École du Kerala

La contribution de l'école du Kerala inclut la série géométrique :

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\dots }$ (pour ${\displaystyle |x|<1}$)[9]. Cependant, cette formule apparaissait déjà dans les travaux du mathématicien perse Alhazen (forme latinisée de Ibn al-Haytham) (965-1039)[10].

L'école du Kerala utilisait une forme « intuitive » du raisonnement par récurrence[3]. Cela leur permit d'obtenir une preuve (plus ou moins rigoureuse) de ce que :

${\displaystyle 1^{p}+2^{p}+\cdots +n^{p}\approx {\frac {n^{p+1}}{p+1}}}$ pour n grand (mais ce résultat était également connu de Alhazen)[3].

Partant d'idées géométriques, ils obtinrent les développements en séries entières de sin x, cos x et arctan x[7] - [11]. Le Tantrasangraha-vakhya donne ces séries sous forme versifiée ; traduites en notation mathématique, elles deviennent[3] :

${\displaystyle r\arctan {\frac {y}{x}}={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {ry}{x}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {ry^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {ry^{5}}{x^{5}}}-\cdots }$, où ${\displaystyle y/x\leq 1}$ ;

${\displaystyle r\sin {\frac {x}{r}}=x-x\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\cdots }$ ;

${\displaystyle r\left(1-\cos {\frac {x}{r}}\right)=r\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+\cdots }$ ; pour r = 1, on retrouve les séries usuelles, par exemple :

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$ et

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$ (mais l'école du Kerala n'utilise pas la fonction factorielle).

Leur démonstration de ces résultats passe par la rectification d'un arc de cercle (le calcul de sa longueur) ; ils ne découvrirent pas les méthodes de Leibniz et Newton (le calcul différentiel et intégral) utilisant des calculs d'aires[3]. Le développement en série de ${\displaystyle \arctan x}$ les amena à la formule pour ${\displaystyle \pi }$ (connue par la suite sous le nom de formule de Gregory-Leibniz)[3] :

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\dots }$.

Leurs approximations rationnelles des « erreurs » commises en tronquant les séries sont particulièrement remarquables. Ainsi, l'erreur ${\displaystyle f_{i}(n+1)}$ (pour n impair, et i = 1, 2, 3) pour la série précédente est donnée par :

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots (-1)^{(n-1)/2}{\frac {1}{n}}+(-1)^{(n+1)/2}f_{i}(n+1)}$

avec ${\displaystyle f_{1}(n)={\frac {1}{2n}},\ f_{2}(n)={\frac {n/2}{n^{2}+1}},\ f_{3}(n)={\frac {(n/2)^{2}+1}{(n^{2}+5)n/2}}}$, chaque ${\displaystyle f_{i}}$ étant plus précis que le précédent.

Manipulant les termes de la série à l'aide de la décomposition en éléments simples de ${\displaystyle {\frac {1}{n^{3}-n}}}$, ils obtinrent la série suivante, convergeant beaucoup plus rapidement[3] :

${\displaystyle {\frac {\pi -3}{4}}={\frac {1}{3^{3}-3}}-{\frac {1}{5^{3}-5}}+{\frac {1}{7^{3}-7}}-\cdots ={\frac {1}{2.3.4}}-{\frac {1}{4.5.6}}+{\frac {1}{6.7.8}}+\cdots }$,

ce qui leur permit d'obtenir l'approximation ${\displaystyle \pi \simeq {\frac {104348}{33215}}\simeq 3{,}141592653}$, correcte à ${\displaystyle 10^{-9}}$ près[3] - [12] ; ils utilisèrent une notion intuitive de limite pour justifier ces résultats[3].

Les mathématiciens de l'école du Kerala découvrirent une forme de dérivation pour certaines fonctions trigonométriques : ils établirent les approximations suivantes (en notations modernes), confondant pour des petits arcs la longueur de l'arc et la valeur du sinus[13] :${\displaystyle \sin(\theta +\mathrm {d} \theta )-\sin(\theta -\mathrm {d} \theta )=2\mathrm {d} \theta \cos(\theta )\qquad \cos(\theta +\mathrm {d} \theta )-\cos(\theta -\mathrm {d} \theta )=-2\mathrm {d} \theta \sin(\theta )}$Ils ne définirent cependant pas la notion de fonction ou de dérivée en général, mais se servirent abondamment de ces approximations linéaires et furent capables de calculer l'approximation linéaire d'un quotient faisant intervenir de telles fonctions[14]. On trouve même chez Nilakantha une approximation affine de la fonction arcsin[15].

La mise en place du développement en série de sinus, cosinus et arctan est considérée par de nombreux historiens comme la contribution la plus originale de l'école du Kerala[16] - [15]， mais ces mathématiciens ont également produit de nombreux autres travaux. On leur doit des commentaires des œuvres d'Aryabhata, Bhāskara I et Bhāskara II[16] avec des contributions originales concernant les preuves. Ainsi Nilakantha Somayaji fait une utilisation ingénieuse du volume d'un solide pour démontrer les formules de la somme des carrés et la somme des cubes d'entiers naturels dans son commentaire de l'Āryabhaṭīya[17].

De nombreux résultats ou techniques algébriques sont présentés avec des preuves géométriques[14]. Au XVI^e siècle, Citrabhanu (en) résout (par des méthodes algébriques et géométriques) 21 types de systèmes de deux équations à deux inconnues, correspondant à tous les couples possibles d'équations de l'une des 7 formes suivantes[18] :

${\displaystyle x+y=a,x-y=b,xy=c,x^{2}+y^{2}=d,x^{2}-y^{2}=e,x^{3}+y^{3}=f,x^{3}-y^{3}=g}$.

En géométrie, la formule de Brahmagupta, donnant l'aire d'un quadrilatère inscriptible en fonction de ses côtés ou de ses diagonales est reprise et développée par l'école du Kerala[19]. La formule donnant le rayon du cercle circonscrit à un quadrilatère inscriptible - parfois attribuée en Occident à Simon L’Huilier[20] - est présentée par le mathématicien Paramesvara (env.1370-1460)[21].

Dès le XV^e siècle, les astronomes de l'école du Kerala sont conscients de la nécessité de réviser les constantes du mouvement des planètes par des observations plus poussées[22]. Ils remettent en question la validité des modèles du mouvement des planètes, et travaillent sur les prévisions des éclipses.

Madhava élabore une procédure permettant de déterminer la longitude vraie de la Lune toutes les 36 minutes[1].

Nilakantha émet l'idée que les planètes n'ont pas de lumière propre mais sont éclairées par le soleil[1]. Il améliore l'équation du centre des planètes intérieures[22]. Il présente un modèle planétaire dans lequel les cinq planètes Mercure, Venus, Mars, Jupiter et Saturne, tournent autour du Soleil qui, lui, tourne autour de la Terre[23].

Acyuta Pisarati (en) développe la technique de «réduction à l'écliptique» - une correction du mouvement des planètes destinée à tenir compte du fait que leur trajectoire dévie légèrement du plan de l'écliptique - à la même époque que Tycho Brahe[24].

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