Période de Pisano

En théorie des nombres, la ${\displaystyle n}$-ième période de Pisano, notée ${\displaystyle \pi (n)}$, est la longueur de la période à partir de laquelle la suite de Fibonacci, modulo ${\displaystyle n}$ se répète. Par exemple, la suite de Fibonacci modulo 3 est 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, etc. avec les huit premiers chiffres se répétant donc π(3) = 8.

On peut montrer, en utilisant le Théorème chinois que, si ${\displaystyle m,n}$ sont premiers entre eux, alors ${\displaystyle \pi (mn)=ppcm(\pi (m),\pi (n))}$, on se ramène ainsi à connaître les ${\displaystyle \pi (p^{k})}$ pour ${\displaystyle p}$ premier et ${\displaystyle k}$ entier non nul. En outre ${\displaystyle \pi (p^{k})}$ divise ${\displaystyle p^{k-1}\pi (p)}$. Il n'est, par contre, pas connu s'il y a égalité entre ces deux quantités pour tous les ${\displaystyle p,k}$.

Les périodes de Pisano sont nommées d'après Leonardo Pisano, mieux connu sous le nom de Fibonacci. L'existence de fonctions périodiques dans la suite de Fibonacci a été notée par Joseph Louis Lagrange en 1774.

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