Décagone

Cette construction est excessivement simple mais n'est pas forcément exacte :

• Tracer un cercle Γ de centre O.
• Soit A un point quelconque appartenant à Γ.
• Il suffit alors de placer le point B sur Γ de façon que l'angle ${\displaystyle {\widehat {AOB}}}$ mesure 36°. En effet, on a 360/10 = 36°. Pour placer le point B, il faut utiliser un rapporteur, ce qui peut être source d'inexactitudes dans le reste de la construction (un rapporteur n'est jamais très précis).
• Il ne reste plus qu'à reporter AB sur le cercle de manière à obtenir les 8 sommets restants.
• Enfin on relie les différents sommets entre eux de manière à obtenir un décagone (à peu près) régulier.

Après avoir construit un pentagone régulier, il est facile de construire un décagone régulier : par bissection.

• Tracer un cercle qui passe par tous les sommets du pentagone.
• Tracer le milieu de chaque côté du pentagone.
• Tracer un segment qui joint le centre du pentagone au point milieu de chaque côté et qui touche le cercle.
• Joindre, avec des segments, toutes les paires de points voisins qui touchent au cercle.

OE est la longueur d'un côté d'un décagone régulier, et DE est le côté d'un pentagone régulier, tous deux inscrits dans le cercle.

• Tracer un cercle Γ de centre O et de diamètre [AB].
• La médiatrice de [AB] (passant donc par O et perpendiculaire à [AB]) coupe le cercle Γ en deux points. Soit D l'un de ces points.
• Tracer le milieu C de [OA].
• Le cercle de centre C et de rayon CD coupe [OB] en E (les proportions AE/OA et OA/OE sont égales au nombre d'or).
• Reporter 10 fois de suite la longueur OE sur le cercle Γ (à partir d'un point quelconque du cercle) pour obtenir les sommets d'un décagone régulier.
• Relier les différents sommets de manière à obtenir un décagone régulier.

Animation de la construction du décagone régulier

• Tracer Γ, O, A, B, C, D, E comme ci-dessus.
• Le cercle de centre C et de rayon OC coupe [CD] en F.
• Terminer comme ci-dessus en reportant 10 fois la longueur DF (égale à la longueur OE précédente).

• Théorème de Gauss-Wantzel
• Table de lignes trigonométriques exactes

• (en) Eric W. Weisstein, « Decagon », sur MathWorld
• Animation pour la construction simple d'un décagone régulier avec un rapporteur