Table de lignes trigonométriques exactes

Cette table de lignes trigonométriques exactes rassemble certaines valeurs des fonctions trigonométriques sinus, cosinus, tangente et cotangente sous forme d'expressions algébriques à l'aide de racines carrées de réels, parfois imbriquées. Ces expressions sont obtenues à partir des valeurs remarquables pour les angles de 30° (dans le triangle équilatéral) et de 36° (dans le pentagone régulier) et à l'aide des identités trigonométriques de duplication et d'addition des angles.

Cercle trigonométrique et angles remarquables

Cette table est nécessairement incomplète, dans le sens où il est toujours possible de déduire une expression algébrique pour l'angle moitié ou l'angle double. En outre, de telles expressions sont en théorie calculables pour les angles de tout polygone régulier dont le nombre de côtés est un nombre premier de Fermat[1], or ici seuls les deux premiers ont été exploités : 3, 5.

Tables de valeurs

Dans un polygone régulier à $n$ côtés, inscrit dans un cercle de rayon $R$ , l'apothème et le demi-côté valent respectivement $R cos(π/ n)$ et $R sin(π/ n)$ . Ces égalités relient naturellement les lignes trigonométriques des angles $π/ n$ radians avec les polygones réguliers à $n$ côtés.

Table de lignes trigonométriques exactes[2] pour quelques angles $\leq {\frac {\pi }{4}}$
angle	sinus	cosinus	tangente	cotangente	polygone régulier
$\ \ 0^{\circ }\ \ \ =\ \ 0\$ rad	$0$	$1$	$0$	non défini
$15^{\circ }\ \ \ ={\frac {\pi }{12}}$ rad	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}$	$2-{\sqrt {3}}$	$2+{\sqrt {3}}$	dodécagone
$18^{\circ }\ \ \ ={\frac {\pi }{10}}$ rad	${\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$	${\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{8}}}$	${\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	décagone
$22,5^{\circ }={\frac {\pi }{8}}\$ rad	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\sqrt {2}}-1$	${\sqrt {2}}+1$	octogone
$30^{\circ }\ \ \ ={\frac {\pi }{6}}\$ rad	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\sqrt {3}}$	hexagone
$36^{\circ }\ \ \ ={\frac {\pi }{5}}\$ rad	${\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}$	${\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	${\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}$	pentagone
$45^{\circ }\ \ \ ={\frac {\pi }{4}}\$ rad	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$1$	$1$	carré

Par soustraction $(18^{\circ }-15^{\circ }),$ on obtient une expression pour les lignes trigonométriques d'un angle de $3^{\circ }$ c'est-à-dire ${\frac {\pi }{60}}$ rad, puis de tous ses multiples.

Expression des lignes trigonométriques pour les premiers multiples de 3°

3° (polygone régulier à 60 côtés): $\sin {\frac {\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }={\frac {2(1-{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}+1)}{16}}$; $\cos {\frac {\pi }{60}}=\cos 3^{\circ }={\frac {2(1+{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}-1)}{16}}$; $\tan {\frac {\pi }{60}}=\tan 3^{\circ }={\frac {\left((2-{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})-2\right)\left(2-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right)}{4}}$; $\cot {\frac {\pi }{60}}=\cot 3^{\circ }={\frac {\left((2+{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})-2\right)\left(2+{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right)}{4}}$

6° (polygone régulier à 30 côtés): $\sin {\frac {\pi }{30}}=\sin 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {6}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-({\sqrt {5}}+1)}{8}}$; $\cos {\frac {\pi }{30}}=\cos 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)}{8}}$; $\tan {\frac {\pi }{30}}=\tan 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{2}}$; $\cot {\frac {\pi }{30}}=\cot 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})+{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}}{2}}$

9° (polygone régulier à 20 côtés): $\sin {\frac {\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)-2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}}$; $\cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)+2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}}$; $\tan {\frac {\pi }{20}}=\tan 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$; $\cot {\frac {\pi }{20}}=\cot 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$

12° (polygone régulier à 15 côtés): $\sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}$; $\cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\frac {{\sqrt {6}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1}{8}}$; $\tan {\frac {\pi }{15}}=\tan 12^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}})-{\sqrt {50-22{\sqrt {5}}}}}{2}}$; $\cot {\frac {\pi }{15}}=\cot 12^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{2}}$

15° (dodécagone régulier): $\sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}$; $\cos {\frac {\pi }{12}}=\cos 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}$; $\tan {\frac {\pi }{12}}=\tan 15^{\circ }=2-{\sqrt {3}}$; $\cot {\frac {\pi }{12}}=\cot 15^{\circ }=2+{\sqrt {3}}$

18° (décagone régulier): $\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$; $\cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{8}}}$; $\tan {\frac {\pi }{10}}=\tan 18^{\circ }={\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}$; $\cot {\frac {\pi }{10}}=\cot 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$

21°: $\sin {\frac {7\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }={\frac {2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)(1+{\sqrt {5}})}{16}}$; $\cos {\frac {7\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }={\frac {2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)(1+{\sqrt {5}})}{16}}$; $\tan {\frac {7\pi }{60}}=\tan 21^{\circ }={\frac {(1+2{\sqrt {3}}-{\sqrt {5}}){\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}+(2+{\sqrt {3}})({\sqrt {5}}-3)+2}{2}}$; $\cot {\frac {7\pi }{60}}=\cot 21^{\circ }={\frac {{\Big (}2-(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}}){\Big )}\left(2+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right)}{4}}$

24°: $\sin {\frac {2\pi }{15}}=\sin 24^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}}$; $\cos {\frac {2\pi }{15}}=\cos 24^{\circ }={\frac {{\sqrt {6}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1}{8}}$; $\tan {\frac {2\pi }{15}}=\tan 24^{\circ }={\frac {{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})}{2}}$; $\cot {\frac {2\pi }{15}}=\cot 24^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{2}}$

27°: $\sin {\frac {3\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}$; $\cos {\frac {3\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}$; $\tan {\frac {3\pi }{20}}=\tan 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$; $\cot {\frac {3\pi }{20}}=\cot 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$

30° (hexagone régulier): $\sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {1}{2}}$; $\cos {\frac {\pi }{6}}=\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}$; $\tan {\frac {\pi }{6}}=\tan 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}$; $\cot {\frac {\pi }{6}}=\cot 30^{\circ }={\frac {3}{\sqrt {3}}}={\sqrt {3}}$

33°: $\sin {\frac {11\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }={\frac {2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}-1)}{16}}$; $\cos {\frac {11\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }={\frac {2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}(1-{\sqrt {3}})({\sqrt {5}}-1)}{16}}$; $\tan {\frac {11\pi }{60}}=\tan 33^{\circ }={\frac {(-15+10{\sqrt {3}}-7{\sqrt {5}}+4{\sqrt {15}}){\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}+5({\sqrt {3}}-2)(3+{\sqrt {5}})+10}{10}}$; $\cot {\frac {11\pi }{60}}=\cot 33^{\circ }={\frac {{\Big (}2-(2+{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}}){\Big )}\left(2-{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right)}{4}}$

36° (pentagone régulier): $\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}$; $\cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}$; $\tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$; $\cot {\frac {\pi }{5}}=\cot 36^{\circ }={\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}$

39°: $\sin {\frac {13\pi }{60}}=\sin {39^{\circ }}={\frac {2(1-{\sqrt {3}}){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}(1+{\sqrt {3}})(1+{\sqrt {5}})}{16}}$; $\cos {\frac {13\pi }{60}}=\cos {39^{\circ }}={\frac {2(1+{\sqrt {3}}){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}+1)}{16}}$; $\tan {\frac {13\pi }{60}}=\tan {39^{\circ }}={\frac {\left({\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-2\right){\Big (}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {5}}-3)+2{\Big )}}{4}}$; $\cot {\frac {13\pi }{60}}=\cot {39^{\circ }}={\frac {{\Big (}(2+{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})-2{\Big )}\left(2+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)}{4}}$

42°: $\sin {\frac {7\pi }{30}}=\sin 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {6}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-({\sqrt {5}}-1)}{8}}$; $\cos {\frac {7\pi }{30}}=\cos 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}$; $\tan {\frac {7\pi }{30}}=\tan 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{2}}$; $\cot {\frac {7\pi }{30}}=\cot 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {50-22{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})}{2}}$

45° (carré): $\sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}$; $\cos {\frac {\pi }{4}}=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}$; $\tan {\frac {\pi }{4}}=\tan 45^{\circ }=1$; $\cot {\frac {\pi }{4}}=\cot 45^{\circ }=1$

Il n'existe pas d'expression algébrique des lignes trigonométriques à l'aide de radicaux réels pour l'angle de 1° ni, ce qui est équivalent — par différence (voir infra) avec celles pour 39° ci-dessus — pour l'angle de 40°, mais il en existe une formulée à l'aide de racines cubiques de nombres complexes : $\cos 40^{\circ }=\cos {\frac {2\pi }{9}}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\operatorname {e} ^{2\mathrm {i} \pi /3}}}+{\sqrt[{3}]{\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi /3}}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}}\right)$ . $\sin 40^{\circ }=\cos 50^{\circ }=\cos {\frac {5\pi }{18}}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\operatorname {e} ^{5\mathrm {i} \pi /6}}}+{\sqrt[{3}]{\operatorname {e} ^{-5\mathrm {i} \pi /6}}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\frac {-{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }{2}}}\right)$ .

Applications

Ces constantes peuvent être utilisées pour exprimer le volume du dodécaèdre régulier en fonction de son arête $a$ : $V={\frac {5a^{3}\cos {36^{\circ }}}{\tan ^{2}{36^{\circ }}}}={\frac {a^{3}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)}{4}}$ .

Construction

Lignes élémentaires

Représentation géométrique des angles de 0, 30, 45, 60, et 90 degrés.

Les lignes trigonométriques pour les angles de 0°, 90°, 45°, 30° et 60° peuvent être calculés dans le cercle trigonométrique à l'aide du théorème de Pythagore.

Moyen mnémotechnique: On peut restituer une partie de la table en considérant la suite $(\sqrt n /2)$ , pour $n$ allant de 0 à 4 :

Angle	sinus
$0^{\circ }\ =\,\ 0$ rad	${\frac {\sqrt {0}}{2}}=0$
$30^{\circ }\ ={\frac {\pi }{6}}$ rad	${\frac {\sqrt {1}}{2}}=0{,}5$
$45^{\circ }\ ={\frac {\pi }{4}}$ rad	${\frac {\sqrt {2}}{2}}\approx 0{,}707$
$60^{\circ }\ ={\frac {\pi }{3}}$ rad	${\frac {\sqrt {3}}{2}}\approx 0{,}866$
$90^{\circ }\ ={\frac {\pi }{2}}$ rad	${\frac {\sqrt {4}}{2}}=1$

La table des cosinus est obtenue en inversant celle des sinus.

Triangles fondamentaux

Polygone régulier à

N

sommets et son triangle rectangle fondamental, d'angle au centre

π/ N

La dérivation des valeurs particulières de sinus, cosinus et tangente est basée sur la constructibilité de certains polygones réguliers. Un $N$ -gone régulier se décompose en $2 N$ triangles rectangles dont les trois sommets sont le centre du polygone, l'un de ses sommets, et le milieu d'une arête adjacente à ce sommet. Les angles d'un tel triangle sont $π/ N$ , $π/2 - π/ N$ et $π/2$ .

Les constantes fondamentales sont associées aux polygones réguliers dont le nombre de côtés est un nombre premier de Fermat. Les seuls nombres premiers de Fermat connus sont 3, 5, 17, 257 et 2¹⁶ + 1 = 65 537.

Addition et différence d'angles

Grâce à l'identité de Bézout et aux formules d'addition et de différence, on peut déduire de ces constantes fondamentales celles des angles au centre de polygones réguliers dont le nombre de côtés est un produit de nombres premiers de Fermat distincts, ainsi que des multiples entiers de tels angles. Par exemple,

{\begin{aligned}\cos {\frac {\pi }{15}}&=\cos \left(2\times {\frac {\pi }{5}}-{\frac {\pi }{3}}\right)\\&=\cos {\frac {\pi }{3}}\left(1-2\sin ^{2}{\frac {\pi }{5}}\right)+2\sin {\frac {\pi }{3}}\sin {\frac {\pi }{5}}\cos {\frac {\pi }{5}}\\&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {5-{\sqrt {5}}}{4}}\right)+{\sqrt {3}}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}{\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\\&={\frac {{\sqrt {5}}-1+{\sqrt {6}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{8}}.\end{aligned}}

Division d'un angle en deux

Les formules d'angle moitié permettent d'en déduire une infinité de constantes supplémentaires. Par exemple, à partir de $cos(π/2) = 0$ , on trouve :

\cos {\frac {\pi }{2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots {\sqrt {2}}}}}}{2}}

où le numérateur comporte $n$ signes $\sqrt$ .

Simplification des expressions

Outre les simplifications élémentaires usuelles, on peut parfois désimbriquer des racines : pour réduire

{\sqrt {a\pm {\sqrt {b}}}}

(avec $a$ et $b$ rationnels, $b \geq 0$ et $a \geq \sqrt b$ ), il suffit que le réel

{\sqrt {a^{2}-b}}

soit rationnel.

Exemples: $\cos {\frac {\pi }{12}},\cos {\frac {5\pi }{12}}={\sqrt {\frac {1\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}}}{2}}}={\frac {\sqrt {2\pm {\sqrt {3}}}}{2}}={\frac {{\sqrt {3/2}}\pm {\sqrt {1/2}}}{2}}={\frac {{\sqrt {6}}\pm {\sqrt {2}}}{4}}$ .; $\sin {\frac {\pi }{10}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}{2}}}={\frac {\sqrt {6-{\sqrt {20}}}}{4}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$ .

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Exact trigonometric constants » (voir la liste des auteurs).

Voir par exemple Heptadécagone.
Lorsque √5 apparaît dans une expression, on peut le remplacer par $2 φ - 1$ , où $φ$ est le nombre d'or.

Voir aussi

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Trigonometry Angles », sur MathWorld et les articles liés dans son § « See also: 257-gon, 65537-gon, Constructible Polygon, Pi/5, Pi/6, Pi/7, Pi/8 […] »
(en) Regular Polygon, sur mathforum.org
(en) Naming Polygons and Polyhedra, sur mathforum.org

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