Méthode de Descartes

Pour résoudre

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$,

on part des deux relations entre coefficients et racines :

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}$ ;

${\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$.

La première relation équivaut à

${\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+p\quad {\text{et}}\quad x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-p}$,

où p est un paramètre déterminé par la seconde relation.

Cette astuce est très courante : lorsqu'on connaît la somme C de deux nombres A et B, on peut toujours écrire A comme la somme de la moitié de C et d'une certaine quantité p ; B, pour maintenir l'égalité A + B = C, vaudra forcément la moitié de C moins p.

On arrive alors à

${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}}+p\right)\left(-{\frac {b}{2a}}-p\right)={\frac {c}{a}}}$,

et l'on en déduit ±p, puis les deux racines.

Dans son ouvrage La Géométrie (1637), Descartes applique cette méthode pour résoudre les équations du quatrième degré :

On ramène d'abord[1] l'équation (en divisant par le coefficient dominant puis en translatant la variable de façon à éliminer le terme de degré 3) à une équation de la forme

${\displaystyle z^{4}+pz^{2}+qz+r=0}$.

On supposera que cette équation n'est pas bicarrée, c'est-à-dire que q ≠ 0.

Le but étant de n'avoir plus qu'à résoudre deux équations du second degré pour trouver les quatre racines, on cherche ensuite à décomposer le polynôme ${\displaystyle X^{4}+pX^{2}+qX+r}$ en un produit de deux polynômes unitaires du second degré, dont il va falloir déterminer les coefficients. On pose donc a priori

${\displaystyle (X^{2}+aX+b)(X^{2}+a'X+c)=X^{4}+pX^{2}+qX+r}$,

ce qui équivaut, en développant et en identifiant les coefficients, à :

${\displaystyle {\begin{cases}a'+a&=0&\\c+aa'+b&=p\\ac+ba'&=q\\bc&=r,\end{cases}}}$

ou encore à

${\displaystyle {\begin{cases}a'&=-a\\c+b&=p+a^{2}\\c-b&=q/a\\bc&=r\end{cases}}}$

donc à

${\displaystyle {\begin{cases}a'=-a\\c={\frac {p+a^{2}+q/a}{2}}\\b={\frac {p+a^{2}-q/a}{2}}\\(p+a^{2}-q/a)(p+a^{2}+q/a)=4r.\end{cases}}}$

La quatrième équation se réécrit :

${\displaystyle (p+a^{2})^{2}-{\frac {q^{2}}{a^{2}}}=4r}$,

ou encore :

${\displaystyle {\begin{cases}a^{2}=A\\(A+p)^{2}A-4rA=q^{2}.\end{cases}}}$

On trouve une solution A₀ de la dernière équation — dite cubique résolvante (en) — par l'une des méthodes standard, puis on choisit pour a l'une des deux racines carrées de A₀, et l'on en déduit a', c et b par les équations précédentes.

Les deux équations obtenues :

${\displaystyle z^{2}+az+{\frac {p+a^{2}-q/a}{2}}=0\quad {\text{ou}}\quad z^{2}-az+{\frac {p+a^{2}+q/a}{2}}=0\quad {\text{avec}}\quad a^{2}=A_{0}}$,

sont identiques à celles de Ferrari (1540) :

${\displaystyle z^{2}+az+y_{0}-{\frac {q}{2a}}=0\quad {\text{ou}}\quad z^{2}-az+y_{0}+{\frac {q}{2a}}=0\quad {\text{avec}}\quad a^{2}=2y_{0}-p}$,

car le changement de paramètre ${\displaystyle A=2y-p}$ transforme la cubique résolvante de Descartes en celle de Ferrari, ${\displaystyle 4(y^{2}-r)(2y-p)=q^{2}}$.

La résolvante de Descartes, et l'expression des quatre solutions en fonction d'une racine de cette résolvante, sont identiques à celles de la méthode de Lagrange (1770).

Pour des exemples, voir la leçon sur Wikiversité (lien ci-dessous) et ses exercices.

• Méthode de Laguerre
• Méthode du cercle de séparation