Histoire du calcul infinitésimal

La méthode d'exhaustion est connue d'Archimède ; à la suite de la découverte d'un palimpseste contenant le traité appelé La Méthode, on sait qu'il possédait également une forme rudimentaire d'intégration, reposant sur une variante du principe de Cavalieri.

Bien que sa conception du calcul infinitésimal soit naïve, les idées de Thābit ibn Qurra ont été la clé du développement du calcul différentiel et intégral à la Renaissance européenne.

Des notions sont élaborées en Inde, développées par l'école du Kerala.

En Europe, au XVII^e siècle, deux problèmes passionnent les mathématiciens : celui de la tangente et celui des quadratures. Le premier consiste à retrouver, à partir d’une courbe quelconque, les différentes tangentes à la courbe. Le second réside dans le calcul de l'aire engendrée par une courbe. Plusieurs méthodes furent mises au point : la méthode des indivisibles, la méthode de la normale de Descartes, la méthode d'adégalisation de Fermat. C'est cette dernière méthode qui fut systématisée par le langage du calcul infinitésimal.

Statue de Bonaventura Cavalieri à Milan, sa ville natale

En Italie, dès 1620, Cavalieri développe la méthode des indivisibles[1], poursuivie par Torricelli (1643), puis l'école de Padoue.

À la mort de Cavalieri en 1647, Pietro Mengoli prend sa succession pour 39 ans. Avec Stefano degli Angeli, il développe l'essentiel du calcul pour les séries (en particulier celle de ${\displaystyle \ln(1+x)}$). Toute l'Europe accourt. En particulier, Gregory, élève de 1664 à 1668, ramènera en Angleterre la formule de Gregory-Leibniz.

Pascal de son côté, mène une réflexion approfondie, d'un point de vue philosophique, sur le concept d'infini ; son ouvrage, le Traité de la roulette, paraît en 1659. Wallis produit l' Arithmetica Infinitorum (Oxford, 1655) et popularise le symbole ${\displaystyle \infty }$, ainsi que l'infinitésimal ${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}}$. Barrow enseigne Newton à Cambridge en 1661. En 1634, Roberval donne la quadrature de la cycloïde, et la tangente.

Pierre de Fermat

En 1636, Fermat livre une méthode générale de détermination des tangentes[2], utilisant à cette fin la méthode d'adégalisation (mot emprunté à Diophante).

Celle-ci consiste à considérer l'équation ${\displaystyle f(a+e)=f(a)}$, à ôter ${\displaystyle f(a)}$ aux deux membres, à simplifier par e l'équation obtenue, puis à poser e = 0 dans l'équation simplifiée[3].

C'est-à-dire, en langage moderne, l'opération

${\displaystyle \lim _{e\to 0}\,{\frac {f(a+e)-f(a)}{e}}}$,

opérant ainsi passage à la limite et dérivation, termes inventés postérieurement.

Fermat affirma « il est impossible de donner une méthode plus générale » et « cette méthode ne trompe jamais, et peut s’étendre à nombre de questions très belles ». Il donne plusieurs exemples d'applications (parabole, cycloïde, etc.).

Une importante controverse eut lieu avec Descartes qui avait lui-même publié ses propres méthodes de détermination des tangentes.

Le raisonnement de Fermat n’étant pas encore bien compris au milieu du XVII^e siècle, Huygens présenta à l’Académie des sciences, en 1667, une communication dans laquelle il expliquait la méthode du savant toulousain ; il y mentionnait que e est une « quantité infiniment petite », en utilisant pour la première fois, d’ailleurs, l'expression « infiniment petit »[4].

Leibniz rencontra Huygens à Paris en 1672 et Huygens fréquenta la Royal Society à partir de 1663.

Isaac Newton (Godfrey Kneller, National Portrait Gallery, Londres, 1702)

Newton est considéré comme l’un des fondateurs du calcul infinitésimal. S’inspirant de Descartes et Wallis dont il avait lu les écrits, il se pose en effet le problème des tangentes qu’il relie rapidement à celui de la quadrature. Cependant, il écrit assez peu sur ce sujet (seulement trois écrits) et publie très tard par peur des critiques.

Dès 1669[5], Newton, s’inspirant de Wallis et Barrow, relie le problème de la quadrature à celui des tangentes : la dérivée est la procédure inverse de l'intégration. Il s’intéresse aux variations infinitésimales des quantités mathématiques et l’aire engendrée par ces mouvements. Sa méthode la plus célèbre reste celle des fluxions. Très influencé par son travail de physicien, il considère les quantités mathématiques comme engendrées « par une augmentation continuelle » et les compare à l’espace engendré par les « corps en mouvement ». Dans le même esprit, il introduit le temps en tant que variable universelle et définit les fluxions et les fluentes. Les fluentes (x, y, z…) sont des quantités « augmentées graduellement et indéfiniment », et les fluxions (${\displaystyle {\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}}}$) « les vitesses dont les fluentes sont augmentées ». Il se pose le problème « Étant donné les relations entre les quantités fluentes, retrouver la relation entre leurs fluxions. ».

Voici par exemple la solution qu’il donne pour ${\displaystyle y=x^{n}}$ :

Soit ${\displaystyle \tau }$, un intervalle de temps infiniment petit. ${\displaystyle {\dot {x}}\cdot \tau }$ et ${\displaystyle {\dot {y}}\cdot \tau }$ seront les accroissements infiniment petits de x et y.

${\displaystyle y=x^{n}\,}$

En remplaçant x et y par ${\displaystyle x+{\dot {x}}\cdot \tau }$ et ${\displaystyle y+{\dot {y}}\cdot \tau }$

${\displaystyle y+{\dot {y}}\cdot \tau =(x+{\dot {x}}\cdot \tau )^{n}}$

Puis en développant par la formule du binôme qu’il a démontrée :

${\displaystyle y+{\dot {y}}\cdot \tau =x^{n}+n\tau \cdot x^{n-1}{\dot {x}}+{\frac {n(n-1)}{2}}\tau ^{2}\cdot {\dot {x}}^{2}x^{n-2}+\ldots }$

Ensuite, il retranche ${\displaystyle y=x^{n}\,}$ et divise par ${\displaystyle \tau ~}$.

${\displaystyle {\dot {y}}=nx^{n-1}{\dot {x}}+{\frac {n(n-1)}{2}}\tau \cdot {\dot {x}}^{2}x^{n-2}+\ldots }$

Enfin, il néglige tous les termes contenant ${\displaystyle \tau ~}$, et obtient :

${\displaystyle {\dot {y}}=nx^{n-1}{\dot {x}}}$, qui rappelle la formule ${\displaystyle d(x^{n})=nx^{n-1}dx\,}$

L’intuition est correcte, mais manque de conviction. Newton voudrait se débarrasser des quantités infinitésimales qu’il n’arrive pas à baser sur des principes rigoureux. Dans sa méthode « des premières et dernières raisons », il se contentera des rapports entre fluxions, ce qui lui permettra d’éviter de « négliger » des termes, laissant le terme ${\displaystyle \tau }$ « s’évanouir » dans le rapport. Il se rapproche alors de notre notion actuelle de limite, comparant cela à l’idée de « vitesse instantanée » d’un corps. Non pas celle qu’il a avant d’arriver, ni celle qu’il a après, mais celle qu’il a au moment où il arrive. Dans Principia, il exprime ainsi sa pensée : « Les rapports ultimes dans lesquels les quantités disparaissent ne sont pas réellement des rapports de quantités ultimes, mais les limites vers lesquels les rapports de quantités, décroissant sans limite, s’en approchent toujours : et vers lesquels ils peuvent s’en approcher aussi près que l’on veut. » Il est surprenant de voir à quel point cette conception se rapproche de la définition même de la limite moderne : f(x) tend vers f(a) si étant donné ε positif quelconque, il existe α tel que :${\displaystyle \quad |{x-a}|<\alpha \Rightarrow \quad |{f(x)-f(a)}|<\varepsilon }$. Cependant, Newton ne généralise pas cette définition et sa notion de limite reste réservée aux rapports de fluxions, à ce qui se rapproche du calcul moderne de dérivées. Et même ainsi, il se trouve dans l’incapacité de fonder son calcul différentiel sur des bases rigoureuses. La notion de valeur infinitésimale est encore trop nouvelle et se trouve vivement critiquée, n’étant pour certains qu’un « fantôme de quantités disparues ».

Gottfried Wilhelm Leibniz

Leibniz est considéré comme le deuxième créateur du calcul ; il va en améliorer la notation et l'exposé. Leibniz est au départ un philosophe et ne découvre les mathématiques qu’en 1672, lorsqu’il rencontre Christian Huygens lors d’un voyage à Paris. Il s’inspire alors des œuvres de Descartes, de Pascal, de Wallis et d’autres. Très vite, il fait le lien entre le problème des tangentes et celui de la quadrature en remarquant que le problème de la tangente dépend du rapport des « différences » des ordonnées et des abscisses et celui de la quadrature, de la « somme » des ordonnées. Lors de son travail sur les combinatoires, il observe en effet ceci :

1, 4, 9, 16 étant la suite des carrés

1, 3, 5, 7 la suite des différences des carrés :

1+3+5+7=16

Son travail en philosophie le pousse à considérer les différences infiniment petites et il tire bientôt la conclusion : ∫dy = y, ∫ étant une somme de valeurs infiniment petites et dy une différence infinitésimale.

En effet, Leibniz émet à la même époque l’hypothèse philosophique de l’existence de composants infiniment petits de l’univers. Tout ce que nous percevons n’étant que la somme de ces éléments. Le rapport avec ces recherches mathématiques est direct. Il explique parfois aussi ces éléments infinitésimaux en faisant une analogie avec la géométrie : le dx est au x, ce que le point est à la droite. Ce qui le pousse dans l’hypothèse de l’impossibilité de comparer des valeurs différentielles à de « vraies » valeurs. Tout comme Newton, il privilégiera les comparaisons entre rapports.

La notation claire et pratique qu’il met en place permet des calculs rapides et simples. S’intéressant au rapport ${\displaystyle dy/dx}$, il l’identifie au coefficient directeur de la tangente, se justifiant par l’étude du triangle formé par une portion infiniment petite de la tangente et deux portions infiniment petites des parallèles aux axes de l'abscisse et de l'ordonnée. Ainsi, il exprime par exemple le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de ${\displaystyle y=x^{2}}$ :

${\displaystyle \mathrm {d} y=(x+\mathrm {d} x)^{2}-x^{2}=2x\mathrm {d} x+(\mathrm {d} x)^{2}\,}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=2x+\mathrm {d} x}$

Et enfin, en négligeant dx :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=2x}$.

Il résout aussi les problèmes ${\displaystyle d(x+y)}$, ${\displaystyle d(x\cdot y)}$, ${\displaystyle d(x/y)}$ et ${\displaystyle d(x^{n})}$ dans l’optique de créer une véritable algèbre des infiniment petits. Mais il subit de nombreuses critiques, semblables à celle que l’on fit à Newton et que Descartes fit à Fermat : pour quelle raison négliger les infinitésimaux dans le résultat final ? Et s’ils sont égaux à 0, comment peut-on calculer leur rapport ? Lui-même a du mal à baser sa théorie sur des concepts solides et a tendance à considérer les valeurs infinitésimales comme des outils, au même titre que les nombres imaginaires, qui « n’existeraient » pas vraiment. Mais même ainsi, ses détracteurs restent nombreux.

Dans les Acta Eruditorum, Leibniz pourra efficacement promouvoir son calcul (1684). Les Bernoulli puis Euler sauront faire bon usage de sa notation, prouvant l'efficacité opérationnelle du langage différentiel.

En France, avec Huygens, Rolle et Varignon, l'analyse gagne prudemment ses galons, mais ne se développera fortement que lorsque le cercle autour de Malebranche entrera à l'Académie des sciences (1699).

Qui de Newton et Leibniz a l'antériorité ? La question n'a pas de sens posée ainsi : la recherche est œuvre collective. L'invention du calcul infinitésimal intègre différentes innovations d'auteurs variés. On peut ainsi distinguer :

• la division d'une forme en intervalles réguliers (méthode des indivisibles de Cavalieri) ;
• l'invention de l'opération de passage à la limite, qui trouve son origine dans la méthode d'adégalisation de Fermat ;
• l'invention du langage pour systématiser l'opération logique sans erreur :
  • le calcul des fluxions de Newton, sans postérité, mais utilisé en Angleterre jusqu'au XIX^e siècle ;
  • le calcul différentiel de Leibniz, lié à ses recherches en langage (voir Caractéristique universelle), toujours utilisé.