Fonction sous-identitaire

Voici des conditions suffisantes pour qu'une fonction soit sous-identitaire :

• Si ${\displaystyle f}$ est une fonction concave dont la tangente en un point est la droite d'équation ${\displaystyle y=x}$, alors ${\displaystyle f}$ est sous-identitaire.

Si ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{2}(\mathbb {R} ),\left(\,\exists \,x_{0}\in \mathbb {R} \,|\,{\begin{cases}f(x_{0})=x\\f'(x_{0})=1\end{cases}}\right)\wedge \forall x\in \mathbb {R} ,f''(x)\leq 0}$, alors ${\displaystyle f}$ est sous-identitaire.

• Si ${\displaystyle f}$ est une fonction affine de pente unitaire dont l'ordonnée à l'origine est négative, alors ${\displaystyle f}$ est sous-identitaire. Il s'agit d'une translation de la fonction identité de ${\displaystyle \alpha }$ unités vers le bas.

Si ${\displaystyle f\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} },\exists \,\alpha \in \mathbb {R} _{+}\,|\,\forall x\in \mathbb {R} ,f(x)=x-\alpha }$, alors ${\displaystyle f}$ est sous-identitaire.

• Si ${\displaystyle f}$ est convexe sur un intervalle ${\displaystyle [a,b]}$, que ${\displaystyle f(a)\leq a}$ et que ${\displaystyle f(b)\leq b}$, alors ${\displaystyle f}$ est sous-identitaire.

Si ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}_{2}([a,b]),f(a)\leq a,f(b)\leq b}$ et ${\displaystyle \forall x\in [a,b],f''(x)\geq 0}$, alors ${\displaystyle f}$ est sous-identitaire.

Si ${\displaystyle f}$ est sous-identitaire, alors elle doit nécessairement vérifier les propriétés suivantes :

• Si ${\displaystyle f}$ est convexe, elle est alors nécessairement égale à la fonction identité (cas trivial de la convexité).

${\displaystyle f}$ convexe ${\displaystyle \Rightarrow f=\operatorname {id} }$

• Si ${\displaystyle f}$ est continûment dérivable, alors il existe un intervalle non trivial sur lequel la fonction est concave.

${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{2}(\mathbb {R} )\Rightarrow \exists (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}\,|\,(a<b\Rightarrow \forall x\in [a,b],f''(x)\leq 0)}$

• Si ${\displaystyle f}$ est continue et si la courbe de ${\displaystyle f}$ intersecte celle de l'identité en ${\displaystyle x=x_{0}}$, alors ${\displaystyle f}$ est surjective de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} \,\cup \,\,]-\infty ,x_{0}]}$.

${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {R} )\wedge \exists x_{0}\in \mathbb {R} \,|\,f(x_{0})=x_{0}\Rightarrow f}$ est surjective de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} \,\cup \,\,]-\infty ,x_{0}]}$

En particulier, si ${\displaystyle f(0)=0}$, alors ${\displaystyle f}$ est surjective de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} _{-}}$.

• Si ${\displaystyle f}$ est continue, alors ${\displaystyle f}$ est strictement croissante sur au moins un segment non trivial de ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {R} )\Rightarrow \exists (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}\,|\,a<b\wedge \forall (x_{1},x_{2})\in [a,b]^{2},x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})}$

• La composition de la fonction avec elle-même est décroissante.

${\displaystyle \forall (n,m)\in \mathbb {N} ^{2},n\geq m\Rightarrow f^{n}\leq f^{m}}$

• Toute fonction définie sur un voisinage de ${\displaystyle -\infty }$ domine la fonction identité.

${\displaystyle f\in \mathbb {R} ^{]-\infty ,x_{0}]}\Rightarrow \operatorname {id} ={\underset {-\infty }{O}}(f)}$

• Si ${\displaystyle \leq }$ est un ordre bien fondé, et ${\displaystyle m}$ un élément minimal, alors ${\displaystyle f(m)=m}$ .

• Si ${\displaystyle f}$ est une fonction de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, alors elle est sous-identitaire si et seulement si :

${\displaystyle \exists \,g\in \mathbb {R} _{+}^{\mathbb {R} }\,|\,\forall x\in \mathbb {R} ,f(x)+g(x)=x}$

• Si ${\displaystyle f}$ est une fonction continue par morceaux de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, alors elle est sous-identitaire si et seulement si :

${\displaystyle \forall (a,b)\in \mathbb {R} ^{2},\int _{a}^{b}f(t)dt\leq {\frac {b^{2}-a^{2}}{2}}}$

Une fonction ou application sur-identitaire (où vérifiant la sur-identité), est une fonction ${\displaystyle f:E\to F}$ vérifiant ${\displaystyle \forall x\in E,f(x)\geq x}$.

• Si ${\displaystyle f}$ est bijective, alors ${\displaystyle f}$ est sur-identitaire si et seulement si son application réciproque ${\displaystyle f^{-1}}$ est sous-identitaire.
• Une fonction polynomiale de degré impair ${\displaystyle n\geq 3}$ ou de degré ${\displaystyle n\leq 0}$ n'est ni sous-identitaire, ni sur-identitaire. Si une fonction polynomiale est sous-identitaire (respectivement sur-identitaire), alors elle est nécessairement unitaire et de degré 1, ou de degré pair et de coefficient dominant négatif (respectivement positif).
• Si ${\displaystyle f\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$, et si la restriction à ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ de ${\displaystyle f}$ est sur-identitaire, alors ${\displaystyle |f|}$ définie par ${\displaystyle |f|:x\mapsto |f(x)|}$ est sur-identitaire.

• ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \,\,]-1,+\infty [\,\,,x\mapsto e^{x}-1}$ est sur-identitaire.
• ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {Z} ,x\mapsto \lceil x\rceil }$ est sur-identitaire.
• Soit un ensemble ${\displaystyle E}$, et soit ${\displaystyle G\subset E}$. Alors ${\displaystyle f:{\mathcal {P}}(E)\to {\mathcal {P}}(E),F\mapsto F\,\cup \,G}$ est sur-identitaire pour la relation d'ordre ${\displaystyle \subset }$.

Une fonction ou application strictement sous-identitaire (respectivement strictement sur-identitaire), est une fonction ${\displaystyle f:E\to F}$ vérifiant ${\displaystyle \forall x\in E,f(x)<x}$ (respectivement ${\displaystyle \forall x\in E,f(x)>x}$).

• Une fonction continue n'admettant pas de point fixe est soit strictement sous-identitaire, soit strictement sur-identitaire (par le théorème des valeurs intermédiaires).
• Si ${\displaystyle f}$ est sous-identitaire (respectivement sur-identitaire), alors ${\displaystyle \forall \varepsilon >0}$, ${\displaystyle f-\varepsilon }$ est strictement sous-identitaire (respectivement ${\displaystyle f+\varepsilon }$ est strictement sur-identitaire).
• Si ${\displaystyle f}$ est strictement sous-identitaire (strictement respectivement sur-identitaire), alors elle est sous-identitaire (respectivement sur-identitaire).

${\displaystyle f}$ est strictement sous-identitaire (respectivement strictement sur-identitaire) si et seulement si ${\displaystyle f}$ est sous-identitaire (respectivement sur-identitaire) et n'admet pas de point fixe.

• Les restrictions à ${\displaystyle \mathbb {R} _{-}^{*}}$ et ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ de la fonction ${\displaystyle x\mapsto x+{\frac {1}{x}}}$ sont respectivement strictement sous-identitaire et strictement sur-identitaire.
  • ${\displaystyle x\mapsto \left\vert x+{\frac {1}{x}}\right\vert }$ est strictement sur-identitaire.
• ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \,\,]1,+\infty [\,\,,x\mapsto {\frac {e^{x}}{1+x^{2}}}+1}$ est strictement sur-identitaire.
• ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {Z} ,x\mapsto \lceil x-1\rceil }$ est strictement sous-identitaire (par définition de la partie entière supérieure).

Une fonction ou application absolument sous-identitaire (respectivement absolument sur-identitaire) d'une partie ${\displaystyle A}$ espace vectoriel normé ${\displaystyle E}$ vers une partie ${\displaystyle B}$ d'un espace vectoriel normé ${\displaystyle F}$ est une fonction ${\displaystyle f}$ vérifiant ${\displaystyle \forall x\in A,\lVert f(x)\rVert \leq \lVert x\rVert }$ (respectivement ${\displaystyle \forall x\in A,\lVert f(x)\rVert \geq \lVert x\rVert }$).

Une fonction ${\displaystyle f}$ continue de ${\displaystyle A}$ dans ${\displaystyle B}$ est absolument sous-identitaire lorsque sa norme subordonnée est plus petite que 1, c'est-à-dire lorsque ${\displaystyle |||f|||={\underset {x\neq 0}{\sup }}{\biggl (}{\frac {||f(x)||}{||x||}}{\biggr )}\leq 1}$.

• Les applications à la fois absolument sous-identitaires et absolument sur-identitaires sont les isométries.
• Une application absolument sous-identitaire vaut nécessairement 0 en 0, par séparation et positivité de la norme.
• Les similitudes directes sont des cas particuliers d'applications absolument sous-identitaires (si le rapport de similitude est plus petit que 1) ou absolument sur-identitaires (si le rapport de similitude est plus grand que 1).
• Les applications de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sur-identitaires sont absolument sur-identitaires pour la valeur absolue.

• Dans l'espace vectoriel ${\displaystyle \mathbb {C} }$ muni du module ${\displaystyle |\,.|}$, soient ${\displaystyle A_{1}=\{z\in \mathbb {C} ,|z|\leq 1\}}$, et ${\displaystyle A_{2}=\{z\in \mathbb {C} ,|z|\geq 1\}}$, alors :
  • ${\displaystyle f_{1}:A_{1}\to A_{1},x\mapsto x^{2}}$ est absolument sous-identitaire.
  • ${\displaystyle f_{2}:A_{2}\to A_{2},x\mapsto x^{2}}$ est absolument sur-identitaire.

• Dans l'espace vectoriel ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$ muni de la norme canonique ${\displaystyle M\mapsto {\sqrt {tr(M^{\intercal }M)}}}$, soit ${\displaystyle N\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$, alors ${\displaystyle M\mapsto M+N}$ est absolument sous-identitaire (par inégalité triangulaire[2]).

• Soit ${\displaystyle E}$ un espace vectoriel normé.

On définit le produit externe par un scalaire ${\displaystyle *}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}$ par le produit élément par élément, et la loi additive par ${\displaystyle \cup }$.

Soit ${\displaystyle F=\{G\in {\mathcal {P}}(E)\,|\,Card(G)\in \mathbb {N} \}\cup \{\{0\}\}}$. Alors ${\displaystyle (F,\cup ,*)}$ est un espace vectoriel.

Soit ${\displaystyle sum:F\to \mathbb {R} _{+},A\mapsto \sum _{x\in A}||x||}$.

Soit ${\displaystyle B\in F}$, et soit ${\displaystyle f:F\to F,A\mapsto A\cup B}$.

Alors ${\displaystyle f}$ est absolument sur-identitaire pour la norme ${\displaystyle sum}$.

Soit ${\displaystyle p}$ une projection sur un espace préhilbertien ${\displaystyle E}$. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :

• ${\displaystyle p}$ est un projecteur orthogonal
• ${\displaystyle p}$ est absolument sous-identitaire
• ${\displaystyle p}$ est ${\displaystyle 1}$-lipschitzien
• ${\displaystyle |||p|||\in \{0,1\}}$

Une fonction est dite ${\displaystyle \alpha }$-identitaire lorsque ${\displaystyle \|f-id\|\leq \alpha }$.

• Si ${\displaystyle f}$ est une fonction ${\displaystyle \alpha }$-identitaire ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, alors ${\displaystyle f{\underset {\pm \infty }{\thicksim }}id}$.

• Réciproquement, si ${\displaystyle f{\underset {\pm \infty }{\thicksim }}id}$ et ${\displaystyle f}$ est continue, alors il existe ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R_{+}} }$ tel que ${\displaystyle f}$ soit ${\displaystyle \alpha }$-identitaire.
• ${\displaystyle f}$ est bornée si et seulement s'il existe ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R_{+}} }$ tel que ${\displaystyle f+id}$ soit ${\displaystyle \alpha }$-identitaire.

• ${\displaystyle id}$ est ${\displaystyle 0}$-identitaire. Il s'agit de l'unique fonction ${\displaystyle 0}$-identitaire, par antisymétrie des relations d'ordre.
• ${\displaystyle x\mapsto sin(x)+x}$ est ${\displaystyle 1}$-identitaire pour la valeur absolue.

${\displaystyle f}$ est ${\displaystyle k}$-lipschitzienne si ${\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2},~|f(x)-f(y)|\leq k~|x-y|.}$

Si ${\displaystyle f}$ est dérivable, alors ${\displaystyle f}$ est ${\displaystyle k}$-lipschitzienne si et seulement si ${\displaystyle f'}$ est ${\displaystyle k}$-identitaire.