Théorème de Midy

Le théorème de Midy ne dépend pas de propriétés particulières du développement décimal, c'est-à-dire qu'il est encore valable dans n'importe quelle base b non divisible par p, à condition bien sûr de remplacer 10^k – 1 par b^k – 1 et 9 par b – 1.

(Accessoirement, on peut en déduire[3] que si p > b et si b n'est pas un résidu quadratique modulo p, le chiffre de rang p + 1/2 du développement de 1/p en base b vaut b – 1.)

Par exemple, en base cinq :

${\displaystyle {\frac {3}{7}}=0{,}{\overline {203241}}_{5}{\text{ et }}203_{5}+241_{5}=444_{5}.}$

La seconde des deux formulations du théorème en base b = 10 données en introduction peut d'ailleurs s'interpréter comme un cas particulier de la première, pour un développement 2-périodique en base B = 10^k. De même, l'exemple ci-dessus, 6-périodique en base b = 5, se réécrit comme 2-périodique en base B = 125 :

${\displaystyle {\frac {3}{7}}=0{,}{\overline {(53)(71)}}_{125}{\text{ et }}53+71=124.}$

Compte tenu de cette remarque, le théorème de Midy en base quelconque s'écrit donc simplement : si p est un nombre premier ne divisant pas B et si le développement de a/p en base B s'écrit 0,a₁a₂a₁a₂…, alors a₁ + a₂ = B – 1.

De même, on peut donner du théorème de Midy étendu[4] - [5] une reformulation simple :

Si p est un nombre premier ne divisant pas B et si le développement a/p = 0,a₁a₂a₃… en base B est de période h > 1, alors a₁ + a₂ + … + a_h est un multiple de B – 1 :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{h}a_{i}=s(B-1){\text{ avec }}0<s<h.}$

L'encadrement de l'entier s vient du fait que les h chiffres, tous compris entre 0 et B – 1, ne peuvent pas être tous nuls ni tous égaux à B – 1, puisque h > 1.

Le théorème de Midy original est le cas h = 2 : dans ce cas, 0 < s < 2 donc s = 1.

Lorsque h > 2, s peut être supérieur à 1 ; pour h = 3, on a cependant encore s = 1 si a est égal à 1, 2 ou 3, sauf, dans certaines bases, si a = 3 et p = 7[5].

Par exemple, en reprenant 3/7, on a également :

• en bases cent et dix[5] :
  ${\displaystyle 42+85+71=198=2\times 99{\text{ et }}4+2+8+5+7+1=27=3\times 9~;}$
• en bases vingt-cinq et cinq (puisque 0,203241₅ = 0,(10)(17)(21)₂₅) :
  ${\displaystyle 10+17+21=2\times 24{\text{ et }}2+0+3+2+4+1=3\times 4.}$

Dans l'énoncé ci-dessus du théorème de Midy (même non étendu), la primalité de p est cruciale. Par exemple[5] (en base mille) :

${\displaystyle {\frac {1}{21}}=0,{\overline {(047)(619)}}_{1000}\quad {\text{mais}}\quad 047+619\neq 999.}$

En effet, lorsqu'on ne suppose plus que p est un nombre premier ne divisant ni a ni B, mais seulement que p est un entier premier avec a et B, si la période — c'est-à-dire l'ordre multiplicatif de B mod p — est égale à 2, on n'a plus nécessairement B ≡ –1 mod p. Or c'est sous cette forme que le critère apparaît naturellement, dans une démonstration qui n'utilise même pas la 2-périodicité (elle s'en déduit)[6] - [7] :

Soit a/p ∈ ]0, 1[ une fraction irréductible, de développement 0,a₁a₂a₃… en base B. Les chiffres a_i vérifient a_i + a_i+1 = B – 1 si et seulement si B ≡ –1 mod p.

On peut cependant remarquer — toujours en supposant que l'ordre multiplicatif de B mod p est 2, c'est-à-dire que p divise B² – 1 mais ne divise pas B – 1 — que si B – 1 est premier avec p (en particulier si p est une puissance d'un nombre premier impair), la condition B ≡ –1 mod p est encore automatiquement vérifiée[5].

Soient p un nombre premier ne divisant pas la base B, et a/p une fraction strictement comprise entre 0 et 1 et dont le développement 0,a₁a₂… en base B est de période h > 1. On peut alors démontrer que h est l'ordre multiplicatif de B modulo p (c'est-à-dire le plus petit entier n tel que p divise Bⁿ − 1), en particulier p ne divise pas B − 1 (puisque h > 1) et N := B^h – 1/p est un entier.

Notons m l'entier B^h − 1/B − 1. Alors, pN = B^h − 1 = m(B − 1) et p ne divise pas B − 1 donc il divise m, si bien que la fraction

${\displaystyle {\frac {N}{B-1}}={\frac {m}{p}}}$

est un entier. A fortiori :

${\displaystyle aN\equiv 0{\pmod {B-1}}.}$

Or l'entier aN est égal à a/pB^h – a/p, donc s'écrit a₁a₂…a_h en base B. Par conséquent, modulo B − 1, on a bien :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{h}a_{i}=\sum _{i=1}^{h}a_{i}1^{h-i}\equiv \sum _{i=1}^{h}a_{i}B^{h-i}=aN\equiv 0.}$