Nombre de Carmichael

Le petit théorème de Fermat énonce que les nombres premiers ont la propriété que pour tout entier a, n est un diviseur de aⁿ – a. Sa réciproque est fausse et les nombres de Carmichael sont les nombres positifs qui satisfont cette propriété sans être premiers : ce sont des menteurs de Fermat. Pour de tels nombres, dits pseudo-premiers absolus, le test de primalité de Fermat échoue toujours à montrer qu'ils sont composés, quel que soit le choix du témoin a, ce qui ne peut pas arriver pour d'autres tests de primalité comme le test de primalité de Solovay-Strassen ou le test de primalité de Miller-Rabin.

Cependant, plus les nombres deviennent grands, plus les nombres de Carmichael deviennent rares, ce qui fait que le test de primalité de Fermat reste probabilistiquement relativement pertinent. Par exemple, le 646^e nombre de Carmichael vaut 993 905 641 et il existe 105 212 nombres de Carmichael entre 1 et 10¹⁵.

Une caractérisation des nombres de Carmichael est donnée par le théorème de Korselt :

Il découle de ce théorème que tous les nombres de Carmichael sont des produits d'au moins trois nombres premiers différents.

Korselt mentionne cette caractérisation (sans l'accompagner d'exemples) dans une courte réponse à une question de Gaston Tarry[2], à propos, dirions nous aujourd'hui, de l'existence de nombres pseudo-premiers en base 2, caractérisation passée semble-t-il alors inaperçue[3]. En 1910, Robert Daniel Carmichael énonce indépendamment[3] et démontre un critère voisin, dont la formulation utilise sa fonction indicatrice, et donne 4 de ces nombres dont 561 et 1105, les deux plus petits d'entre eux[4], résultats qu'il reprend et développe dans un article paru en 1912[5]. C'est à la suite de ces articles que ces nombres sont appelés nombres de Carmichael[3].

On vérifie facilement que 561 = 3 · 11 · 17 est un nombre de Carmichael à l'aide du théorème de Korselt : la décomposition en facteurs premiers ne comporte pas de facteur multiple et 3 - 1 = 2, 11 - 1 = 10 et 17 - 1 = 16 sont tous trois des diviseurs de 560.

Les sept premiers[6] nombres de Carmichael sont :

561 = 3 × 11 × 17

1 105 = 5 × 13 × 17

1 729 = 7 × 13 × 19

2 465 = 5 × 17 × 29

2 821 = 7 × 13 × 31

6 601 = 7 × 23 × 41

8 911 = 7 × 19 × 67.

J. Chernick démontre un théorème en 1939[7] qui peut être utilisé pour construire un sous-ensemble de nombres de Carmichael. Le nombre (6k + 1)(12k + 1)(18k + 1) est un nombre de Carmichael si ses trois facteurs sont tous premiers. On ne sait pas si cette formule, ou d'autres similaires, engendre une infinité de nombres de Carmichael lorsque k décrit l'ensemble des entiers. Tout nombre de Chernick est aussi un nombre de Zeisel avec a=1 et b=6k.

En 1956, Paul Erdős démontre[8] l'existence d'une constante K telle que le nombre C(n) de nombres de Carmichael inférieurs ou égaux à n est majoré par ${\displaystyle n\exp \left({\frac {-K\ln n\ln \ln \ln n}{\ln \ln n}}\right)}$.

Le tableau suivant donne les valeurs minimales approximatives de cette constante, pour n ≤ 10^m :

Dans le même article, Erdős donne des arguments heuristiques en faveur de l'hypothèse selon laquelle pour tout ε > 0, C(n) > n^{1 – ε} pour n assez grand, hypothèse qui a pour conséquence l'existence d'une infinité de nombres de Carmichael conjecturée par celui-ci.

La conjecture de Carmichael est démontrée en 1994 par William Alford (en), Andrew Granville et Carl Pomerance[1], qui démontrent même plus précisément que C(n) > n^2/7 pour n assez grand[9].

En 2013, Thomas Wright démontre qu'il existe une infinité de nombres de Carmichael dans toute suite arithmétique (an+b) où pgcd(a,b) = 1[10].

Tout nombre de Carmichael est impair. En effet, pour tout entier composé pair n, (–1)ⁿ – (–1) = 2 n'est pas divisible par n.

Les nombres de Carmichael ont au moins trois facteurs premiers.

Les premiers nombres de Carmichael avec respectivement au moins k = 3, 4, 5,... facteurs premiers sont (suite A006931 de l'OEIS) :

Les premiers nombres de Carmichael avec quatre facteurs premiers sont (suite A074379 de l'OEIS) :

Une coïncidence amusante est la suivante : le troisième nombre de Carmichael et premier nombre de Chernick , 1729, est le nombre de Hardy-Ramanujan, c'est-à-dire le plus petit entier positif qui peut être écrit de deux façons différentes comme la somme de deux cubes (1729 = 7 × 13 × 19 = 10³ + 9³ = 12³ + 1³). Dans la même veine, le deuxième nombre de Carmichael, 1105, peut être écrit comme somme de deux carrés de plus de façons que n'importe quel entier qui lui est inférieur.

• Soient n un nombre de Carmichael (donc impair), p l'un de ses facteurs premiers, r l'exposant de p dans n, et a un entier à la fois générateur du groupe cyclique des unités de ℤ/p^rℤ et premier avec n/p^r (il en existe, d'après le théorème chinois). Alors a^{n – 1} – 1 est divisible par n donc par p^r, donc n – 1 est un multiple de l'ordre multiplicatif de a modulo p^r, c'est-à-dire de p^{r – 1}(p – 1). Il en résulte que r = 1 (puisque p^{r – 1} divise n – 1 et n) et que p – 1 divise n – 1.
• Réciproquement, supposons que n soit un produit de nombres premiers distincts p₁, p₂, … , p_k et que les nombres p₁ – 1, p₂ – 1, … divisent tous n – 1. Alors, pour tout entier a et tout i, on a n ≡ 1 (mod p_i – 1) et donc (d'après le petit théorème de Fermat) aⁿ ≡ a (mod p_i). Le nombre aⁿ est congru à a modulo chacun des p_i, donc aussi modulo leur produit n. C'est vrai pour tout entier a (même non premier à n), en particulier n est un nombre de Carmichael dès que k > 1.

Cela achève la démonstration du théorème de Korselt.

Conséquences du théorème de Korselt :

Si p est un facteur premier d'un nombre de Carmichael n alors, modulo p – 1, on a n/p = (n/p)1 ≡ (n/p)p = n ≡ 1. Autrement dit, si p est un facteur premier d'un nombre de Carmichael, alors le produit des autres facteurs premiers est congru à 1 modulo p – 1.

Un nombre de Carmichael ne peut être le produit de deux nombres premiers p et q, car alors chacun des deux nombres p – 1 et q – 1 diviserait l'autre et ils seraient égaux.

Tout nombre de Carmichael est donc le produit d'au moins trois nombres premiers (impairs) distincts.

Les nombres de Carmichael peuvent être généralisés en utilisant les concepts de l'algèbre générale.

La définition ci-dessus énonce qu'un entier composé n est un nombre de Carmichael précisément lorsque la fonction nième puissance p_n de l'anneau commutatif Z_n des entiers modulo n dans lui-même est la fonction identité. L'identité est le seul Z_n-endomorphisme d'algèbre sur Z_n donc nous pouvons rétablir la définition en demandant que p_n soit un endomorphisme d'algèbre de Z_n. Comme ci-dessus, p_n satisfait à la même propriété quand n est premier.

La fonction nième puissance p_n est aussi définie sur n'importe quel Z_n-algèbre A. Un théorème énonce que n est premier si et seulement si toutes les fonctions telles que p_n sont des endomorphismes d'algèbres.

Entre ces deux conditions se trouve la définition du nombre de Carmichael d'ordre m pour n'importe quel entier positif m comme n'importe quel nombre composé n tel que p_n est un endomorphisme sur chaque Z_n-algèbre qui peut être générée comme un Z_n-module par m éléments. Les nombres de Carmichael d'ordre 1 sont simplement les nombres de Carmichael ordinaires.

(en) Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, 1996, 541 p. (ISBN 0-387-94457-5), chap. IX