants. Par exemple, pour certains nombres de Heegner d , le nombre
e
π
d
{\displaystyle \mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {d}}}}
est presque entier .
Polynôme d'Euler générateur de nombres premiers
Le polynôme d'Euler
n
2
+
n
+
41
,
{\displaystyle n^{2}+n+41,}
qui donne des nombres premiers pour n = 0, ..., 39, est lié au nombre de Heegner 163 = 4×41 − 1.
Rabinowitsch (en) [3] a montré que
n
2
+
n
+
p
{\displaystyle n^{2}+n+p}
donne des nombres premiers pour
n
=
0
,
…
,
p
−
2
{\displaystyle n=0,\dots ,p-2}
si et seulement si son discriminant
1
−
4
p
{\displaystyle 1-4p}
est l'opposé d'un nombre de Heegner.
(Remarquons que
(
p
−
1
)
2
+
(
p
−
1
)
+
p
=
p
2
{\displaystyle (p-1)^{2}+(p-1)+p=p^{2}}
, de sorte que
p
−
2
{\displaystyle p-2}
est maximal.)
Les nombres de Heegner 1, 2, et 3 n'étant pas de la forme 4p − 1 avec p ≥ 2, les nombres de Heegner qui fonctionnent sont donc 7, 11, 19, 43, 67, 163, ce qui correspond aux coefficients p = 2, 3, 5, 11, 17, 41 ; ces derniers ont été nommés nombres chanceux d'Euler par François Le Lionnais [4] .
Presque entiers et constante de Ramanujan
La constante de Ramanujan est le nombre eπ√ 163 , qui est à la fois transcendant (comme eπγ pour tout nombre algébrique non nul γ , d'après le théorème de Gelfond-Schneider ) et presque entier [5] :
e
π
163
=
262
537
412
640
768
743,999
999
999
999
25
…
≈
640
320
3
+
744.
{\displaystyle \mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743{,}999\,999\,999\,999\,25\ldots \approx 640\,320^{3}+744.}
Ce nombre a été découvert en 1859 par le mathématicien Charles Hermite [6] . Cette coïncidence est due à la multiplication complexe et au q -développement du j -invariant .
Détail
Cela s'explique, en bref, par le fait que
j
(
1
+
−
d
2
)
{\displaystyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-d}}}{2}}\right)}
est entier lorsque d est de Heegner, et
e
π
d
≈
−
j
(
1
+
−
d
2
)
+
744
{\displaystyle \mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {d}}}\approx -j\left({\frac {1+{\sqrt {-d}}}{2}}\right)+744}
par q -développement.
Si
τ
{\displaystyle \tau }
est un irrationnel quadratique , alors le j -invariant est un entier algébrique de degré égal au nombre de classes de
Q
(
τ
)
{\displaystyle \mathbb {Q} (\tau )}
. Ainsi, si l'extension quadratique imaginaire
Q
(
τ
)
=
Q
(
1
+
−
d
2
)
{\displaystyle \mathbb {Q} (\tau )=\mathbb {Q} \left({\frac {1+{\sqrt {-d}}}{2}}\right)}
a un nombre de classes égal à 1 (donc si d est un nombre de Heegner), alors le j -invariant est entier.
Le q -développement de j , son développement en série de Fourier en
q
=
e
2
π
i
τ
{\displaystyle q=\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \tau }}
s'écrit :
j
(
τ
)
=
1
q
+
744
+
196
884
q
+
⋯
.
{\displaystyle j(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196\,884q+\cdots .}
Les coefficients
c
n
{\displaystyle c_{n}}
croissent asymptotiquement comme
ln
c
n
=
4
π
n
+
O
(
ln
n
)
,
{\displaystyle \ln c_{n}=4\pi {\sqrt {n}}+O\left(\ln n\right),}
et les termes suivants croissent moins vite que
200
000
n
{\displaystyle 200\,000^{n}}
. Donc pour
q
≪
1
200
000
{\displaystyle \textstyle q\ll {\frac {1}{200\,000}}}
, j est bien approximé par ses deux premiers termes. Posons
τ
=
1
+
−
163
2
{\displaystyle \tau ={\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}}
d'où
q
=
−
e
−
π
163
donc
1
q
=
−
e
π
163
.
{\displaystyle q=-\mathrm {e} ^{-\pi {\sqrt {163}}}\quad {\text{donc}}\quad {\frac {1}{q}}=-\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}.}
Or
j
(
1
+
−
163
2
)
=
−
640
320
3
{\displaystyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640\,320^{3}}
donc
−
640
320
3
≈
−
e
π
163
+
744
,
{\displaystyle -640\,320^{3}\approx -\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}+744,}
c'est-à-dire
e
π
163
≈
640
320
3
+
744.
{\displaystyle \mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 640\,320^{3}+744.}
Le terme d'erreur est donné par
−
196
884
e
π
163
≈
−
196
884
640
320
3
+
744
≈
−
0,000
000
000
000
75
,
{\displaystyle {\frac {-196\,884}{\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}}}\approx {\frac {-196\,884}{640\,320^{3}+744}}\approx -0{,}000\,000\,000\,000\,75,}
ce qui explique pourquoi
e
π
163
{\displaystyle \mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}}
est très proche d'un entier.
Les frères Chudnosky trouvent en 1987 que
1
π
=
12
640
320
3
2
∑
k
=
0
∞
(
6
k
)
!
(
163
⋅
3
344
418
k
+
13
591
409
)
(
3
k
)
!
(
k
!
)
3
(
−
640
320
)
3
k
,
{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640\,320^{\frac {3}{2}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3\,344\,418k+13\,591\,409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640\,320)^{3k}}},}
en utilisant le fait que
j
(
1
+
−
163
2
)
=
−
640
320
3
.
{\displaystyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640\,320^{3}.}
D'autres séries similaires existent, cf. Série de Ramanujan-Sato (en) .
Autres nombres de Heegner
Pour les quatre nombres de Heegner les plus grands, on obtient les approximations suivantes[7] ,
e
π
19
≈
12
3
(
3
2
−
1
)
3
00
+
744
−
0
,
22
=
000
0
96
3
+
744
−
0
,
22
e
π
43
≈
12
3
(
9
2
−
1
)
3
00
+
744
−
0,000
22
=
000
960
3
+
744
−
0,000
22
e
π
67
≈
12
3
(
21
2
−
1
)
3
0
+
744
−
0,000
0013
=
00
5
280
3
+
744
−
0,000
0013
e
π
163
≈
12
3
(
231
2
−
1
)
3
+
744
−
0,000
000
000
000
75
=
640
320
3
+
744
−
0,000
000
000
000
75
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 12^{3}\left(3^{2}-1\right)^{3}{\color {white}00}+744-0{,}22={\color {white}000\,0}96^{3}+744-0{,}22\\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 12^{3}\left(9^{2}-1\right)^{3}{\color {white}00}+744-0{,}000\,22={\color {white}000\,}960^{3}+744-0{,}000\,22\\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 12^{3}\left(21^{2}-1\right)^{3}{\color {white}0}+744-0{,}000\,0013={\color {white}00}5\,280^{3}+744-0{,}000\,0013\\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 12^{3}\left(231^{2}-1\right)^{3}+744-0{,}000\,000\,000\,000\,75=640\,320^{3}+744-0{,}000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}}
où le carré provient de certaines séries d'Eisenstein . Pour les nombres de Heegner
d
<
19
{\displaystyle d<19}
, les nombres obtenus ne sont pas proches d'entiers. Les j -invariants sont fortement factorisables :
j
(
1
+
−
19
2
)
=
000
0
96
3
=
(
2
5
⋅
3
)
3
j
(
1
+
−
43
2
)
=
000
960
3
=
(
2
6
⋅
3
⋅
5
)
3
j
(
1
+
−
67
2
)
=
00
5
280
3
=
(
2
5
⋅
3
⋅
5
⋅
11
)
3
j
(
1
+
−
163
2
)
=
640
320
3
=
(
2
6
⋅
3
⋅
5
⋅
23
⋅
29
)
3
.
{\displaystyle {\begin{aligned}j\left({\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right)&={\color {white}000\,0}96^{3}=\left(2^{5}\cdot 3\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-43}}}{2}}\right)&={\color {white}000\,}960^{3}=\left(2^{6}\cdot 3\cdot 5\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-67}}}{2}}\right)&={\color {white}00}5\,280^{3}=\left(2^{5}\cdot 3\cdot 5\cdot 11\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)&=640\,320^{3}=\left(2^{6}\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29\right)^{3}.\end{aligned}}}
Ces nombres transcendants, en plus d'être proche d'entiers (c'est-à-dire proches d'entiers algébriques de degré 1), sont aussi approximés par des nombres algébriques de degré 3[8] ,
e
π
19
≈
x
24
−
24,000
31
;
x
3
−
2
x
−
2
=
0
e
π
43
≈
x
24
−
24,000
000
31
;
x
3
−
2
x
2
−
2
=
0
e
π
67
≈
x
24
−
24,000
000
0019
;
x
3
−
2
x
2
−
2
x
−
2
=
0
e
π
163
≈
x
24
−
24,000
000
000
000
0011
;
x
3
−
6
x
2
+
4
x
−
2
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx x^{24}-24{,}000\,31;&x^{3}-2x-2&=0\\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx x^{24}-24{,}000\,000\,31;&x^{3}-2x^{2}-2&=0\\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx x^{24}-24{,}000\,000\,0019;&x^{3}-2x^{2}-2x-2&=0\\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx x^{24}-24{,}000\,000\,000\,000\,0011;&\quad x^{3}-6x^{2}+4x-2&=0\end{aligned}}}
Les racines des polynômes de droite peuvent être explicités en fonction de la fonction êta de Dedekind η (τ ), une forme modulaire impliquant une racine 24-ième, cause de l'exposant 24 ci-dessus. De même par des nombres algébriques de degré 4[9] ,
e
π
19
≈
3
5
(
3
−
2
(
1
−
96
24
+
1
3
⋅
19
)
)
−
2
−
12,000
06
…
e
π
43
≈
3
5
(
9
−
2
(
1
−
960
24
+
7
3
⋅
43
)
)
−
2
−
12,000
000
061
…
e
π
67
≈
3
5
(
21
−
2
(
1
−
5
280
24
+
31
3
⋅
67
)
)
−
2
−
12,000
000
000
36
…
e
π
163
≈
3
5
(
231
−
2
(
1
−
640
320
24
+
2
413
3
⋅
163
)
)
−
2
−
12,000
000
000
000
000
21
…
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 3^{5}\left(3-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {96}{24}}+1{\sqrt {3\cdot 19}}\right)}}\right)^{-2}-12{,}000\,06\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 3^{5}\left(9-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {960}{24}}+7{\sqrt {3\cdot 43}}\right)}}\right)^{-2}-12{,}000\,000\,061\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 3^{5}\left(21-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {5\,280}{24}}+31{\sqrt {3\cdot 67}}\right)}}\right)^{-2}-12{,}000\,000\,000\,36\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 3^{5}\left(231-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {640\,320}{24}}+2\,413{\sqrt {3\cdot 163}}\right)}}\right)^{-2}-12{,}000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \end{aligned}}}
Si
x
{\displaystyle x}
désigne les expressions entre parenthèses (e.g.
x
=
3
−
2
(
1
−
96
24
+
1
3
⋅
19
)
{\displaystyle x=3-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {96}{24}}+1{\sqrt {3\cdot 19}}\right)}}}
), les équations quartiques sont respectivement satisfaites:
x
4
−
00
4
⋅
3
x
3
+
000
0
2
3
(
96
+
3
)
x
2
−
000
000
2
3
⋅
3
(
96
−
6
)
x
−
3
=
0
x
4
−
00
4
⋅
9
x
3
+
000
2
3
(
960
+
3
)
x
2
−
000
00
2
3
⋅
9
(
960
−
6
)
x
−
3
=
0
x
4
−
0
4
⋅
21
x
3
+
00
2
3
(
5
280
+
3
)
x
2
−
000
2
3
⋅
21
(
5
280
−
6
)
x
−
3
=
0
x
4
−
4
⋅
231
x
3
+
2
3
(
640
320
+
3
)
x
2
−
2
3
⋅
231
(
640
320
−
6
)
x
−
3
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}-{\color {white}00}4\cdot 3x^{3}+{\color {white}000\,0}{\tfrac {2}{3}}(96+3)x^{2}-{\color {white}000\,000}{\tfrac {2}{3}}\cdot 3(96-6)x-3&=0\\x^{4}-{\color {white}00}4\cdot 9x^{3}+{\color {white}000\,}{\tfrac {2}{3}}(960+3)x^{2}-{\color {white}000\,00}{\tfrac {2}{3}}\cdot 9(960-6)x-3&=0\\x^{4}-{\color {white}0}4\cdot 21x^{3}+{\color {white}00}{\tfrac {2}{3}}(5\,280+3)x^{2}-{\color {white}000}{\tfrac {2}{3}}\cdot 21(5\,280-6)x-3&=0\\x^{4}-4\cdot 231x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(640\,320+3)x^{2}-{\tfrac {2}{3}}\cdot 231(640\,320-6)x-3&=0\\\end{aligned}}}
Notons à nouveau l'apparition des entiers
n
=
3
,
9
,
21
,
231
{\displaystyle n=3,9,21,231}
.
De même, par des nombres algébriques de degré 6,
e
π
19
≈
(
5
x
)
3
−
6,000
010
…
e
π
43
≈
(
5
x
)
3
−
6,000
000
010
…
e
π
67
≈
(
5
x
)
3
−
6,000
000
000
061
…
e
π
163
≈
(
5
x
)
3
−
6,000
000
000
000
000
034
…
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6{,}000\,010\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6{,}000\,000\,010\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6{,}000\,000\,000\,061\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6{,}000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}}
où les x sont respectivement donnés par
5
x
6
−
000
0
96
x
5
−
10
x
3
+
1
=
0
5
x
6
−
000
960
x
5
−
10
x
3
+
1
=
0
5
x
6
−
00
5
280
x
5
−
10
x
3
+
1
=
0
5
x
6
−
640
320
x
5
−
10
x
3
+
1
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}5x^{6}-{\color {white}000\,0}96x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-{\color {white}000\,}960x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-{\color {white}00}5\,280x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-640\,320x^{5}-10x^{3}+1&=0\end{aligned}}}
avec une nouvelle apparition des j -invariants.
Ces approximations algébriques peuvent être exprimées explicitement en fonction de la fonction êta de Dedekind. Par exemple, si
τ
=
1
+
−
163
2
{\displaystyle \tau ={\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}}
, alors,
e
π
163
=
(
e
π
i
24
η
(
τ
)
η
(
2
τ
)
)
24
−
24,000
000
000
000
001
05
…
e
π
163
=
(
e
π
i
12
η
(
τ
)
η
(
3
τ
)
)
12
−
12,000
000
000
000
000
21
…
e
π
163
=
(
e
π
i
6
η
(
τ
)
η
(
5
τ
)
)
6
−
6,000
000
000
000
000
034
…
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {\mathrm {e} ^{\frac {\pi i}{24}}\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{24}-24{,}000\,000\,000\,000\,001\,05\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {\mathrm {e} ^{\frac {\pi i}{12}}\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{12}-12{,}000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {\mathrm {e} ^{\frac {\pi i}{6}}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}-6{,}000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}}
où les expressions mises à la puissance sont exactement celles écrites plus haut.
Nombre de classes égal à 2
Les trois nombres 88, 148, 232, pour lesquels le corps quadratique
Q
[
−
d
]
{\displaystyle \mathbb {Q} \left[{\sqrt {-d}}\right]}
a un nombre de classes égal à 2, ne sont pas des nombres de Heegner mais partagent certaines propriétés dont les approximations par des entiers. Par exemple
e
π
88
+
8
744
≈
00
00
2
508
952
2
−
0,077
…
e
π
148
+
8
744
≈
00
199
148
648
2
−
0,000
97
…
e
π
232
+
8
744
≈
24
591
257
752
2
−
0,000
0078
…
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {88}}}+8\,744&\approx {\color {white}00\,00}2\,508\,952^{2}-0{,}077\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {148}}}+8\,744&\approx {\color {white}00\,}199\,148\,648^{2}-0{,}000\,97\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {232}}}+8\,744&\approx 24\,591\,257\,752^{2}-0{,}000\,0078\dots \\\end{aligned}}}
et
e
π
22
−
24
≈
00
(
6
+
4
2
)
6
+
0,000
11
…
e
π
37
+
24
≈
(
12
+
2
37
)
6
−
0,000
0014
…
e
π
58
−
24
≈
(
27
+
5
29
)
6
−
0,000
000
0011
…
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {22}}}-24&\approx {\color {white}00}\left(6+4{\sqrt {2}}\right)^{6}+0{,}000\,11\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {37}}}+24&\approx \left(12+2{\sqrt {37}}\right)^{6}-0{,}000\,0014\dots \\\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {58}}}-24&\approx \left(27+5{\sqrt {29}}\right)^{6}-0{,}000\,000\,0011\dots .\\\end{aligned}}}
Premiers consécutifs
Soit p un nombre premier impair. Il semblerait[10] que la suite (à valeurs dans
[
2
,
p
−
1
]
{\displaystyle [2,p-1]}
) des
k
2
mod
p
{\displaystyle k^{2}{\bmod {p}}}
pour
k
=
2
,
3
,
…
,
p
−
1
2
{\displaystyle k=2,3,\dots ,{\frac {p-1}{2}}}
(par symétrie, il suffit de considérer ceux-là car
(
p
−
k
)
2
≡
k
2
mod
p
{\displaystyle \left(p-k\right)^{2}\equiv k^{2}{\bmod {p}}}
) donne une succession de nombres composés suivie d'une succession de nombres premiers, si et seulement si p est un nombre de Heegner.
Références
G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par François Sauvageot, préf. Catherine Goldstein ), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »] [ détail de l’édition] , chapitre 14 (« Corps quadratiques (1) »), section 14.7. (en) Harold Stark, « On the gap in the theorem of Heegner » , J. Number Theory , vol. 1, no 1, 1969 , p. 16-27 (DOI 10.1016/0022-314X(69)90023-7 , lire en ligne ) . (de) Georg Rabinowitsch, « Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern » , J. reine angew. Math. , vol. 142, 1913 , p. 153-164 (lire en ligne ) . F. Le Lionnais, Les nombres remarquables , Hermann, Paris, 1983, p. 88 et 144. (en) Eric W. Weisstein , « Ramanujan Constant » , sur MathWorld . (en) John D Barrow , The Constants of Nature , London, Jonathan Cape, 2002 (ISBN 0-224-06135-6 ) « More on e^(pi*SQRT(163)) » « Pi Formulas » « Extending Ramanujan's Dedekind Eta Quotients » Question posée sur (en) « Simple Complex Quadratic Fields » , sur mathpages.com , avec référence à (en) R. A. Mollin, « Quadratic polynomials producing consecutive, distinct primes and class groups of complex quadratic fields » , Acta Arithmetica , vol. 74, 1996 , p. 17-30 (DOI 10.4064/aa-74-1-17-30 , lire en ligne ) .
Articles connexes
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