Coupure de Dedekind

Une coupure de Dedekind d’un ensemble totalement ordonné E se définit par un couple (A, B) de sous-ensembles de E tels que :

1. A et B sont non vides ;
2. leur réunion est égale à E ;
3. tout élément de A est strictement inférieur à tout élément de B ;
4. si B a une borne inférieure dans E, alors cette borne inférieure est dans B.

Les points 1, 2 et 3 impliquent que A et B réalisent une partition de E. Par conséquent, la donnée de l'un détermine entièrement l'autre.

Le point 3 pose le partage des éléments de E dans ces deux parties. Il est possible de montrer que ce point équivaut à :

• ${\displaystyle \forall x\in E,(a\in A\land x\leq a\Rightarrow x\in A)}$ ;
• ${\displaystyle \forall y\in E,(b\in B\land y\geq b\Rightarrow y\in B)}$ ;
• ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$.

Le point 4 permet de montrer que l'application qui à chaque élément x de E associe la coupure ${\displaystyle (\{a\in E|a<x\},\{b\in E|x\leq b\})}$ est une bijection entre E et l'ensemble de ses coupures de Dedekind (A, B) telles que B ait une borne inférieure dans E.

On définit un ordre sur l'ensemble des coupures de Dedekind de E en posant, pour toutes coupures de Dedekind (A, B) et (C, D) de E :

${\displaystyle (A,B)\leq (C,D)\Leftrightarrow A\subset C.}$

Il est possible de montrer que l'ensemble des coupures de Dedekind de E muni de cet ordre possède la propriété de la borne supérieure, même si E ne la possède pas. En prolongeant E dans cet ensemble, on le prolonge en un ensemble dont toute partie non vide et majorée possède une borne supérieure.

• Nombre surréel
• Complétion de Dedekind-MacNeille (en)