Sextuplet de nombres premiers

Un sextuplet de nombres premiers est, au sens le plus commun, un n-uplet $(p_{1},p_{2},p_{3},p_{4},p_{5},p_{6})$ de six nombres premiers.

Les recherches en théorie des nombres sur les nombres premiers ont amené les mathématiciens à définir et examiner des sextuplets particuliers, dont les termes premiers répondent à des conditions précises.

Les sextuplets de nombres premiers les plus étudiés regroupent des nombres premiers successifs, c'est-à-dire séparés par cinq distances minimales. Cette définition encore générale ne présente toujours pas beaucoup d'intérêt puisque, les nombres premiers étant en quantité infinie, il est toujours possible de rassembler ces nombres successifs 6 par 6, et ce jusqu'à l'infini.

Écarts minimaux constants

En pratique, la notion de sextuplet de nombres premiers, au sens strict habituellement rencontrée dans la littérature mathématique, concerne les sextuplets de la forme $(p-4,p,p+2,p+6,p+8,p+12)$ , dans lesquels tous les termes sont des nombres premiers.

Un tel sextuplet est donc issu d'un quadruplet de nombres premiers $(p,p+2,p+6,p+8)$ auquel on a ajouté deux termes :

à droite $p+12$ ,
à gauche $p-4$ .

Propriétés

Un sextuplet de nombres premiers distants d'écarts minimaux constants contient :

deux paires de nombres premiers jumeaux proches : « (p, p + 2) » et « (p + 6, p + 8) »
un quadruplet de nombres premiers d'écarts minimaux constants : « (p, p + 2, p + 6, p + 8) »
quatre triplets de nombres premiers d'écarts minimaux constants, se chevauchant partiellement : « (p - 4, p, p + 2) », « (p, p + 2, p + 6) », « (p + 2, p + 6, p + 8) », « (p + 6, p + 8, p + 12) ».
deux quintuplets de nombres premiers d'écarts minimaux constants, se chevauchant partiellement : « (p-4, p, p+2, p+6, p+8) » et « (p, p+2, p+6, p+8, p+12) »

Liste

Les cinq plus petits sextuplets de nombres premiers sont :

(7, 11, 13, 17, 19, 23) ;
(97, 101, 103, 107, 109, 113) ;
(16 057, 16 061, 16 063, 16 067, 16 069, 16 073) ;
(19 417, 19 421, 19 423, 19 427, 19 429, 19 433) ;
(43 777, 43 781, 43 783, 43 787, 43 789, 43 793).

(De 50 001 à 100 000, aucune occurrence.)

Dénombrement

On ignore s'il existe un nombre infini de tels sextuplets.

Démontrer la conjecture des nombres premiers jumeaux ne démontrera pas qu'il existe aussi une infinité de sextuplets de nombres premiers, ni même une infinité de triplets de tels nombres.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Prime quadruplet » (voir la liste des auteurs).
(en) Suite A022008 de l'OEIS.

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