Radical imbriqué

On peut désimbriquer certains radicaux imbriqués. Par exemple :

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}}}{\sqrt[{3}]{9}}}}$.

Mais la désimbrication de radicaux est généralement considérée comme un problème difficile.

Dans certains cas, des radicaux de puissances plus hautes peuvent être nécessaires pour enlever l'imbrication de certaines classes de radicaux imbriqués[1].

Un cas particulier abordable est celui où un réel représenté par deux racines carrées imbriquées s'exprime comme une somme ou différence de deux racines carrées. Par exemple :

${\displaystyle {\sqrt {3+{\sqrt {8}}}}=1+{\sqrt {2}}}$ ;

${\displaystyle {\sqrt {5-{\sqrt {24}}}}={\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}}$ ;

${\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}+{\sqrt {\frac {1}{2}}}}$.

Si a et b sont des rationnels positifs tels que √b soit irrationnel et inférieur à a, pour pouvoir mettre

${\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}\quad }$ou${\displaystyle \quad {\sqrt {a-{\sqrt {b}}}}}$

sous la forme

${\displaystyle {\sqrt {c}}+\varepsilon {\sqrt {d}}\quad (c,d\in \mathbb {Q} _{+},~c\geqslant d,~\varepsilon =\pm 1),}$

il faut et il suffit que le nombre

${\displaystyle R={\sqrt {a^{2}-b}}}$

soit rationnel. La solution est alors :

${\displaystyle {\sqrt {a\pm {\sqrt {b}}}}={\sqrt {c}}\pm {\sqrt {d}}}$

avec

${\displaystyle c={\frac {a+R}{2}}\quad {\text{et}}\quad d={\frac {a-R}{2}}.}$

Srinivasa Ramanujan a démontré un certain nombre d'identités impliquant l'imbrication de radicaux. Parmi celles-ci figurent les suivantes[2] :

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{3-2{\sqrt[{4}]{5}}}}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}+1}{{\sqrt[{4}]{5}}-1}}}$,

${\displaystyle {\sqrt {{\sqrt[{3}]{28}}-{\sqrt[{3}]{27}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{98}}-{\sqrt[{3}]{28}}-1}{3}}}$,

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{5}]{\frac {32}{5}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {27}{5}}}}}={\sqrt[{5}]{\frac {1}{25}}}+{\sqrt[{5}]{\frac {3}{25}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {9}{25}}}}$,

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\ {\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\sqrt[{3}]{\frac {1}{9}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{9}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {4}{9}}}}$[3].

Voici d'autres simplifications de radicaux inspirées par Ramanujan :

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{8a^{2}-1}}+{\sqrt[{4}]{(8a^{2}-1)^{2}-1}}={\sqrt {a+{\frac {1}{2}}}}+{\sqrt {a-{\frac {1}{2}}}}}$[3],

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{8a^{2}-1}}-{\sqrt[{4}]{(8a^{2}-1)^{2}-1}}={\sqrt {a+{\frac {1}{2}}}}-{\sqrt {a-{\frac {1}{2}}}}}$.

En 1989, Susan Landau a présenté le premier algorithme pour décider quels radicaux imbriqués peuvent être simplifiés[4]. Des algorithmes antérieurs ont fonctionné dans certains cas, mais pas dans d'autres. L'algorithme de Landau utilise des racines de l'unité et s'exécute en un temps exponentiel par rapport à la profondeur du radical imbriqué [5].

Pour tous réel r, s > 0, on démontre[6] - [N 2] que la suite récurrente (u_n) définie par

${\displaystyle u_{0}=0}$ et ${\displaystyle u_{n+1}={\sqrt {r+su_{n}}}}$

est strictement croissante et converge vers la solution de x = √r + sx, c'est-à-dire la racine positive s + √s² + 4r/2 de l'équation du second degré x² – sx – r = 0, ce qui constitue une définition du nombre

${\displaystyle {\sqrt {r+s{\sqrt {r+s{\sqrt {r+s{\sqrt {r+\cdots }}}}}}}}}$.

Par exemple[N 3] :

${\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}}=2}$.

ou encore :

${\displaystyle {\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi }$ (voir nombre d‘or)

et plus généralement :

${\displaystyle {\sqrt {1+p{\sqrt {1+p{\sqrt {1+p{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}={\frac {p+{\sqrt {p^{2}+4}}}{2}}=\varphi _{p}}$, p-ième nombre métallique, nombre d'argent pour p = 2.

De même[6] - [N 2], pour tous réels r, s > 0 tels que r > s²,

${\displaystyle {\sqrt {r-s{\sqrt {r-s{\sqrt {r-s{\sqrt {r-\cdots }}}}}}}}}$,

défini comme limite d'une suite, est la racine positive –s + √s² + 4r/2 de l'équation x² + sx – r = 0.

Par exemple :

${\displaystyle {\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-\cdots }}}}}}}}=1}$.

Ramanujan a posé le problème suivant au Journal of the Indian Mathematical Society :

Trouver la valeur de ${\displaystyle {\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}$ et de ${\displaystyle {\sqrt {6+2{\sqrt {7+3{\sqrt {8+\cdots }}}}}}}$

et l'a résolu ainsi[7] :

Pour p = 2 ou p = 3, posons ${\displaystyle f_{p}(n)=n(n+p)}$. Alors, ${\displaystyle f_{p}(n)=n{\sqrt {a_{p}n+b_{p}+f_{p}(n+1)}}}$, avec ${\displaystyle a_{p}}$ et ${\displaystyle b_{p}}$ choisis de telle façon que

${\displaystyle (n+p)^{2}=(n+1)(n+1+p)+a_{p}n+b_{p}}$ (c.-à-d. ${\displaystyle a_{p}=p-2}$ et ${\displaystyle b_{p}=p^{2}-p-1}$) donc

${\displaystyle n+p={\sqrt {a_{p}n+b_{p}+(n+1){\sqrt {a_{p}(n+1)+b_{p}+(n+2){\sqrt {a_{p}(n+2)+b_{p}+(n+3){\sqrt {\dots }}}}}}}}}$.

(la convergence, pour tous réels p ≥ 2 et n ≥ 0, est justifiée par un théorème ultérieur dû à Tirukkannapuram Vijayaraghavan[8]). En particulier :

${\displaystyle n+2={\sqrt {1+(n+1){\sqrt {1+(n+2){\sqrt {1+(n+3){\sqrt {\dots }}}}}}}}}$, d'où ${\displaystyle {\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\dots }}}}}}=3}$ ;

${\displaystyle n+3={\sqrt {n+5+(n+1){\sqrt {n+6+(n+2){\sqrt {n+7+\dots }}}}}}}$, d'où ${\displaystyle {\sqrt {6+2{\sqrt {7+3{\sqrt {8+\dots }}}}}}=4}$.

Le critère de convergence de Vijayaraghavan a été généralisé par Herschfeld[9] - [N 4] :

Pour tous réels s_i ≥ 1 tels que la série ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\prod _{1\leq i\leq n}{\frac {1}{s_{i}}}}$ converge et pour tous réels positifs a_i, le radical imbriqué ${\displaystyle {\sqrt[{s_{1}}]{a_{1}+{\sqrt[{s_{2}}]{a_{2}+{\sqrt[{s_{3}}]{a_{3}+\cdots }}}}}}}$ converge si et seulement si la suite ${\displaystyle \left({\sqrt[{s_{1}\dots s_{n}}]{a_{n}}}\right)}$ est majorée.

Herschfeld donne comme exemple introductif[10] s_i = 2, a_i = i et calcule : ${\displaystyle {\sqrt {1+{\sqrt {2+{\sqrt {3+\dots }}}}}}\approx 1{,}757933}$ , voir la suite A072449 de l'OEIS[11].

Ramanujan a résolu dans son Cahier perdu [12] le radical infini suivant où le schéma périodique des signes est (+, +, –, +) :

${\displaystyle {\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5-{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5-\cdots }}}}}}}}}}}}}}={\frac {2+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15-6{\sqrt {5}}}}}{2}}}$ (voir la suite A286984 de l'OEIS).

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$.

Pour tous réels r, s > 0, par la même méthode que ci-dessus pour les racines carrées[N 5], on définit le nombre

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{r+s{\sqrt[{3}]{r+s{\sqrt[{3}]{r+s{\sqrt[{3}]{r+\cdots }}}}}}}}}$

comme la limite d'une suite croissante, qui converge vers la racine réelle positive de l'équation cubique x³ − sx − r = 0.

Par exemple :

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+\cdots }}}}}}}}=\psi }$, nombre plastique.

De même[N 6], pour tous réels r, s > 0 tels que r² > s³,

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{r-s{\sqrt[{3}]{r-s{\sqrt[{3}]{r-s{\sqrt[{3}]{r-\cdots }}}}}}}}}$

est la racine réelle de x³ + sx − r = 0.

• ${\displaystyle {\sqrt[{n-1}]{x}}={\sqrt[{n}]{x{\sqrt[{n}]{x{\sqrt[{n}]{x\dots }}}}}}}$ pour tout entier n ≥ 2[13]
• ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{2-{\sqrt[{n}]{2-{\sqrt[{n}]{2-{\sqrt[{n}]{2-\cdots }}}}}}}}=1}$ pour tout entier n ≥ 2

• Constante de récurrence quadratique de Somos (en)
• Méthode de Cardan
• Somme de radicaux

• (en) Allan Borodin, Ronald Fagin, John E. Hopcrofts et Martin Tompa, « Decreasing the Nesting Depth of Expressions Involving Square Roots », J. Symbolic Computation, vol. 1,‎ 1985, p. 169-188 (DOI 10.1016/S0747-7171(85)80013-4)
• (en) David J. Jeffrey et Albert D. Rich, « Simplifying Square Roots of Square Roots by Denesting », dans Michael Wester, Computer Algebra Systems: A Practical Guide, Wiley, 1999 (lire en ligne)

• (en) Eric W. Weisstein, « SquareRoot », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Nested Radical », sur MathWorld