Evangelista Torricelli

Ce problème correspond à une considération très pratique : depuis longtemps l'approvisionnement en eau des villes a convaincu les fontainiers que les siphons dysfonctionnent à 18 brasses (soit 10,3 m). Le plâtre permettait d'élever la hauteur de la colonne d'eau, mais sans qu'on sache pourquoi.

Galilée, en 1590, est opposé à l'idée du vide grosso, mais sous l'influence de Jean-Baptiste Baliani concéda le vide entre molécules dans l'eau, enfin se résolut au vide grosso vers 1635.

Baliani en 1630 a la vision juste : La Nature n'a pas horreur du vide, seule la pression de l'air équilibre la pression de la colonne d'eau :

${\displaystyle P=\rho gh}$

où P est la pression, ${\displaystyle \rho }$ est la masse volumique du liquide en kg/m³, g l'attraction de la pesanteur en m/s² et h hauteur en mètres (m) en notation moderne. Et la pression de l'air est à évaluer par le « poids de l'air » à ses différents degrés de ténuité. En 1630, Galilée émet l'hypothèse que la cohésion de la corde d'eau est assurée par la résistance du vide intramoléculaire : trop haute, la corde casse sous son propre poids. Argumentation fausse reprise dans le Discorso. (On sait actuellement que la « pression interne de l'eau » est supérieure à 1 000 bars.)

Mersenne et Isaac Beeckman en discutent en 1628. Mersenne écrit à Galilée vers 1640 pour lui demander l'explication de la résistance à l'écartement de 2 lames de verre superposées.

À Rome, Benedetto Castelli et Raffaello Magiotti décident d'étudier le problème des fontainiers ; Antonio Nardi (en), Gasparo Berti et Michelangelo Ricci aussi, avec le minime Emmanuel Maignan (partisan du vide grosso) et les Jésuites Niccolò Zucchi et Kircher (opposés au vide grosso, pour des raisons théologiques) : Berti réussit et le montre aux Romains (avant fin 1641) : l'eau ne monte qu'à 10,3 m.

Adoptant l'idée de Baliani, Torricelli propose le mercure de densité 13,6, qui devrait donc donner une hauteur de 10,3/13,6 = 0,76 m. Vincenzo Viviani réalise une expérience dans le courant du printemps 1644 :

• réaliser la cuve et la remplir de vif-argent (mercure) ;
• prendre un ballon à long col (d'environ 1 m) ;
• le remplir à ras-bord ;
• boucher avec le pouce et retourner sur la cuve ;
• enlever le pouce.

Le vif-argent s'écoule jusqu'à une hauteur de 76 cm, quel que soit le type de ballon ou son inclinaison. Par ailleurs, si de l'eau est versée sur le mercure, et qu'on retire le tube jusqu'à l'eau, celle-ci est « aspirée avec horrible violence. »

Le 11 juin 1644, Torricelli fait l'analyse critique de cette expérience avec Ricci : la nature n'a aucune horreur du vide. Le vide n'aspire pas : on peut à volonté faire coulisser le tube et réduire la chambre barométrique. Il n'y a aucun effet « sauf si on chauffe ». Il est donc, semble-t-il, impossible de réaliser un baromètre. Mais à cette époque, le verre n'était sans doute pas dégazé, et il devait s'établir une légère pression d'air dans la chambre. Peut-être aussi y restait-il de la vapeur d'eau des expériences antérieures.

Mersenne tente vainement l’expérience (il faut avoir un tube de verre qui ne casse pas). Et ce sont les expériences de 1646-1648 de Pierre Petit, Florin Périer et Pascal qui résolvent le problème avec la montée au Puy-de-Dôme, que Mersenne ne voit pas car il meurt en 1648.

S’inspirant des travaux de Torricelli, Otto von Guericke, savant et bourgmestre de Magdebourg, s’employa à démontrer empiriquement la force de la pression atmosphérique en réalisant en mai 1654 dans sa ville une expérience spectaculaire devant l’empereur d’Allemagne. Après avoir ajusté hermétiquement deux hémisphères dans lesquels il avait fait le vide grâce à la pompe qu’il venait d’inventer, von Guericke répartit quinze chevaux en deux attelages qui tirèrent sur chaque hémisphère sans qu’il leur soit possible de les désolidariser.

Cavalieri est sans doute le premier à démontrer, à l'aide des indivisibles, que l’« aire sous la courbe » d'équation ${\displaystyle y=x^{n-1}}$ entre les points d'abscisses ${\displaystyle x_{1}}$ et ${\displaystyle x_{2}}$ est

${\displaystyle {\frac {y_{2}x_{2}-y_{1}x_{1}}{n}}}$ pour n entier supérieur à 1.

Fermat généralise cette relation pour n rationnel positif supérieur à 1 et n entier inférieur strictement à -1 en utilisant des séries.

Torricelli va généraliser le travail des indivisibles de Cavalieri à ce que la thermodynamique actuelle appelle un processus polytropique :

Soit ${\displaystyle PV^{n}}$=cste, ${\displaystyle \int _{V_{1}}^{V_{2}}P\mathrm {d} V={\frac {P_{1}V_{1}-P_{2}V_{2}}{n-1}}}$

C'est le cas dit « hyperbolique » (avec n différent de 1 ; le cas n = 1 ne pourra s'obtenir qu'en utilisant les logarithmes)

Appelons ${\displaystyle A_{1}}$ et ${\displaystyle A_{2}}$ les deux points sur la courbe polytropique, ${\displaystyle B_{1}}$ et ${\displaystyle B_{2}}$ leur abscisse, ${\displaystyle C_{1}}$ et ${\displaystyle C_{2}}$ leur ordonnée. Le tour de force de Torricelli est de comparer les aires des trapèzes curvilignes ${\displaystyle S_{1}=aire(A_{1}B_{1}B_{2}A_{2})}$ et ${\displaystyle S_{2}=aire(A_{1}C_{1}C_{2}A_{2})}$. Il démontre que ${\displaystyle S_{2}=nS_{1}}$. La différence des deux aires, calculée de deux manières différentes, permet alors de calculer l'aire recherchée :

${\displaystyle S_{1}-S_{2}=-(n-1)S_{1}}$

${\displaystyle S_{1}-S_{2}=aire(OB_{2}A_{2}C_{2})-aire(OA_{1}C_{1})=P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}$

d'où :

${\displaystyle S_{1}={\frac {P_{1}V_{1}-P_{2}V_{2}}{n-1}}}$

Pour démontrer l'égalité : ${\displaystyle S_{2}=nS_{1}}$, Torricelli compare les aires des gnomons ${\displaystyle y\;\mathrm {d} x}$ et ${\displaystyle x\;\mathrm {d} y}$.

De nos jours, le calcul se fait aisément en différentiant ${\displaystyle PV^{n}}$

${\displaystyle V^{n}\;\mathrm {d} P+n\,P\,V^{n-1}\,\mathrm {d} V=0}$ d'où ${\displaystyle V\,\mathrm {d} P=-n\,P\,\mathrm {d} V}$

Ce que vient de découvrir Torricelli, c'est que, dans cette figure infinitésimale, les aires des gnomons ${\displaystyle y\;\mathrm {d} x}$ et ${\displaystyle x\;\mathrm {d} y}$ sont à considérer et ce sont ces aires que l'on somme : il faut donc considérer les épaisseurs des « lignes de Cavalieri ».

Pour les volumes de révolution, la méthode de Cavalieri consistait à découper le solide en tranches par des plans parallèles au plan de base. Torricelli comprend que ces tranches ont un volume, et qu'il faut donc sommer les volumes infinitésimaux.

Il redémontre, grâce aux indivisibles, la relation d'Archimède, inscrite sur sa tombe, concernant le volume du bol (S) hémisphérique, celui du cylindre droit (D) de même rayon r et de hauteur r et celui du cône de révolution de rayon r et de hauteur r :

${\displaystyle {\frac {V(D)}{3}}={\frac {V(S)}{2}}={\frac {V(C)}{1}}}$

Il est également l'inventeur de la « trompette de Gabriel », une figure géométrique qui présente la particularité de posséder une surface infinie mais un volume fini. C'est le résultat de la rotation d'une partie de l'hyperbole équilatère y=1/x, pour x>1, autour de l'axe (Ox).

Il démontre aussi la formule du volume du tonneau ou formule des trois niveaux dans une lettre adressée à Roberval en 1643 :

Soit un solide de révolution de méridienne une conique. Coupons-le en 2 niveaux ${\displaystyle z_{1}}$ et ${\displaystyle z_{2}}$. Soit ${\displaystyle z_{2}-z_{1}=h}$. Soit ${\displaystyle S_{1}}$ l'aire du disque de cote ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle S_{2}}$ celle du disque de cote ${\displaystyle z_{2}}$, ${\displaystyle S_{m}}$ l'aire du disque de cote moyenne ${\displaystyle z_{1}+z_{2} \over 2}$ alors

${\displaystyle V_{tonneau}=h{\frac {S_{1}+S_{2}+4S_{m}}{6}}}$

Il en déduit le volume du rond de serviette :

Soit une sphère de rayon R. Ôter par perçage le cylindre, centré, vertical, de base circulaire, ce qui ne laisse qu'un volume annulaire, appelé vulgairement « rond de serviette », de hauteur 2h.

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi h^{3}}$

Ce volume se calcule en ôtant au volume du tonneau de hauteur 2h le cylindre de rayon ${\displaystyle {\sqrt {R^{2}-h^{2}}}}$. On peut remarquer que ce résultat est indépendant du rayon R de la sphère de départ et ne dépend que de la hauteur h du rond de serviette (pour R > h)

Torricelli s'intéresse aussi au barycentre des solides. Ainsi, dans la même lettre adressée à Roberval, il précise la position du centre de gravité du tonneau :

Soit un solide de révolution de méridienne une conique. Coupons-le en deux niveaux ${\displaystyle z_{1}}$ et ${\displaystyle z_{2}}$ et notons ${\displaystyle h=z_{2}-z_{1}}$. Soit ${\displaystyle S_{1}}$ l'aire du disque de cote ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle S_{2}}$ celle du disque de cote ${\displaystyle z_{2}}$, ${\displaystyle S_{m}}$ l'aire du disque de cote moyenne ${\displaystyle z_{1}+z_{2} \over 2}$ alors le centre de gravité G a pour cote ${\displaystyle z_{G}}$ telle que :

${\displaystyle z_{2}-z_{G}=h{\frac {S_{1}+2S_{m}}{S_{1}+S_{2}+4S_{m}}}}$

Enfin, généralisant une coupe de pierre en biseau que lui avait proposée Cavalieri, il publie le 7 avril 1646, la formule pour le centre de gravité (réécrite en notation moderne) :

Soit x = f(z) l'équation de la méridienne d'une surface de révolution, limitée par les plans z = a et z = b. Alors le barycentre de la surface méridienne a pour cote ${\displaystyle z_{G}}$ vérifiant

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(z)\mathrm {d} z\times z_{G}=\int _{a}^{b}zf(z)\mathrm {d} z}$

Et le barycentre G' du volume a pour cote ${\displaystyle z_{G'}}$ vérifiant

${\displaystyle \int _{a}^{b}f^{2}(z)\mathrm {d} z\times z_{G'}=\int _{a}^{b}zf^{2}(z)\mathrm {d} z}$

Torricelli avait-il connu les théorèmes de Guldin de 1643 ? En tout cas, leurs recherches se complétaient.

Admirateur de Galilée, élève doué de Cavalieri, Torricelli poursuit des idées qui existaient déjà chez Roberval. Jean Itard, historien du Centre Koyré à Paris, a minutieusement mené l'enquête au sujet de la quadrature de la cycloïde : Galilée aurait répondu qu'il avait vainement cherché, y compris en découpant un patron en carton et en le pesant. La compétition Roberval-Torricelli est plus serrée. La priorité va à Roberval, sans méconnaître les mérites de Torricelli (voir cycloïde).

En revanche, il est vraiment l'inventeur du diagramme horaire et du diagramme des espaces : il dit très clairement en toute généralité, puis sur des exemples simples, que si la vitesse du mobile est v(t), son abscisse sera ${\displaystyle \int _{0}^{t}v(t)\mathrm {d} t}$, dans nos notations modernes qui datent de Leibniz (Lettre à Oldenburg du 29 oct 1675).

Et réciproquement, Torricelli parle du « théorème d'inversion »: si on possède x(t), la « tangente » donnera la vitesse :

${\displaystyle v(t)={\frac {x(t)}{TT_{1}}}}$,

où ${\displaystyle TT_{1}}$ est la sous-tangente, T est le point de l'axe des abscisses d'abscisse t, ${\displaystyle T_{1}}$ est le point d'intersection de la tangente à la courbe au point d'abscisse t avec l'axe des abscisses.

Il en est donc au même niveau que Barrow en Angleterre. En tout cas, James Gregory, élève à Bologne, avec les continuateurs de l'œuvre de Cavalieri, sut en profiter.

Diagramme des espaces : la formule ${\displaystyle {\frac {1}{v(x)}}={\frac {1}{\sqrt {2gx}}}}$ ne lui fait plus peur, alors que Galilée hésitait, ne voulant pas utiliser les travaux de Cavalieri.

C'est Torricelli qui invente la notion d'enveloppe, et trouve la solution complète de la chute libre « avec violence », et la description complète de la parabole de sûreté, via une méthode peu connue.

Il ne compléta pas son travail : sans introduction de la résistance de l'air, la notion d'asymptote (voir Balistique extérieure) n'existe pas ; et son travail est la risée des artilleurs (les bombardieri).

Par ailleurs, par sa méthode des indivisibles courbes, il va pouvoir traiter les problèmes de courbes en coordonnées polaires, à une époque où Descartes venait tout juste de parler de coordonnées cartésiennes : il sait intégrer l'aire et la longueur des spirales r = ${\displaystyle \theta ^{k}}$ ; mais surtout, il va découvrir la cochlée (cf. spirale logarithmique) et ses propriétés extraordinaires (Opere, III, p. 368, p. 477, Lettres à Ricci de 1646 et à Cavalieri(1598-1647)):

Soit une spirale logarithmique, l'arc issu de M s'enroule une infinité de fois autour de O mais sa mesure est finie : tracer la tangente en M. Y placer le point C de manière que le triangle OCM soit isocèle.

L'arc mesure OC+ CM.

L'aire balayée par OM est égale à l'aire du triangle OCM.

Bernoulli n'aurait pas dit mieux.

• Nardi (A.), Théorème de Torricelli ou théorème de Mersenne, in : Études philosophiques 1-2 (Paris 1994), p. 87-118.
• Souffrin (Pierre), Galilée, Torricelli et la loi fondamentale de la dynamique scolastique : la proportionnalite velocitas-momentum revisitee, in : Sciences et techniques en perspectives 25 (1993. ISSN 0294-0264), p. 122-134.
• De Gandt (François), éd., L'Œuvre de Torricelli. Science galiléenne et nouvelle géométrie . Nice, Publication de la Faculté des Lettres et sciences humaines / Paris, les Belles lettres, 1987. (ISBN 2-251-62032-X).
• De Gandt (François), Naissance et métamorphose d'une théorie mathématique : la géométrie des indivisibles en Italie (Galilée, Cavalieri, Torricelli), in : Sciences et techniques en perspectives 9 (1984-1985. (ISSN 0294-0264)), p. 179-229.

• Formule de Torricelli
• Mathématiques en Europe au XVII^e siècle

• La trompette de Gabriel

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