Méthode de Ferrari

On ramène d'abord[1] l'équation (en divisant par le coefficient dominant puis en translatant la variable de façon à éliminer le terme de degré 3) à une équation de la forme

${\displaystyle z^{4}+pz^{2}+qz+r=0}$.

Le point central de la méthode[2] - [3] consiste à remplacer ensuite le monôme z⁴ par le polynôme (z² + λ)² – 2λz² – λ², paramétré par λ, et à trouver une valeur de λ convenable, qui permette d'écrire z⁴ + pz² + qz + r comme une différence de deux carrés donc, via une identité remarquable, comme un produit de deux polynômes du second degré.

Certains auteurs[4] - [5] préfèrent commencer par une complétion du carré, z⁴ + pz² = (z² + p/2)² – p²/4, ce qui leur permet de présenter la méthode de Ferrari avec un autre paramètre (u = λ – p/2[6]), égal à la moitié de celui de Descartes et Lagrange (y = 2λ – p).

${\displaystyle {\begin{array}{rl}z^{4}+pz^{2}+qz+r&=(z^{2}+\lambda )^{2}-2\lambda z^{2}-\lambda ^{2}+pz^{2}+qz+r\\&=(z^{2}+\lambda )^{2}-\left[(2\lambda -p)z^{2}-qz+\lambda ^{2}-r\right].\end{array}}}$

Le terme (2λ – p)z² – qz + λ² – r, vu comme polynôme en z, s'écrit sous forme d'un carré si et seulement si son discriminant, q² – 4(2λ – p)(λ² – r), est nul.

On résout donc l'équation correspondante, appelée cubique résolvante (en) :

${\displaystyle 8\lambda ^{3}-4p\lambda ^{2}-8r\lambda +4rp-q^{2}=0}$,

en utilisant l'une des méthodes classiques de résolution d'une équation de degré 3.

En choisissant une solution λ₀, puis a₀, b₀ (éventuellement complexes) tels que :

${\displaystyle a_{0}^{2}=2\lambda _{0}-p\quad {\text{et}}\quad b_{0}=-{\frac {q}{2a_{0}}}}$,

l'équation initiale devient :

${\displaystyle (z^{2}+\lambda _{0})^{2}-(a_{0}z+b_{0})^{2}=0}$

ou encore :

${\displaystyle (z^{2}+a_{0}z+\lambda _{0}+b_{0})(z^{2}-a_{0}z+\lambda _{0}-b_{0})=0}$,

ce qui équivaut à l'annulation d'un des deux facteurs :

${\displaystyle z^{2}+a_{0}z+\lambda _{0}+b_{0}=0\quad {\text{ou}}\quad z^{2}-a_{0}z+\lambda _{0}-b_{0}=0}$.

Chacune de ces deux équations fournit deux valeurs pour z, soit quatre valeurs en tout.

Presque tous les auteurs excluent implicitement[7] le cas où 2λ₀ – p est nul (qui conduirait à une division par a₀ = 0 dans la définition ci-dessus de b₀). Mais dans ce cas, q = 0 donc l'équation z⁴ + pz² + qz + r = 0 est simplement une équation bicarrée[8].

Pour des exemples, voir la leçon sur Wikiversité (lien ci-dessous) et ses exercices.