Méthode de Cardan

Théorème — Les solutions complexes ${\displaystyle z_{k}\ \left(0\leq k\leq 2\right)}$ de l'équation du troisième degré ${\displaystyle z^{3}+pz+q=0}$, où les coefficients p et q sont réels, sont données par

${\displaystyle z_{k}=u_{k}+v_{k}}$

avec

${\displaystyle u_{k}=\mathrm {j} ^{k}~{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\left(-q+{\sqrt {\frac {-\Delta }{27}}}\right)}}}$

et 3 u_k v_k = –p, d'où[2]

${\displaystyle v_{k}=\mathrm {j} ^{-k}~{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\left(-q-{\sqrt {\frac {-\Delta }{27}}}\right)}}}$

où Δ = –(4 p³ + 27 q²) est le discriminant de l'équation et où ${\displaystyle \mathrm {j} =\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi /3}={\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}}$.

• Si Δ > 0, alors il y a trois solutions réelles distinctes.
• Si Δ = 0, alors une solution est multiple et toutes sont réelles.
• Si Δ < 0, alors une solution est réelle et les deux autres sont complexes conjuguées.

Remarque 1 : en posant p = 3p', q = 2q' et Δ = 4×27 Δ', on obtient

${\displaystyle \Delta ^{\prime }=-\left(q^{\prime 2}+p^{\prime 3}\right),u_{k}=\mathrm {j} ^{k}{\sqrt[{3}]{-q^{\prime }+{\sqrt {-\Delta ^{\prime }}}}},v_{k}=\mathrm {j} ^{-k}{\sqrt[{3}]{-q^{\prime }-{\sqrt {-\Delta ^{\prime }}}}}.}$

Si l'on part de l'équation générale ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$, a ≠ 0, on se ramène à la forme réduite en posant :

${\displaystyle x=z-{\frac {b}{3a}},\qquad p=-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\qquad {\text{et}}\qquad q={\frac {b}{27a}}\left({\frac {2b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {9c}{a}}\right)+{\frac {d}{a}}}$.

La démonstration des formules est donnée ci-dessous dans le paragraphe « Principe de la méthode », mais détaillons d'abord leurs conséquences selon le signe de Δ.

Remarque 2 : une méthode plus simple, la substitution de Viète, aboutit aux mêmes formules que celle de Cardan.

Considérons l'équation générale du troisième degré suivante : ax³ + bx² + cx + d = 0.

En posant

${\displaystyle x=z-{\frac {b}{3a}}}$,

on se ramène à une équation de la forme[4]

${\displaystyle z^{3}+pz+q=0}$.

On va maintenant poser z = u + v avec u et v complexes, de façon à avoir deux inconnues au lieu d'une et se donner ainsi la possibilité de poser ultérieurement une condition sur u et v permettant de simplifier le problème. L'équation z³ + pz + q = 0 devient ainsi

${\displaystyle (u+v)^{3}+p(u+v)+q=0}$.

Cette équation se transforme sous la forme suivante :

${\displaystyle u^{3}+v^{3}+3uv^{2}+3vu^{2}+p(u+v)+q=0}$

${\displaystyle u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0}$.

La condition de simplification annoncée sera alors 3uv + p = 0. Ce qui nous donne d'une part u³ + v³ + q = 0 et d'autre part uv = – p/3, qui, en élevant les deux membres à la puissance 3 donne u³v³ = – p³/27.

Nous obtenons finalement le système somme-produit des deux inconnues u³ et v³ suivant :

${\displaystyle {\begin{cases}u^{3}+v^{3}&=-q\\u^{3}v^{3}&=-{\frac {p^{3}}{27}}.\end{cases}}}$

Les inconnues u³ et v³ étant deux complexes dont on connaît la somme et le produit, ils sont donc les solutions de l'équation du second degré :

${\displaystyle X^{2}+qX-{\frac {p^{3}}{27}}=0}$.

Le discriminant de cette équation du second degré est ${\displaystyle \delta =q^{2}-4\times 1\times {\frac {-p^{3}}{27}}=q^{2}+{\frac {4}{27}}p^{3}}$ et les racines sont

${\displaystyle {\begin{cases}u^{3}={\frac {-q+{\sqrt {\delta }}}{2}}{\text{ et }}v^{3}={\frac {-q-{\sqrt {\delta }}}{2}}&{\text{ si }}\delta {\text{ est positif}}\\u^{3}={\frac {-q+\mathrm {i} {\sqrt {-\delta }}}{2}}{\text{ et }}v^{3}={\frac {-q-\mathrm {i} {\sqrt {-\delta }}}{2}}&{\text{ si }}\delta {\text{ est négatif}}\\u^{3}=v^{3}={\frac {-q}{2}}&{\text{ si }}\delta {\text{ est nul.}}\end{cases}}}$

On notera que le discriminant Δ de l'équation du troisième degré z³ + pz + q = 0 est lié au discriminant δ ci-dessus par la relation Δ = –27δ.

Il suffit alors d'associer les trois racines cubiques de u³ et v³ deux par deux de façon à obtenir trois couples (u,v) tels que uv = – p/3, puis de reporter les trois couples de valeurs trouvés pour u et v dans l'expression z = u + v. On obtient dans tous les cas en fonction du discriminant Δ la solution figurant dans l'encadré ci-dessus.

Enfin, on revient au premier changement de variable x = z – b/3a pour avoir les trois racines de l'équation du troisième degré posée au départ. On peut noter que ce type de méthode met en évidence qu'il est parfois nécessaire de travailler dans un corps de nombres plus vaste que celui contenant les variables du problème pour trouver la solution : ici malgré le fait que les entrées (les coefficients) sont réelles, il faut passer par les complexes pour trouver toutes les solutions réelles. Cependant, comme on l'a vu plus haut, il est également possible de rester dans les réels, en acceptant d'utiliser les fonctions trigonométriques (ce qui était déjà connu des algébristes italiens) ; l'explication de l'efficacité de cette deuxième méthode ne sera donnée que par Euler.

De nombreux exemples sont disponibles dans les manuels et sur le web.

La méthode fut découverte en premier lieu en 1515 par le mathématicien italien Scipione del Ferro, et gardée secrète par celui-ci[7]. Le mathématicien italien Tartaglia en avait connaissance vers 1535[8]. À cette époque, les mathématiciens se lançaient des défis pour résoudre des équations du troisième degré et Tartaglia les résolvait toutes. Intrigué, Cardan lui demanda s'il avait trouvé une méthode. Après s'être fait prier et avoir reçu l'assurance que Cardan ne la dévoilerait à personne, Tartaglia la lui confia[1]. Cardan la publia en 1545, en la généralisant à des cas où il était nécessaire d'introduire des racines carrées de nombres négatifs. Il est donc le premier à avoir utilisé des nombres complexes, non sans appréhension[9].

On appelle désormais souvent ces formules les formules de Tartaglia-Cardan.

L'utilisation des formules de Cardan nécessite parfois l'utilisation de nombres complexes, même pour trouver des solutions réelles. En fait, les nombres imaginaires sont précisément nés à cette occasion.

Dans l'exemple z³ = 15z + 4 ou bien z³ – 15z – 4 = 0, on a p = –15 et q = –4, donc : u³v³ = 15³/27 = 125 et u³ + v³ = 4 donc u³ et v³ sont racines de l'équation X² – 4X + 125 = 0, dont les racines n'« existent » pas. Pourtant, il y a bien une solution z à l'équation initiale : c'est z = 4. C'est Raphaël Bombelli qui surmontera cette difficulté en proposant pour la première fois un calcul sur les nombres imaginaires. La résolution formelle de l'équation X² – 4X + 125 = 0 donne pour racines ${\displaystyle u^{3}=2+{\sqrt {-121}}=2+11{\sqrt {-1}}}$ et ${\displaystyle v^{3}=2-{\sqrt {-121}}=2-11{\sqrt {-1}}}$, or Bombelli s'aperçoit que le cube de ${\displaystyle 2+{\sqrt {-1}}}$ vaut ${\displaystyle 2+{\sqrt {-121}}}$ et que le cube de ${\displaystyle 2-{\sqrt {-1}}}$ vaut ${\displaystyle 2-{\sqrt {-121}}}$. Il en déduit que ${\displaystyle u=2+{\sqrt {-1}}}$ et que ${\displaystyle v=2-{\sqrt {-1}}}$ et il trouve bien finalement comme solution z = u + v = 4.

Les nombres imaginaires sont nés.

Une méthode a été développée par Ludovico Ferrari (en 1545)[10], puis généralisée par Bombelli (en 1572)[11] pour la résolution par radicaux de l'équation générale du quatrième degré (équation quartique). Comme on le sait, la résolution par radicaux n'est plus possible pour l'équation générale de degré supérieur ou égal à 5 (théorème d'Abel-Ruffini).