Développement décimal de l'unité

L'une des raisons de la nécessité des développements décimaux infinis est la représentation décimale des fractions. Poser une division d'entiers telle que 1/9 donne un développement décimal 0,111… dans lequel les décimales se répètent sans fin. Cette égalité donne une démonstration rapide de 0,999… = 1 : ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{9}}&=0{,}111\ldots \\9\times {\frac {1}{9}}&=9\times 0{,}111\ldots \\1&=0{,}999\ldots \end{aligned}}}$

Sous une autre forme[1], on peut multiplier les deux membres de l'égalité 1/3 = 0,333… par 3, pour obtenir d'une part 3 × 1/3 = 1 et d'autre part 3 × 0,333… = 0,999…. Ces deux nombres sont donc bien égaux.

Quand un nombre en notation décimale est multiplié par 10, les chiffres ne changent pas, mais le séparateur des unités est décalé d'un cran vers la droite. Ainsi, 10 × 0,999… = 9,999…. La suite demande un tout petit peu d'algèbre[1] - [2] - [3] :

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0{,}999\ldots \\10x&=9{,}999\ldots &{\text{en multipliant par }}10\\9x&=9&{\text{en retranchant la première équation de la seconde}}\\x&=1&{\text{en divisant par }}9\\0{,}999\ldots &=1&{\text{par définition de }}x.\end{aligned}}}$

« Alors que cette preuve établit que 0,999… = 1, elle ne semble rien offrir expliquant pourquoi cette égalité est vraie. [… Cependant,] en arithmétique élémentaire, ce genre de démonstration peut aider à expliquer pourquoi 0,33… ≠ 0,4, tandis que 0,99… est égal à 1,0. Ou encore, en algèbre élémentaire, [… à expliquer] une méthode générale pour trouver la fraction correspondant à un développement décimal périodique[3] ». Mais ces démonstrations ne mettent pas en lumière les relations fondamentales entre les développements décimaux et les nombres qu'ils représentent, relations qui sont sous-jacentes au sens même à donner à l'égalité entre deux développements décimaux.

William Byers pense qu'un élève qui admet que 0,999… = 1 à cause des démonstrations précédentes, mais qui n'a pas résolu l'ambiguïté de la notation 0,999… — qui, selon lui, désigne à la fois un processus de sommation et un objet mathématique — ne peut pas comprendre vraiment l'égalité[1].

Une fois qu'un système de représentation est défini, il peut être utilisé pour justifier les règles d'arithmétique décimale utilisées dans les démonstrations précédentes. De plus, on peut démontrer directement que les expressions 0,999… et 1,000… représentent toutes deux le même nombre réel, car cela fait partie de la définition (voir infra).

La présentation peut-être la plus courante des développements décimaux est de les définir comme des séries infinies. En général :

${\displaystyle b_{0}{,}b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}\ldots =b_{0}+{\frac {b_{1}}{10}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+{\frac {b_{3}}{10^{3}}}+{\frac {b_{4}}{10^{4}}}+\ldots }$

Pour 0,999…, on peut appliquer le théorème de convergence des séries géométriques : si |r| < 1, alors :

${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\ldots ={\frac {a}{1-r}}.}$

Comme 0,999… est une somme de ce genre, avec r = 1/10, le théorème résout rapidement la question :

${\displaystyle 0{,}999\ldots =0+{\frac {9}{10}}+{\frac {9}{10^{2}}}+{\frac {9}{10^{3}}}+{\frac {9}{10^{4}}}+\ldots ={\frac {9}{10}}+{\frac {9}{10}}\times {\frac {1}{10}}+{\frac {9}{10}}\times \left({\frac {1}{10}}\right)^{2}+{\frac {9}{10}}\times \left({\frac {1}{10}}\right)^{3}+\ldots ={\frac {\frac {9}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}=1.}$

Limites : l'intervalle unité, avec la suite des fractions (en base 4) : 0,3, 0,33, 0,333, … convergeant vers 1.

Cette démonstration (en fait celle de 9,999… = 10) apparaît dès 1770 dans les Éléments d'algèbre de Leonhard Euler[4], mais la sommation d'une série géométrique est elle-même un résultat plus ancien. Une démonstration typique du XVIII^e siècle utilisait une manipulation terme à terme analogue à la manipulation des décimales donnée plus haut ; Bonnycastle, en 1811, utilise ce genre d'argument pour justifier que 0,999… = 1[5].

Une réaction du XIX^e siècle contre ce genre de méthodes cavalières de sommation a abouti à la définition encore dominante aujourd'hui :

• la somme d'une série est la limite de la suite de ses sommes partielles ;
• une suite (x₀, x₁, x₂, …) admet une limite x si la distance |x – x_n| devient arbitrairement petite quand n s'accroît.

Avec ces définitions, la démonstration du théorème ci-dessus consiste à calculer la distance entre la limite escomptée, x = a/1 – r, et les sommes partielles de la série géométrique, x_n = a + ar + … + arⁿ. On trouve que cette distance est une suite géométrique de raison r, donc de limite nulle (puisque |r| < 1)[note 1].

Dans le cas particulier de 0,999… = 1, cette démonstration s'écrit simplement :

${\displaystyle 1-0{,}\underbrace {99\ldots 99} _{n}=0{,}\underbrace {00\ldots 01} _{n}={\frac {1}{10^{n}}}\quad {\rm {et}}\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=0.}$

Avant cette formalisation, elle était ébauchée en termes plus imagés, mais moins précis. Par exemple, en 1846, Davies explique « .999 +, continué à l'infini = 1, parce que l'addition de chaque nouveau 9 rapproche la valeur de 1[6]. » ; Smith et Harrington, en 1895, écrivent : « quand on prend un grand nombre de 9, la différence entre 1 et 0,999… devient petite de façon inconcevable[7]. » De telles approches heuristiques sont souvent interprétées par les étudiants comme impliquant que 0,999… est lui-même strictement inférieur à 1.

Segments emboîtés : en base 3, 1 = 1,000… = 0,222…

La représentation ci-dessus par des séries est un moyen simple de définir le nombre réel associé à un développement décimal. Pour s'assurer que cette notation n'abuse pas du signe « = », on a utilisé les propriétés des limites. Mais d'autres constructions utilisent celles de l'ordre.

L'une d'elles s'appuie sur le théorème des segments emboîtés (voir troisième construction), qui dit que pour une suite de segments emboîtés dont les longueurs deviennent arbitrairement petites, l'intersection de ces intervalles contient exactement un point. Le nombre b₀,b₁b₂b₃… est donc défini comme l'unique réel appartenant à tous les segments [b₀, b₀ + 1], [b₀,b₁, b₀,b₁ + 0,1], etc. Ainsi, 0,999… est l'unique réel qui se trouve dans tous les segments [0, 1], [0,9, 1], [0,99, 1], [0,999, 1], etc. c'est-à-dire le réel 1[8].

Le processus inverse est de déterminer, pour un nombre réel donné, tous les développements décimaux auxquels il correspond. Si l'on sait qu'un nombre réel x est dans le segment [0, 10] (c'est-à-dire que 0 ≤ x ≤ 10), on peut diviser cet intervalle en 10 parties égales, qui ne se recouvrent qu'à leurs extrémités : [0, 1], [1, 2], [2, 3], … , [9, 10]. Le nombre x doit appartenir à l'un de ces intervalles ; s'il appartient à [2, 3], on note le chiffre 2, et l'on subdivise l'intervalle en dix : [2,0, 2,1], [2,1, 2,2], [2,2, 2,3], … , [2,9, 3]. On note alors le séparateur décimal et le chiffre correspondant à l'intervalle où se trouve x ; en continuant ce processus, on obtient une suite infinie de segments emboîtés, que l'on repère par une suite infinie de chiffres b₀,b₁b₂b₃… et l'on écrit x = b₀,b₁b₂b₃…. Dans ce formalisme, les identités 0,999… = 1 et 1,000… = 1 reflètent respectivement que 1 est à la fois dans le segment [0, 1] et [1, 2], si bien que l'on peut choisir l'un ou l'autre de ces intervalles au début de la recherche des décimales. La suite découle de ce choix initial.

Le théorème des segments emboîtés est d'habitude basé sur un caractère plus fondamental des nombres réels : l'existence du plus petit majorant, appelé borne supérieure (ou supremum). Pour exploiter directement ce genre d'objet, on peut définir b₀,b₁b₂b₃… comme la borne supérieure de l'ensemble des approximants b₀, b₀,b₁, b₀,b₁b₂, b₀,b₁b₂b₃, etc.[9] - [10]. On peut montrer ensuite que cette définition (ou celle par les segments emboîtés) est cohérente avec la procédure de subdivision, ce qui implique à nouveau que 0,999… = 1. Tom Apostol conclut : « Le fait qu'un nombre réel puisse avoir deux représentations décimales différentes est simplement un reflet de ce que deux ensembles différents de nombres réels peuvent avoir la même borne supérieure[11]. ».

La définition des nombres réels comme coupures de Dedekind a été publiée pour la première fois par Richard Dedekind en 1872[12]. Dans la reformulation désormais classique (cf. article détaillé), une coupure est une partie propre non vide de l'ensemble des rationnels[note 3], stable par minorant et ne possédant pas de plus grand élément[note 4]. Un réel est alors représenté par l'ensemble infini de tous les rationnels qui lui sont strictement inférieurs. Tout développement décimal positif définit facilement une coupure de Dedekind : l'ensemble des rationnels strictement inférieurs à une certaine troncature du développement. Par exemple, la coupure correspondant au développement infini 0,999… est l'ensemble des rationnels inférieurs à 0, ou à 0,9, ou à 0,99, etc., et celle correspondant au développement fini 1 est l'ensemble des rationnels strictement inférieurs à 1. Ces deux ensembles sont égaux donc les deux développements décimaux 0,999… et 1 représentent le même réel, par définition.

Une autre démarche pour construire les nombres réels utilise moins directement la notion d'ordre des rationnels. C'est la définition à partir des suites de Cauchy de rationnels, publiée pour la première fois en 1872, indépendamment, par Eduard Heine et Georg Cantor[12].

On commence par définir la « distance » entre deux rationnels x et y comme la valeur absolue |x − y|, c'est-à-dire le plus grand des deux rationnels x – y et y – x (cette distance est donc un rationnel positif).

Dans ce cadre, les réels sont définis comme les suites de rationnels (x₀, x₁, x₂, …) qui sont « de Cauchy pour cette distance », c'est-à-dire telles que pour tout rationnel δ > 0, il existe un entier N tel que |x_m − x_n| ≤ δ pour tout m et n supérieurs à N. En d'autres termes, la distance entre deux termes devient plus petite que n'importe quel rationnel positif à partir d'un certain rang[13].

On définit de même, dans ce contexte, la notion de suite de rationnels convergeant vers 0, en n'utilisant que des δ > 0 rationnels. Puis, si (x_n) et (y_n) sont deux suites de Cauchy, on dit qu'elles sont égales en tant que nombres réels si leur différence (x_n – y_n) converge vers 0. Les troncatures du développement décimal b₀,b₁b₂b₃… forment une suite de nombres décimaux (donc rationnels) qui est de Cauchy. Elle est prise comme la valeur du nombre[14]. Dans ce formalisme, l'égalité 0,999… = 1 vient donc simplement[15], comme dans l'approche précédente par les séries, du fait que la suite des rationnels

${\displaystyle \left(1-0,1-{9 \over 10},1-{99 \over 100},\dots \right)=\left(1,{1 \over 10},{1 \over 100},\dots \right),}$

c'est-à-dire la suite des puissances de 1/10, converge vers 0 (au sens a priori plus faible défini ici : pour tout rationnel δ > 0, on a 1/10ⁿ ≤ δ pour tout entier n assez grand).

Certaines démonstrations que 0,999… = 1 reposent sur la propriété archimédienne des nombres réels standards : il n'y a pas d'infinitésimaux non nuls. Il existe des structures algébriques mathématiquement cohérentes, comprenant diverses alternatives aux réels standards, qui ne sont pas archimédiennes. La signification de 0,999… dépend de la structure dans laquelle on l'utilise. Par exemple les nombres duaux possèdent un nouvel élément, infinitésimal, ${\displaystyle \varepsilon }$, analogue dans les nombres complexes à l'unité imaginaire i, sauf que dans le cas des nombres duaux, ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}$. La structure qui en résulte peut servir en dérivation algorithmique. Les nombres duaux peuvent être ordonnés par un ordre lexicographique, auquel cas les multiples de ${\displaystyle \varepsilon }$ deviennent des éléments non archimédiens[35]. Noter, cependant que, considérés comme une extension des réels, les duaux satisfont encore 0,999… = 1. Noter encore que puisque ${\displaystyle \varepsilon }$ existe en tant que nombre dual, ${\displaystyle \varepsilon /2}$ existe aussi, si bien que ${\displaystyle \varepsilon }$ n'est pas « le plus petit nombre dual positif », et d'ailleurs, comme pour les réels, ce nombre n'existe pas.

L'analyse non standard fournit un système de numération avec tout un ensemble d'infinitésimaux (et leurs inverses, infiniment grands)[note 10]. A. H. Lightstone a mis au point un développement décimal pour les nombres hyperréels dans l'intervalle ${\displaystyle \left]0,1\right[^{\ast }}$[36]. Il montre comment associer à tout nombre une suite de décimales 0,d₁d₂d₃…;…d_∞–1d_∞d_∞+1… indexée par les nombres hypernaturels. Bien qu'il ne discute pas directement 0,999…, il montre que le nombre réel 1/3 est représenté par 0,333…;…333…, ce qui est une conséquence de l'axiome de transfert. En multipliant par 3, on obtient une représentation analogue pour des développements avec des 9 qui se répètent. Mais Lightstone montre que dans ce système, les expressions 0,333…;…000… — ou 0,999…;…000… — ne correspondent à aucun nombre.

En même temps, le nombre hyperréel ${\displaystyle u_{H}=0{,}999\ldots$ ;\ldots 999000\ldots } avec la dernière décimale 9 à un rang hypernaturel infini H satisfait à l'inégalité stricte ${\displaystyle u_{H}<1}$. En fait, la suite : ${\displaystyle u_{1}=0,9\,;\ u_{2}=0,99\,;\ u_{3}=0,9999}$ et ${\displaystyle u_{H}=1-10^{-H}<1}$. Selon cette écriture, Karin et Mikhail Katz ont proposé une évaluation différente de 0,999… :

${\displaystyle {\begin{array}{cl}0{,}\underbrace {999\ldots } &=\,1-1/10^{[\mathbb {N} ]}\\[-1ex][\mathbb {N} ]&\end{array}}}$

où ${\displaystyle [\mathbb {N} ]}$ est un hypernaturel infini donné par la suite ${\displaystyle 1,2,3,\ldots }$, modulo un certain ultrafiltre[37]. Ian Stewart caractérise cette interprétation comme une façon « tout à fait raisonnable » de justifier rigoureusement l'intuition qu'il « manque un petit quelque chose entre 0,999… et 1 »[38]. Comme Karin et Mikhail Katz, Robert Ely met en question la supposition que les idées des étudiants sur l'inégalité 0,999… < 1 sont des idées fausses sur les nombres réels, et il préfère les interpréter comme des intuitions non standard, qui pourraient avoir un intérêt dans l'apprentissage du calcul infinitésimal[39].

La théorie des jeux combinatoires fournit également des nombres alternatifs aux réels, avec le jeu Hackenbush (en) L-R infini comme exemple particulièrement frappant. En 1974, Elwyn Berlekamp décrit une correspondance entre les chaînes du jeu Hackenbush et les développements binaires des réels, motivé par l'idée de la compression de données. Par exemple, la valeur de la chaîne Hackenbush LRRLRLRL… est ${\displaystyle 0{,}010101\ldots _{\mathrm {(base2)} }=1/3}$. Cependant la valeur de LRLLL… (correspondant à ${\displaystyle 0{,}111\ldots _{\mathrm {(base\ 2)} }}$ est infinitésimalement inférieur à 1. La différence entre les deux est le nombre surréel ${\displaystyle 1/\omega }$, où ${\displaystyle \omega }$ est le premier ordinal infini ; la représentation correspondante est LRRRR…, ou ${\displaystyle 0{,}000\ldots _{\mathrm {(base\ 2)} }}$[note 11].

Une autre manière par laquelle les démonstrations peuvent être rendues invalides est le cas où ${\displaystyle 1-0{,}999\ldots }$ n'existe tout simplement pas, parce que la soustraction n'est pas toujours possible. Les structures mathématiques où il existe une opération d'addition, mais où l'opération de soustraction n'est pas toujours définie comprennent les demi-groupes commutatifs, les monoïdes commutatifs et les demi-anneaux. Fred Richman considère un tel système — construit de façon que 0,999… < 1 — dans un article intitulé « 0,999… est-il égal à 1 ? »[2] de Mathematics Magazine, un journal destiné aux enseignants en premier cycle de l'université et à leurs étudiants.

Sur les développements décimaux[note 12] positifs, Richman définit l'ordre lexicographique et une opération d'addition, remarquant que 0,999… < 1, tout simplement parce que 0 < 1 au rang des unités, mais pour tout développement infini x, on a 0,999… + x = 1 + x. Donc une particularité des développements décimaux est qu'ils ne sont pas tous simplifiables pour l'addition. Une autre est qu'il n'y a pas de développement décimal x correspondant à 1/3, c'est-à-dire vérifiant x + x + x = 1. Après avoir défini la multiplication, les développements décimaux positifs forment un demi-anneau positif, totalement ordonné et commutatif[2]. Bien que cette structure vérifie certaines propriétés intéressantes, beaucoup des règles de l'arithmétique usuelle n'y sont plus valables.

En parallèle, Richman propose une variante paradoxale des coupures de Dedekind : il innove en appelant « coupure de Dedekind » de l'anneau D des nombres décimaux toute partie propre non vide A de D stable par minorant, mais sans interdire que A possède un plus grand élément. À tout élément d de D, il peut ainsi associer deux « coupures » : l'ensemble ${\displaystyle \{x\in D\mid x<d\}}$, qu'il note d^–, et l'ensemble ${\displaystyle \{x\in D\mid x\leq d\}}$, qu'il assimile à d et nomme « coupure principale ». Rappelant que Dedekind identifiait l'une à l'autre ces deux « coupures » en disant qu'elles « ne diffèrent que de façon inessentielle » — ce qui revient à exclure la seconde, comme dans la présentation classique des coupures de Dedekind rappelée ci-dessus, Richman analyse cependant la structure où toutes ses « coupures de Dedekind » sont autorisées et où d^– et d ne sont pas considérées comme égales. Ses « coupures » contenant 0 sont alors en bijection avec les développements décimaux positifs, en associant à tout développement l'ensemble des nombres décimaux inférieurs au sens large à une certaine troncature du développement. L'ensemble correspondant au développement infini 0,999… est donc la coupure 1^–, tandis que l'ensemble correspondant au développement 1 est la « coupure principale 1 ».

Il n'y a pas d'infinitésimaux positifs dans ses « coupures » sur D, mais il y a une sorte d'« infinitésimal négatif » 0^–, qui n'a pas de développement décimal. Il conclut que 0,999… = 1 + 0^–, tandis que l'équation 0,999… + x = 1 n'a pas de solution[note 13].

Quand on leur pose des questions sur 0,999…, les novices croient souvent qu'il doit y avoir un « dernier 9 », ce qui fait qu'ils pensent que ${\displaystyle 1-0{,}999\ldots }$ est un nombre positif, qu'ils écrivent 0,000…1. Que cela ait ou non un sens, le but intuitif est clair : si l'on ajoute un 1 au dernier des 9 cela va provoquer des retenues en cascade, remplacer tous les 9 par des 0 et le 0 des unités par un 1. Parmi d'autres raisons, cette idée échoue, parce qu'il n'y a pas de « dernier 9 » dans 0,999…[40]. Cependant il existe un système qui contient une infinité de 9 y compris un dernier 9.

Les entiers 4-adiques (points noirs), comprenant la suite ${\displaystyle (3,\ 33\ 333\ \ldots )}$ convergeant vers –1. L'analogue 10-adique est …999 = –1.

Les nombres p-adiques sont un système de numération alternatif de grand intérêt en théorie des nombres. Comme les nombres réels, les nombres p-adiques peuvent être construits à partir des rationnels, au moyen de suites de Cauchy ; la construction utilise une métrique différente, dans laquelle 0 est plus proche de p, et encore plus de pⁿ, que de 1. Les nombres p-adiques forment un corps commutatif si p est premier, et un anneau commutatif sinon, y compris si p = 10. Donc on peut faire de l'arithmétique avec les nombres p-adiques, et il n'y a pas d'infinitésimaux.

Dans les nombres 10-adiques, les analogues des développements décimaux s'étendent vers la gauche. Le développement …999 possède un dernier 9 tandis qu'il n'a pas de premier 9. On peut ajouter 1 au chiffre des unités, et les retenues en cascade ne laissent que des 0 :

${\displaystyle \ldots 999+1=\ldots 000=0}$

donc …999 = –1[41]. Une autre démonstration utilise une série géométrique. La série infinie impliquée par la notation …999 ne converge pas dans les réels, mais elle converge dans les 10-adiques, et l'on peut réutiliser la formule familière :

${\displaystyle \ldots 999=9+9(10)+9(10)^{2}+9(10)^{3}+\cdots ={\frac {9}{1-10}}=-1}$[42].

– à comparer avec la série (voir supra).

Une troisième démonstration a été inventée par un élève de cinquième, qui doutait de l'argument de la limite donné par son professeur, que 0,999… = 1, mais était inspiré par la démonstration par la multiplication par 10 (voir supra), mais à l'envers : si ${\displaystyle x=\ldots 999}$ alors ${\displaystyle 10x=\ldots 9990=x-9}$, et par suite ${\displaystyle x=-1}$[41].

Une extension finale, puisque 0,999… = 1 dans les réels et …999 = –1 dans les 10-adiques, « par une foi aveugle et un jonglage inconsidéré avec les symboles »[43], on peut ajouter les deux relations, et arriver à …999,999… = 0. Cette équation n'a de sens ni comme développement 10-adique, ni comme développement décimal, mais il se trouve qu'on peut lui donner une signification si l'on développe une théorie des « doubles décimales », avec des côtés gauches périodiques, pour représenter un système familier : celui des nombres réels[44].

• (en) Cecil Adams, « An infinite question: Why doesn't .999~ = 1? », The Straight Dope, 11 juillet 2003
• (en) Tom M. Apostol, Mathematical Analysis, Addison-Wesley, 1974, 2^e éd., 492 p. (ISBN 0-201-00288-4) — Passage de l'analyse élémentaire à l'analyse avancée, ce livre a l'ambition d'être « honnête, rigoureux, à jour, et en même temps, pas trop pédant. » (préface). Les développements d'Apostol sur les nombres réels utilisent l'axiome de la borne supérieure et introduisent les développements décimaux deux pages plus loin (p. 9-11).

• (en) R. G. Bartle et D. R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, Wiley, 1982 (ISBN 0-471-05944-7) — Ce manuel vise à être « un manuel accessible, de rythme raisonnable, qui traite des concepts et techniques fondamentaux de l'analyse réelle ». Son développement sur les réels repose sur l'axiome de la borne supérieure (p. vii-viii).

• (en) Elwyn R. Berlekamp, J. H. Conway et R. K. Guy, Winning Ways for your Mathematical Plays, Academic Press, 1982 (ISBN 0-12-091101-9)
• (en) Martin Berz, « Automatic differentiation as nonarchimedean analysis », dans L. Atanassova et J. Herzberger, Computer Arithmetic and Enclosure Methods, Elsevier, 1992 (lire en ligne), p. 439-450
• (en) Bryan H. Bunch, Mathematical Fallacies and Paradoxes, Van Nostrand Reinhold, 1982, 216 p. (ISBN 0-442-24905-5) — Ce livre présente une analyse des paradoxes et faussetés, comme un outil pour explorer son sujet central « la relation assez ténue entre réalité mathématique et réalité physique ». Il suppose connue l'algèbre de seconde ; les mathématiques supplémentaires sont apportées par le livre, y compris les séries géométriques au chapitre 2. Bien que 0,999… ne soit pas l'un des paradoxes entièrement traités, il est brièvement mentionné au cours d'un développement sur la méthode de Cantor (p. ix-xi, 119).

• (en) Brian Burrell, Merriam-Webster's Guide to Everyday Math : A Home and Business Reference, Merriam-Webster, 1998, 373 p. (ISBN 0-87779-621-1, lire en ligne)
• (en) William Byers, How Mathematicians Think : Using Ambiguity, Contradiction, and Paradox to Create Mathematics, Princeton University Press, 2007, 415 p. (ISBN 978-0-691-12738-5 et 0-691-12738-7, lire en ligne)
• (en) John B. Conway (en), Functions of One Complex Variable I, Springer, coll. « GTM » (n^o 11), 1978, 2^e éd. (1^re éd. 1973), 317 p. (ISBN 978-0-387-90328-6, lire en ligne) — Ce texte suppose « un solide cours de calcul analytique » comme préalable ; ses buts avoués sont de présenter l'analyse complexe comme « une introduction aux mathématiques » et d'en expliciter les matières avec clarté et précision (p. vii).

• (en) Frank C. DeSua, « A system isomorphic to the reals », American Mathematical Monthly, vol. 67, n^o 9,‎ 1960, p. 900-903 (DOI 10.2307/2309468)
• (en) Barbara Edwards et Michael Ward, « Surprises from mathematics education research: Student (mis)use of mathematical definitions », American Mathematical Monthly, vol. 111, n^o 5,‎ 2004, p. 411-425 (lire en ligne)
• (en) Robert Ely, « Nonstandard student conceptions about infinitesimals », Journal for Research in Mathematics Education, vol. 41, n^o 2,‎ 2010, p. 117-146 — Cet article est une étude de terrain concernant une étudiante, qui a mis au point une théorie des infinitésimaux à la Leibniz, pour s'aider à comprendre le calcul différentiel, et en particulier pour rendre compte du fait que 0,999… diffère de 1 par une valeur infinitésimale 0,000…1.

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• (en) Anthony Gardiner, Understanding Infinity : The Mathematics of Infinite Processes, Dover, 2003 (1^re éd. 1982), 308 p. (ISBN 0-486-42538-X, lire en ligne)
• (en) Timothy Gowers, Mathematics : A Very Short Introduction, Oxford, Oxford University Press, 2002, 143 p. (ISBN 0-19-285361-9, lire en ligne)
• (en) Ivor Grattan-Guinness, The Development of the Foundations of Mathematical Analysis from Euler to Riemann, MIT Press, 1970 (ISBN 0-262-07034-0)
• (en) H. B. Griffiths et P. J. Hilton, A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics : A Contemporary Interpretation, Londres, Van Nostrand Reinhold, 1970, 640 p. (ISBN 978-0-387-90342-2, lire en ligne) — Ce livre est l'aboutissement d'un cours pour les professeurs de mathématiques du secondaire dans la région de Birmingham. Le cours était destiné à donner une perspective universitaire sur l'enseignement des mathématiques à l'école, et le livre vise les étudiants « qui ont en gros le niveau demandé après une année d'études spécialisées en mathématiques à l'université ». Les nombres réels sont construits au chapitre 24, « chapitre peut-être le plus difficile de tout le livre », bien que les auteurs attribuent une bonne partie de la difficulté à leur utilisation de la théorie des idéaux, qui n'est pas reproduite ici (p. vii, xiv). Ce livre est écrit spécialement pour permettre un deuxième regard sur des concepts familiers, avec un éclairage contemporain (p. viii).

• (en) K. Katz et M. Katz, « When is .999… less than 1 ? », The Montana Mathematics Enthusiast, vol. 7, n^o 1,‎ 2010, p. 3-30 (lire en ligne)
• (en) Karin Usadi Katz et Mikhail G. Katz, « Zooming in on infinitesimal 1 − .9.. in a post-triumvirate era », Educational Studies in Mathematics, vol. 74, n^o 3,‎ 2010, p. 259-273 (DOI 10.1007/s10649-010-9239-4, arXiv 1003.1501)
• (en) Vilmos Komornik et Paola Loreti, « Unique developments in non-integer bases », American Mathematical Monthly, vol. 105, n^o 7,‎ 1998, p. 636-639 (DOI 10.2307/2589246)
• (en) A. H. Lightstone, « Infinitesimals », American Mathematical Monthly, vol. 79, n^o 3,‎ 1972, p. 242-251 (DOI 10.2307/2316619)
• (en) Eli Maor, To Infinity and Beyond : A Cultural History of the Infinite, Birkhäuser, 1987, 275 p. (ISBN 3-7643-3325-1, lire en ligne) — Revue de l'infini, par thèmes plutôt que chronologique, ce livre est « destiné au lecteur généraliste », mais « raconté du point de vue d'un mathématicien ». À propos du dilemme entre rigueur et lisibilité, l'auteur « espère avoir convenablement résolu ce problème » (p. x-xiii).

• (en) Joseph Mazur, Euclid in the Rainforest : Discovering Universal Truths in Logic and Math, Pearson: Pi Press, 2005, 334 p. (ISBN 0-13-147994-6)
• (en) James Munkres, Topology, Prentice Hall, 2000, 2^e éd. (1^re éd. 1975), 537 p. (ISBN 978-0-13-181629-9, lire en ligne) — Pensé comme une introduction à la topologie, « au niveau du 2^e cycle universitaire », sans connaissances préalables : « je ne suppose même pas que le lecteur en connaisse beaucoup en théorie des ensembles » (p. xi). Le traitement des réels par Munkres est axiomatique ; il prétend construire à la main : « Cette manière d'approcher le sujet demande pas mal de temps et d'efforts, et cela a une valeur plus logique que mathématique. » (p. 30).

• (en) Rafael Núñez, « Do Real numbers really move? Language, thought, and gesture: the embodied cognitive foundations of mathematics », dans Reuben Hersh, 18 Unconventional Essays on the Nature of Mathematics, Springer, 2006 (ISBN 978-0-387-25717-4, lire en ligne), p. 160-181
• (en) George Pedrick, A First Course in Analysis, Springer, 1994, 279 p. (ISBN 0-387-94108-8, lire en ligne)
• (en) Anthony Peressini et Dominic Peressini, « Philosophy of mathematics and mathematics education », dans Bart van Kerkhove et Jean Paul van Bendegem, Perspectives on Mathematical Practices, Springer, coll. « Logic, Epistemology, and the Unity of Science » (n^o 5), 2007 (ISBN 978-1-4020-5033-6, lire en ligne), p. 175-189
• (en) Marko Petkovšek, « Ambiguous numbers are dense », American Mathematical Monthly, vol. 97, n^o 5,‎ 1990, p. 408-411 (DOI 10.2307/2324393)
• (en) Márcia Pinto et David Tall, Following Students'Development in a Traditional University Analysis Course, PME25, 2001 (lire en ligne), v4: 57-64
• (en) M. H. Protter et Charles B. Morrey, A First Course in Real Analysis, Springer, 1991, 2^e éd. (1^re éd. 1977), 536 p. (ISBN 978-0-387-97437-8, lire en ligne) — Ce livre vise à « présenter une fondation théorique de l'analyse convenable pour les étudiants qui ont terminé un cours standard sur le calcul analytique » (p. vii). À la fin du chapitre 2, les auteurs supposent comme axiome pour les réels que les suites croissantes majorées convergent, démontrant plus tard le théorème des segments emboîtés et la propriété de la borne supérieure (p. 56-64). Les développements décimaux apparaissent dans l'appendice 3, « développements des réels dans une base quelconque » (p. 503-507).

• (en) Charles Chapman Pugh, Real Mathematical Analysis, Springer, 2002, 440 p. (ISBN 978-0-387-95297-0, lire en ligne) — Supposant le lecteur familier avec les rationnels, Pugh introduit les coupures de Dedekind dès que possible, disant du traitement axiomatique : « Ceci est une sorte d'entourloupe, puisque toute l'analyse est fondée sur le système des réels. » (p. 10). Après avoir démontré la propriété de la borne supérieure et quelques faits connexes, les coupures ne sont plus utilisées pour le reste du livre.

• (en) Paul Renteln et Alan Dundes, « Foolproof: a sampling of mathematical folk humor », Notices of the AMS, vol. 52, n^o 1,‎ 2005, p. 24-34 (lire en ligne)
• (en) Fred Richman, « Is 0.999… = 1? », Mathematics Magazine, vol. 72, n^o 5,‎ 1999, p. 396-400 (lire en ligne)
• (en) Abraham Robinson, Non-standard Analysis, Princeton, N.J., Princeton University Press, 1996, 293 p. (ISBN 0-691-04490-2, lire en ligne)
• (en) Maxwell Rosenlicht, Introduction to Analysis, Dover, 1985, 254 p. (ISBN 0-486-65038-3, lire en ligne) — Ce livre donne une introduction « prudente et rigoureuse » à l'analyse réelle. Il donne les axiomes des réels, puis les construit (p. 27-31) comme des développements décimaux infinis, avec 0,999… = 1 comme partie de la définition.

• (en) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, New York/St. Louis/San Francisco etc., McGraw-Hill, 1976, 3^e éd. (1^re éd. 1953), 342 p. (ISBN 0-07-054235-X, lire en ligne) — Manuel pour un cours de second cycle universitaire avancé. « L'expérience m'a convaincu qu'il est pédagogiquement malavisé (bien que correct logiquement) de démarrer la construction des réels à partir des rationnels. Au début, la plupart des étudiants ne voient tout simplement pas pourquoi le faire. Donc on introduit le système des réels comme un corps ordonné satisfaisant la propriété de la borne supérieure, et on en montre rapidement quelques propriétés. Cependant la construction de Dedekind n'est pas omise. Elle est mise en appendice du chapitre 1, où elle peut être étudiée et appréciée quand le temps en est venu. » (p. ix).

• (en) Charles Smith et Charles Harrington, Arithmetic for Schools, Macmillan, 1895 (présentation en ligne)
• (en) Houshang Sohrab, Basic Real Analysis, Birkhäuser, 2003, 559 p. (ISBN 0-8176-4211-0, lire en ligne)
• (en) Ian Stewart et David Tall, The Foundations of Mathematics, Oxford University Press, 1977 (ISBN 0-19-853165-6, lire en ligne)
• (en) Ian Stewart, Professor Stewart's Hoard of Mathematical Treasures, Profile Books, 2009 (ISBN 978-1-84668-292-6)
• (en) Ian Stewart, Calculus : Early Transcendentals, Cengage Learning, 2011, 1344 p. (ISBN 978-0-538-49790-9, lire en ligne) — Ce livre vise à « aider les étudiants à découvrir l'analyse » et à « se concentrer sur la compréhension des concepts » (p. v). Il omet les démonstrations des fondements de l'analyse.

• (en) D. O. Tall et R. L. E. Schwarzenberger, « Conflicts in the learning of real numbers and limits », Mathematics Teaching, vol. 82,‎ 1978, p. 44-49 (lire en ligne)
• (en) David Tall, « Conflicts and Catastrophes in the Learning of Mathematics », Mathematical Education for Teaching, vol. 2, n^o 4,‎ 1976 (lire en ligne)
• (en) David Tall, « Cognitive Development In Advanced Mathematics Using Technology », Mathematics Education Research Journal, vol. 12, n^o 3,‎ 2000, p. 210-230 (lire en ligne)
• (de) Hans von Mangoldt, Einführung in die höhere Mathematik, Leipzig, Verlag von S. Hirzel, 1911, 1^re éd., « Chap. : Reihenzahlen »
• (en) Hans de Vreught, « sci.math FAQ: Why is 0.9999… = 1? »
• (en) A. N. Walker, « Hackenstrings and the 0.999… ?= 1 FAQ », 1999 (version du 20 janvier 2007 sur Internet Archive)
• (en) David Foster Wallace, Everything and More : A Compact History of Infinity, New York, Norton, 2003, 319 p. (ISBN 0-393-00338-8)

• (en) « I would like to know why .9999... = 1 ? », sur mathcentral.uregina.ca
• (en) « Repeating Nines », sur descmath.com
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• (en) Timothy Gowers, « What is so wrong with thinking of real numbers as infinite decimals? », 2004

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• (en) Richard Mankiewicz, The Story of Mathematics, Londres, Cassell, 2000, 192 p. (ISBN 0-304-35473-2) — Mankiewicz cherche à présenter « l'histoire des mathématiques de façon accessible » en combinant les aspects visuels et qualitatifs des mathématiques, les écrits de mathématiciens, et des ébauches historiques (p. 8).

• (en) John Monaghan, « Real mathematic: one aspect of the future of A-level », The Mathematical Gazette, vol. 72, n^o 462,‎ 1988, p. 276-281 (JSTOR 3619940)
• (en) Malgorzata Przenioslo, « Images of the limit of function formed in the course of mathematical studies at the university », Educational Studies in Mathematics, vol. 55, n^o 1,‎ 2004, p. 103-132 (DOI 10.1023/B:EDUC.0000017667.70982.05)
• (en) James T. Sandefur, « Using self-similarity to find length, area, and dimension », American Mathematical Monthly, vol. 103, n^o 2,‎ 1996, p. 107-120 (JSTOR 2975103)
• (en) Anna Sierpińska, « Humanities students and epistemological obstacles related to limits », Educational Studies in Mathematics, vol. 18, n^o 4,‎ 1987, p. 371-396 (DOI 10.1007/BF00240986, JSTOR 3482354)
• (en) Jennifer Earles Szydlik, « Mathematical beliefs and conceptual understanding of the limit of a function », Journal for Research in Mathematics Education, vol. 31, n^o 3,‎ 2000, p. 258-276 (JSTOR 749807)
• (en) David O. Tall, « Dynamic mathematics and the blending of knowledge structures in the calculus », ZDM Mathematics Education, vol. 41, n^o 4,‎ 2009, p. 481-492 (DOI 10.1007/s11858-009-0192-6)
• (en) David O. Tall, « Intuitions of infinity », Mathematics in School,‎ 1981, p. 30-33