Théorème de la limite monotone

Soient ]a, b[ un intervalle réel ouvert non vide (borné ou non : ${\displaystyle -\infty \leq a<b\leq +\infty }$) et ${\displaystyle f:\left]a,b\right[\to \mathbb {R} }$ une fonction croissante. Alors[1] - [2] :

• f admet en b une limite à gauche, qui est finie si f est majorée et qui vaut +∞ sinon ;
• f admet en a une limite à droite, qui est finie si f est minorée et qui vaut –∞ sinon ;
• f admet en tout point x de ]a, b[ une limite à gauche et une limite à droite, qu'on note respectivement f(x^–) et f(x⁺) ; elles sont finies et vérifient ${\displaystyle f(x^{-})\leq f(x)\leq f(x^{+})}$.

Plus généralement[3] :

Soient ${\displaystyle D}$ une partie de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$ une application croissante et ${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$.

• Si ${\displaystyle a}$ est adhérent à ${\displaystyle D\cap ]-\infty ,a[}$ alors${\displaystyle \lim _{a^{-}}f=\sup f(D\cap ]-\infty ,a[)}$.
• Si ${\displaystyle a}$ est adhérent à ${\displaystyle D\cap ]a,+\infty [}$ alors${\displaystyle \lim _{a^{+}}f=\inf f(D\cap ]a,+\infty [)}$.

Le théorème analogue pour les fonctions décroissantes s'en déduit en remplaçant f par –f ; il convient d'inverser le sens des inégalités et d'échanger « minorée » et « majorée » ainsi que « +∞ » et « –∞ ».

Lorsqu'on prend ${\displaystyle D=\mathbb {N} }$ et ${\displaystyle a=+\infty }$ dans l'énoncé général ci-dessus, on obtient :

Soit ${\displaystyle u=\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ une suite croissante de réels. Alors, ${\displaystyle \lim u=\sup u(\mathbb {N} )}$. Par conséquent :

• si la suite est majorée alors elle est convergente ;
• si la suite n'est pas majorée alors elle tend vers +∞.

Le théorème analogue pour les suites décroissantes s'en déduit en remplaçant ${\displaystyle u}$ par ${\displaystyle -u}$.

• Suite de Specker, exemple d'une suite de nombres rationnels qui est calculable, croissante et majorée, mais dont la limite n'est pas un nombre réel calculable.
• Théorème de la bijection (version forte), utilisant parfois le théorème de la limite monotone pour établir la continuité de toute surjection monotone d'un intervalle sur un intervalle.