Nombre de Lucas

Le terme général L_n de la suite de Lucas s'exprime en fonction du nombre d'or φ par la formule suivante, analogue à la formule de Binet pour la suite de Fibonacci :

${\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}}$ ;

Les puissances successives de φ sont donc voisines des nombres de Lucas. Plus précisément, ${\displaystyle |L_{n}-\varphi ^{n}|}$ est égal à 1/φⁿ, qui est strictement inférieur à 1/2 pour ${\displaystyle n\geqslant 2}$ (et qui tend rapidement vers 0), ce qui montre que L_n est alors l'entier le plus proche de φⁿ. Par exemple : φ² = 2,61809..., φ³ = 4,23606..., φ⁴ = 6,85410...

Les nombres de Lucas sont liés aux nombres de Fibonacci par les identités :

• ${\displaystyle \,L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}=F_{n}+2F_{n-1}=F_{n+2}-F_{n-2}}$
• ${\displaystyle \,L_{m+n}=L_{m+1}F_{n}+L_{m}F_{n-1}}$
• ${\displaystyle \,L_{n}^{2}=5F_{n}^{2}+4(-1)^{n}}$, et ainsi la suite ${\displaystyle \left({\frac {L_{n}}{F_{n}}}\right)}$ converge vers ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$.
• ${\displaystyle \,F_{2n}=L_{n}F_{n}}$
• ${\displaystyle \,F_{3n}=(L_{2n}+(-1)^{n})F_{n}}$
• ${\displaystyle \,F_{n+k}+(-1)^{k}F_{n-k}=L_{k}F_{n}}$
• ${\displaystyle \,L_{n+k}-(-1)^{k}L_{n-k}=5F_{k}F_{n}}$, et donc
• ${\displaystyle \,L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}=F_{n+2}-F_{n-2}={F_{n-3}+F_{n+3} \over 2}={F_{n+4}-F_{n-4} \over 3}={F_{n-5}+F_{n+5} \over 5}=\dots }$, et
• ${\displaystyle \,F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}={L_{n-3}+L_{n+3} \over 10}={L_{n-5}+L_{n+5} \over 25}={L_{n-7}+L_{n+7} \over 65}=\dots }$

En comparant la formule de Binet, ${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}}$, et la formule analogue pour la suite de Lucas, ${\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}}$, on déduit la relation entre L_n, F_n et φ :

${\displaystyle \varphi ^{n}={{L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}} \over 2}.}$

Une première approche de la question de la divisibilité de L_n par un entier a consiste à étudier la suite des restes de L_n modulo a : cette suite (r_n) vérifie (dans Z/aZ) la même récurrence (r_n+2 = r_n+1 + r_n) et est donc périodique de période au plus a² (les longueurs des périodes en fonction de a forment la suite des périodes de Pisano, suite A001175 de l'OEIS). Plus précisément, l'étude de cette récurrence, et de la relation L_n = F_2n/F_n, dans le corps Z/pZ (où p est un nombre premier) amène à des résultats analogues à ceux obtenus pour la suite de Fibonacci[1] - [2].

On démontre également qu’aucun nombre de Lucas n'est divisible par un nombre de Fibonacci ${\displaystyle F_{n}\geqslant 5}$ [1].

On conjecture que la sous-suite des nombres de Lucas premiers, 2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, etc. — suite A005479 de l'OEIS — est infinie[3].

Les indices correspondants, 0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, etc. ( A001606), sont tous, hormis 0, premiers ou puissances de 2 [3], et les seules puissances de 2 connues qui font partie de cette suite d'indices sont 2, 4, 8 et 16.

• ${\displaystyle L_{n+4}\equiv L_{n}\mod 5}$ (car ${\displaystyle L_{n+4}-L_{n}=5F_{n+2}}$)
• ${\displaystyle L_{n}\equiv 1\mod n}$ si n est premier mais la réciproque est fausse. Les nombres composés vérifiant ${\displaystyle L_{n}\equiv 1\mod n}$ sont les nombres pseudo-premiers de Fibonacci.