Équation quartique

Il s'agit de trouver une expression faisant intervenir les 4 racines ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}}$ de

${\displaystyle y^{4}+py^{2}+qy+r=0}$

et ne permettant d'obtenir, par permutations, que 3 valeurs algébriques distinctes.

C'est le cas par exemple de ${\displaystyle -(y_{1}+y_{2})(y_{3}+y_{4})}$ qui, par permutations, ne permet de donner que les valeurs

${\displaystyle z_{1}=-(y_{1}+y_{2})(y_{3}+y_{4})}$,

${\displaystyle z_{2}=-(y_{1}+y_{3})(y_{2}+y_{4})}$,

${\displaystyle z_{3}=-(y_{1}+y_{4})(y_{2}+y_{3})}$.

Tout polynôme symétrique en ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$ pourra être exprimé comme polynôme symétrique de ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}}$.

En particulier, les coefficients du polynôme ${\displaystyle R(z)=(z-z_{1})(z-z_{2})(z-z_{3})}$ pourront s'exprimer à l'aide de p, q et r. Il est certain que la propriété

${\displaystyle y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}=0}$

facilite les calculs.

On démontre en effet qu'alors :

• ${\displaystyle z_{1}+z_{2}+z_{3}=-2p}$ ;
• ${\displaystyle \Sigma _{i<j}z_{i}z_{j}=p^{2}-4r}$ ;
• ${\displaystyle z_{1}z_{2}z_{3}=q^{2}}$.

Les trois réels ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$ sont alors solutions de l'équation

${\displaystyle z^{3}+2pz^{2}+(p^{2}-4r)z-q^{2}=0\quad (3)}$.

Il reste maintenant à retrouver ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}}$ en fonction de ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$ sachant que ${\displaystyle y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}=0}$.

On remarque alors que

${\displaystyle z_{1}=(y_{1}+y_{2})^{2}=(y_{3}+y_{4})^{2}}$

${\displaystyle z_{2}=(y_{1}+y_{3})^{2}=(y_{2}+y_{4})^{2}}$

${\displaystyle z_{3}=(y_{1}+y_{4})^{2}=(y_{2}+y_{3})^{2}}$

donc que

${\displaystyle y_{1}+y_{2}={\sqrt {z_{1}}}}$ et ${\displaystyle y_{3}+y_{4}=-{\sqrt {z_{1}}}}$,

${\displaystyle y_{1}+y_{3}={\sqrt {z_{2}}}}$ et ${\displaystyle y_{2}+y_{4}=-{\sqrt {z_{2}}}}$,

${\displaystyle y_{1}+y_{4}={\sqrt {z_{3}}}}$ et ${\displaystyle y_{2}+y_{3}=-{\sqrt {z_{3}}}}$

(il faut comprendre ici la notation ${\displaystyle {\sqrt {z_{i}}}}$ comme une des racines carrées de ${\displaystyle z_{i}}$).

Les valeurs de ${\displaystyle y_{i}}$ se retrouvent alors par simple addition.

Les solutions de

${\displaystyle y^{4}+py^{2}+qy+r=0}$

sont

${\displaystyle y_{1}={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {z_{1}}}+{\sqrt {z_{2}}}+{\sqrt {z_{3}}})}$

${\displaystyle y_{2}={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {z_{1}}}-{\sqrt {z_{2}}}-{\sqrt {z_{3}}})}$

${\displaystyle y_{3}={\tfrac {1}{2}}(-{\sqrt {z_{1}}}+{\sqrt {z_{2}}}-{\sqrt {z_{3}}})}$

${\displaystyle y_{4}={\tfrac {1}{2}}(-{\sqrt {z_{1}}}-{\sqrt {z_{2}}}+{\sqrt {z_{3}}})}$

où ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ et ${\displaystyle z_{3}}$ sont les trois racines du polynôme R, de degré 3, appelé cubique résolvante, ou réduite :

${\displaystyle R(z)=z^{3}+2pz^{2}+(p^{2}-4r)z-q^{2}}$.

Par ${\displaystyle {\sqrt {z_{i}}}}$, il faut entendre, un des nombres dont le carré vaut ${\displaystyle z_{i}}$. On remarque que changer simultanément tous les ${\displaystyle {\sqrt {z_{i}}}}$ en leurs opposés transforme l'ensemble ${\displaystyle \{y_{1},\,y_{2},\,y_{3},\,y_{4}\}}$ en ${\displaystyle \{-y_{1},-y_{2},-y_{3},-y_{4}\,\}}$. Il faut donc choisir « de bonnes » racines carrées, de telle façon que le produit ${\displaystyle {\sqrt {z_{1}}}{\sqrt {z_{2}}}{\sqrt {z_{3}}}}$ vaille –q.

Dans le cas où les coefficients p, q et r sont réels, on remarque que le produit des racines du polynôme R est ${\displaystyle q^{2}}$, on est donc limité sur la forme des racines du polynôme R et sur les solutions de l'équation quartique.

• Si les trois racines de R sont réelles positives, on obtient quatre valeurs réelles.
• Si les trois racines de R sont réelles et que deux sont négatives, on obtient deux paires de complexes conjugués.
• si R possède une racine réelle et deux racines complexes conjuguées, la racine réelle est positive et l'on obtient deux valeurs réelles et deux complexes conjugués.

Elles s'écrivent sous la forme

${\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0}$

et se résolvent par changement de variable

${\displaystyle y=x^{2}}$

et la résolution de

${\displaystyle ay^{2}+by+c=0}$.

Les équations bicarrées, ainsi que certaines autres équations de degré 4, peuvent aussi être résolues par la trigonométrie circulaire ou hyperbolique.

Elles s'écrivent sous la forme

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0}$

et se résolvent par le changement de variable

${\displaystyle z=x+{\frac {1}{x}}}$

et la résolution de

${\displaystyle az^{2}+bz+c-2a=0}$.

Ce procédé se généralise aux équations de la forme

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+kbx+k^{2}a=0}$

(avec k ≠ 0), qui se résolvent en posant

${\displaystyle z=x+{\frac {k}{x}}}$.

• Équation cubique
• Équation quintique
• Méthode de Tschirnhaus
• Relations entre coefficients et racines

: document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

• Petite encyclopédie de mathématiques, Didier
• Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès, Cours de mathématiques – Algèbre, Dunod
• Joseph-Alfred Serret, Cours d'algèbre supérieure, t. 2, 1879, 4^e éd. (1^re éd. 1849) (lire en ligne), p. 471-482
• (en) B. L. van der Waerden, A History of Algebra, Springer, 1985 (ISBN 3-642-51601-7)