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Pentagone régulier convexe

En géométrie, un pentagone régulier convexe (ou plus simplement pentagone régulier, voire pentagone) est un pentagone convexe dont les cinq côtés ont la même longueur et dont les cinq angles internes ont la même mesure. Il est constructible à la règle et au compas.

Pentagone régulier convexe
Image illustrative de l’article Pentagone régulier convexe
Pentagone régulier convexe (en noir), son cercle circonscrit (en gris), les segments reliant son centre à ses sommets (en gris), et ses angles remarquables : angle interne (en noir), angle externe (en gris).

Type Polygone régulier convexe
Arêtes 5
Sommets 5

Symbole de Schläfli {5}
Diagramme de Coxeter-Dynkin
Groupe de symétrie Diédral (D10)
Angle interne 108°
Propriétés Constructible

Généralités

Propriétés

Le pentagone régulier convexe est un polygone régulier, c'est-à-dire équilatéral et équiangle. Par conséquent :

Pentagone (bleu) et pentagramme (noir) réguliers.

Il est convexe, ce qui le distingue du seul autre pentagone régulier, le pentagramme, qui est étoilé. On peut dessiner un pentagramme régulier en reliant les sommets d'un pentagone régulier par ses diagonales. Les côtés du pentagramme sont parallèles aux côtés du pentagone (utiliser des triangles isocèles et des angles alternes-internes de la figure).


Angles

Ils sont indépendants de la taille du pentagone.

Dimensions en fonction du côté

La construction du pentagone régulier à la règle et au compas fait apparaitre le nombre d'or représenté par la suite par la lettre grecque φ ("phi")

Quelques caractéristiques[1] du pentagone régulier convexe de côté a :

  • Périmètre :
  • Aire :
    (cot étant la fonction cotangente)
  • Apothème = rayon du cercle inscrit :
  • Rayon du cercle circonscrit :
  • Diagonale (voir à théorème de Ptolémée):
  • Hauteur :
  • Distance entre un côté et la diagonale parallèle à ce côté :
  • Distance entre une diagonale et le sommet le plus proche extérieur à la diagonale :

Dimensions en fonction du rayon du cercle circonscrit

  • Côté :
  • Diagonale :
  • Hauteur :
  • Distance entre un côté et la diagonale parallèle à ce côté :
  • Distance entre une diagonale et le sommet le plus proche extérieur à la diagonale:

Usages

Pavages

Il n'est pas possible de paver le plan euclidien par des pentagones réguliers convexes : la mesure de son angle interne, 108°, n'est pas un diviseur de 360°, la mesure d'un tour complet, ce qui empêche le pentagone de servir de tuile dans un pavage régulier. Il n'est pas possible non plus de paver le plan avec des combinaisons de pentagones et d'autres polygones réguliers et d'obtenir un pavage archimédien, uniforme ou semi-régulier.

  • Un carré, un pentagone et un icosagone se rencontrant en un même sommet ; cette configuration ne permet pas de paver le plan.
    Un carré, un pentagone et un icosagone se rencontrant en un même sommet ; cette configuration ne permet pas de paver le plan.
  • Deux pentagones et un décagone réguliers convexes se rencontrant en un même sommet ; cette configuration ne permet pas de paver le plan.
    Deux pentagones et un décagone réguliers convexes se rencontrant en un même sommet ; cette configuration ne permet pas de paver le plan.
  • L'agencement le plus dense connu de pentagones réguliers convexes de même taille sur un plan est une structure couvrant 92,131% de ce plan.
    L'agencement le plus dense connu de pentagones réguliers convexes de même taille sur un plan est une structure couvrant 92,131% de ce plan.

En géométrie hyperbolique, il est possible de paver le plan uniformément par des pentagones réguliers, en faisant se rencontrer au moins 4 pentagones autour de chaque sommet.

  • Pavage uniforme du plan hyperbolique par des pentagones, 4 se rencontrant à chaque sommet.
    Pavage uniforme du plan hyperbolique par des pentagones, 4 se rencontrant à chaque sommet.
  • Pavage hyperbolique, avec 5 pentagones autour de chaque sommet.
    Pavage hyperbolique, avec 5 pentagones autour de chaque sommet.
  • Pavage hyperbolique, avec 6 pentagones autour de chaque sommet.
    Pavage hyperbolique, avec 6 pentagones autour de chaque sommet.

Polyèdres

Parmi les polyèdres comportant des pentagones réguliers convexes, et de façon non exhaustive :

Unicode

Caractères Unicode hexagonaux
Code Caractère Nom Bloc
U+2B1F Pentagone noir Symboles et flèches divers
U+2B20 Pentagone blanc Symboles et flèches divers
U+2B53 Pentagone noir pointant vers la droite Symboles et flèches divers
U+2B54 Pentagone blanc pointant vers la droite Symboles et flèches divers
U+2BC2 Pentagone noir culbuté Symboles et flèches divers

Référence

  1. (en) Eric W. Weisstein, « Regular Pentagon », sur MathWorld.

Voir aussi

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