Nombre pseudo-premier de Fibonacci

En théorie des nombres, un nombre pseudo-premier est un nombre qui partage une propriété commune à tous les nombres premiers sans être lui-même premier.

Il existe plusieurs définitions, non équivalentes, de nombre pseudo-premier de Fibonacci. L'une d'elles[1] est[2] :

Un nombre pseudo-premier de Fibonacci est un nombre composé impair $n$ tel que

L_{n}\equiv 1\ {\bmod {\ }}n,

où $L_{n}$ est le nombre de Lucas d'ordre $n$ .

Il est conjecturé que la condition d'imparité est redondante[3].

Les premières valeurs en sont 705, 2465, 2737, 3745, 4181, 5777, 6721 : elles forment la suite A005845 de l'OEIS dont les termes y sont dénommés "nombres pseudo-premiers de Bruckman-Lucas".

Un nombre pseudo-premier de Fibonacci fort est un nombre composé impair $n$ tel que[2]

\forall P\in \mathbb {Z} \quad V_{n}(P,-1)\equiv P\ {\bmod {\ }}n

où $V(P,Q)$ est la suite de Lucas de paramètres $P$ et $Q$ . Ce sont des pseudo-premiers de Fibonacci car $V_{n}(1,-1)=L_{n}$ .

Une condition équivalente est [2]:

$n$ est un nombre de Carmichael ;
pour tout facteur premier p de $n$ , 2( $p$ + 1) divise $n$ – 1 ou $n$ – $p$ .

Le plus petit exemple de pseudo-premier de Fibonacci fort est 443372888629441 = 17·31·41·43·89·97·167·331 ; voir la suite A299799 de l'OEIS.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Fibonacci pseudoprime » (voir la liste des auteurs)

, fusionné depuis dans « Lucas pseudoprime (en) ».

Une définition différente est celle commune à
- (en) David Bressoud et Stan Wagon, A Course in Computational Number Theory, Key College Publishing in cooperation with Springer, 2000, 367 p. (ISBN 978-1-930190-10-8), p. 264,
- (en) Richard Crandall et Carl Pomerance, Prime Numbers : A Computational Perspective, Springer Science+Business Media, 2005, 2^e éd. (lire en ligne), p. 142 et
- (en) Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer-Verlag, 1996, 541 p. (ISBN 978-0-387-94457-9), p. 127.
Une autre encore est donnée dans (en) Eric W. Weisstein, « Fibonacci Pseudoprime », sur MathWorld.
(en) Winfried B. Müller et Alan Oswald, « Generalized Fibonacci Pseudoprimes and Probable Primes. » In G.E. Bergum et al, eds. Applications of Fibonacci Numbers. Volume 5. Dordrecht: Kluwer, 1993. 459-464 DOI 10.1007/978-94-011-2058-6_45.
(en) Lawrence Somer, « On Even Fibonacci Pseudoprimes. » In G.E. Bergum et al, eds. Applications of Fibonacci Numbers. Volume 4. Dordrecht: Kluwer, 1991. 277-288 DOI 10.1007/978-94-011-3586-3_31.

Liens externes

(en) Peter G. Anderson, Fibonacci Pseudoprimes, their factors, and their entry points
(en) Peter G. Anderson, Fibonacci Pseudoprimes under 2,217,967,487 and their factors

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