Indicatrice de Carmichael

Les entiers a premiers avec n sont exactement ceux qui sont inversibles modulo n (par le théorème de Bachet-Bézout et sa réciproque). Donc si deux entiers m et k vérifient a^m ≡ 1 mod n et a^k ≡ 1 mod n, le reste de la division euclidienne de l'un par l'autre également. La définition peut donc être reformulée[1] :

• λ(n) est l'unique entier tel que
  • pour tout entier a premier avec n, a^λ(n) ≡ 1 mod n
  • si pour tout entier a premier avec n, a^m ≡ 1 mod n, alors λ(n) divise m.

On déduit alors du théorème d'Euler que :

• λ(n) divise φ(n).

La définition a également pour conséquence, par le théorème des restes chinois que :

• si m et n sont premiers entre eux, alors λ(m×n) est le plus petit commun multiple de λ(m) et λ(n).

La définition peut être reformulée en utilisant la théorie des groupes. Un entier a premier avec n est exactement un entier dont la classe modulo n est un élément inversible de l'anneau ℤ/nℤ, c'est-à-dire un élément du groupe multiplicatif (ℤ/nℤ)*. Par définition, le plus petit entier m vérifiant α^m = 1 pour tout élément α d'un groupe est appelé exposant de ce groupe, et donc :

• λ(n) est l'exposant du groupe multiplicatif (ℤ/nℤ)* des éléments inversibles de l'anneau ℤ/nℤ.

Une autre caractérisation de l'exposant donne

• λ(n) est le plus petit commun multiple des ordres des éléments de (ℤ/nℤ)*.

On retrouve ainsi que λ(n) divise φ(n) qui est le cardinal, ou ordre, du groupe (ℤ/nℤ)* et donc un multiple commun des ordres de ses éléments (par le théorème de Lagrange).

Dans un groupe commutatif fini, comme (ℤ/nℤ)*, il existe un élément d'ordre l'exposant, c'est-à-dire que :

• il existe un élément de (ℤ/nℤ)* d'ordre λ(n).

On en déduit immédiatement que :

• λ(n) = φ(n) si et seulement si le groupe (ℤ/nℤ)* est un groupe cyclique.

Quand p est premier, ℤ/pℤ est un corps fini (premier), et son groupe multiplicatif (ℤ/pℤ)* est alors cyclique. Donc :

• si p est premier, λ(p) = φ(p) = p - 1.

On n'a pas toujours λ(n) = φ(n) : le groupe multiplicatif (ℤ/8ℤ)* est le groupe de Klein, d'ordre 4 et d'exposant 2, on a donc λ(8) = 2 mais φ(8) = 4.

Il n'y a pas que les nombres premiers pour lesquels les fonctions φ et λ prennent la même valeur : on vérifie que (ℤ/4ℤ)* et (ℤ/6ℤ)* sont d'ordre 2, donc λ(4) = φ(4) = 2 et λ(6) = φ(6) = 2, (ℤ/9ℤ)* est d'ordre φ(9) = 6, et 2 est un élément d'ordre 6 de (ℤ/9ℤ)* donc λ(9) = φ(9) = 6 (les cas où φ(n)= λ(n) sont précisés au paragraphe suivant).

La suite oeis:A002322 donne les premières valeurs de la fonction λ de Carmichael (et en propose d'autres dans les références). Les 36 premières valeurs de la fonction λ sont données dans le tableau ci-dessous, avec celles de l'indicatrice d'Euler φ correspondantes.

On sait calculer λ(m×n) connaissant λ(m) et λ(n) quand m et n sont premiers entre eux. On pourra donc calculer λ(n) à partir de la décomposition en facteurs premiers de n, si on sait calculer λ(p^r) pour p un nombre premier, ce que l'on obtient en étudiant les groupes multiplicatifs correspondant :

• si p est un nombre premier impair, et r ≥ 1 un entier, alors le groupe multiplicatif (ℤ/p^r ℤ)* est le groupe cyclique d'ordre φ(p^r) = p^r - p^{r - 1} ;
• si r ≥ 2, le groupe multiplicatif (ℤ/2^r ℤ)*, est un groupe de cardinal φ(2^r) = 2^{r - 1}, produit d'un groupe d'ordre 2 et d'un groupe cyclique d'ordre 2^{r - 2}, soit, si r > 2, un groupe d'exposant λ(2^r) = 2^{r - 2}, si r = 2 le groupe est de cardinal et d'exposant 2.

On obtient alors une caractérisation plus calculatoire de la fonction indicatrice de Carmichael (prise d'ailleurs parfois pour définition, en particulier dans l'article original de Carmichael[2]).

Théorème de Carmichael. — La fonction indicatrice de Carmichael est la fonction λ définie sur les entiers strictements positifs par :

• λ(1) = 1 ;
• λ(p^r) = φ(p^r) = p^r - p^{r - 1}, pour p premier impair et r > 0, ou p = 2 et 0 < r ≤ 2 ;
• λ(2^r) = 1/2φ(2^r) = 2^{r - 2}, pour r > 2 ;
• λ(p₁^r₁ ... p_k^r_k ) = ppcm(λ(p₁^r₁), ... , λ( p_k^r_k)), où les p_i sont des nombres premiers distincts.

La fonction indicatrice de Carmichael prend la même valeur que la fonction indicatrice d'Euler en n si et seulement si le groupe (ℤ/nℤ)* est cyclique, c'est-à-dire si et seulement si :

• n = 1 ;
• n = 2 ou n = 4 ;
• n = p^r ou n = 2p^r, une puissance non nulle (r > 0) d'un entier premier impair p ou le double d'une telle puissance ;

(la suite oeis:A034380 énumère les premières valeurs du quotient φ(n)/λ(n), et propose d'autres données en références).

On déduit, soit de la définition, soit de la forme plus explicite donnée par le théorème, que :

• si m divise n, alors λ(m) divise λ(n) ;

en particulier :

• si n est divisible par p premier, alors λ(n) est divisible par p - 1 ;
• si n > 2, alors λ(n) est un nombre pair (conséquence du précédent) ;
• si n est divisible par p² où p est premier, alors λ(n) est divisible par p.

Quand n est un nombre sans facteur carré, c'est-à-dire que n est le produit de nombres premiers distincts p₁, ... , p_k :

• λ(p₁ ... p_k) = ppcm(p₁ -1, ... , p_k - 1) ;
• pour tout entier a, a^{λ(n) + 1} ≡ a mod n.

Les nombres de Carmichael sont des nombres entiers naturels n qui ne sont pas premiers mais qui vérifient pourtant la conclusion du petit théorème de Fermat, soit :

pour tout entier a premier avec n, a^{n - 1} ≡ 1 mod n.

Carmichael les étudie dans le même article où il introduit sa fonction indicatrice et donne en particulier cette caractérisation[3], qui suit immédiatement de la définition adoptée plus haut :

un nombre n qui n'est pas premier est de Carmichael si et seulement si λ(n) divise n - 1.

Par conséquent :

• un nombre de Carmichael est forcément impair, car n - 1 est divisible par λ(n) pair (on a n > 2, et voir section précédente) ;
• un nombre de Carmichael n est premier avec λ(n), donc sans facteur carré (voir section précédente), soit produit de nombres premiers tous distincts.

En tirant parti de ces propriétés, et de l'expression dans ce cas de λ(n) (voir section précédente), la caractérisation de Carmichael devient :

Théorème.— Un entier naturel n qui n'est pas premier est un nombre de Carmichael si et seulement s'il est produit de nombres premiers impairs distincts, soit n = p₁ … p_k, vérifiant p_i - 1 divise n - 1, pour 1 ≤ i ≤ k.

Ce résultat, démontré dans l'article de Carmichaël[4], est parfois appelé théorème de Korselt (voir l'article détaillé nombre de Carmichael).

• (en) R. D. Carmichael, « Note on a new number theory function », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 16, n^o 5,‎ 1910, p. 232–238 (DOI 10.1090/s0002-9904-1910-01892-9, lire en ligne) ;
• Michel Demazure, Cours d'algèbre : Primalité. Divisibilité. Codes., 2008 [détail de l’édition] (p 90-94).
• (en) Hans Riesel, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (second edition), Boston, Birkhäuser, 1994, 464 p. (ISBN 0-8176-3743-5, lire en ligne)