Méthode de Tschirnhaus

Tschirnhaus rappelle d'abord[1] que toute équation de degré n

${\displaystyle x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0}$

se ramène classiquement à une équation sans terme de degré n – 1, par un changement de variable de la forme ${\displaystyle x=y+b_{0}}$. En effet, le coefficient du terme en ${\displaystyle y^{n-1}}$ du polynôme

${\displaystyle (y+b_{0})^{n}+a_{n-1}(y+b_{0})^{n-1}+\dots +a_{1}(y+b_{0})+a_{0}}$

est ${\displaystyle nb_{0}+a_{n-1}}$ donc il suffit, pour que ce coefficient soit nul, de choisir ${\displaystyle b_{0}}$ égal à ${\displaystyle -{\frac {a_{n-1}}{n}}}$.

Cela lui donne l'idée, pour annuler plus de termes, d'introduire une inconnue auxiliaire y qui n'est plus une translatée de x mais un polynôme, en posant[1] :

${\displaystyle x^{k}=b_{k-1}x^{k-1}+\dots +b_{1}x+b_{0}+y}$

où k (strictement inférieur à n) est le nombre de termes à annuler, et le choix des coefficients ${\displaystyle b_{k-1},\dots ,b_{1},b_{0}}$ est expliqué ci-dessous.

Cette transformation se nomme transformation de Tschirnhaus.

En éliminant x entre cette relation et l'équation à résoudre, on obtient une équation de degré n et d'inconnue y dont les coefficients dépendent des k coefficients b_i. On tente alors de déterminer les coefficients ${\displaystyle b_{i}}$ de façon à obtenir une équation en y plus simple à résoudre, par exemple (pour k = n – 1) de la forme :

${\displaystyle y^{n}-c=0}$.

Pour cela, dans l'équation en y, on pose égaux à 0 tous les coefficients des monômes de degré 1 à n – 1. On obtient ainsi un système de n – 1 équations à n – 1 inconnues ${\displaystyle b_{n-2},\dots ,b_{1},b_{0}}$. Ces valeurs, une fois obtenues, sont reportées dans l'équation :

${\displaystyle x^{n-1}-b_{n-2}x^{n-2}-\dots -b_{1}x-(b_{0}+y)=0}$,

où y prend successivement pour valeur l'une des n racines n-ièmes de c.

Tschirnhaus ramène ainsi (sur l'exemple n = 3) la résolution d'une équation de degré n à celle de n équations de degré n – 1. Cependant[2], sa méthode fournit n(n – 1) valeurs pour x, qu'il faut tester pour détecter, parmi elles, les n solutions effectives. En précisant son idée, on peut trouver directement ces n solutions (une par valeur de y)[3].

La méthode ci-dessus permet à Tschirnhaus de donner, pour les solutions d'une équation cubique, une nouvelle formule, différente de celle de Cardan. Il retrouve aussi cette dernière par un autre changement de variable : xy = y² + a, réinventant ainsi la substitution de Viète.

Considérons une équation de degré 3, sans perte de généralité de la forme

${\displaystyle x^{3}+px+q=0}$

avec ${\displaystyle p\neq 0}$. Posons, comme indiqué ci-dessus :

${\displaystyle x^{2}=ax+b+y}$.

Le système

${\displaystyle {\begin{cases}x^{3}+px+q&=0\\x^{2}&=ax+b+y\end{cases}}}$

est équivalent[3] au système

${\displaystyle {\begin{cases}(a^{2}+b+y+p)x&=-(q+ab+ay)\\x^{2}&=ax+b+y\end{cases}}}$

qui admet des solutions x si et seulement si[3]

${\displaystyle (q+ab+ay)^{2}=-a(q+ab+ay)(a^{2}+b+y+p)+(b+y)(a^{2}+b+y+p)^{2}}$.

Cette condition se réécrit[4] :

${\displaystyle y^{3}+(3b+2p)y^{2}+(3b^{2}+4pb+p^{2}+pa^{2}-3qa)y+b^{3}+2pb^{2}+p^{2}b+pa^{2}b-3qab-q^{2}-pqa-qa^{3}=0\quad (*)}$.

On détermine a et b[3] de façon qu'elle ne contienne plus de terme en y² ni en y :

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{cases}3b+2p&=0\\3b^{2}+4pb+p^{2}+pa^{2}-3qa&=0\end{cases}}\\\Leftrightarrow &{\begin{cases}b&=-{\frac {2p}{3}}\\a&={\frac {3}{p}}\left({\frac {q}{2}}+\delta \right){\text{ avec }}\delta ^{2}={\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Ce choix de a et b permet de simplifier l'équation ${\displaystyle (*)}$, qui devient alors[4] - [3] :

${\displaystyle y^{3}=\left({\frac {6\delta }{p}}\right)^{3}{\frac {pa}{3}}}$.

On termine la résolution[4] en choisissant une racine cubique z de ${\displaystyle {\frac {pa}{3}}}$, en posant ${\displaystyle y_{k}={\frac {6\delta }{p}}z\,\mathrm {j} ^{k}}$ pour ${\displaystyle k=0,1,2}$, et en calculant, pour chacune de ces trois valeurs, les deux solutions de l'équation du second degré ${\displaystyle x^{2}=ax+b+y_{k}}$. On obtient ainsi en général[3] 6 valeurs distinctes, dont les 3 solutions de ${\displaystyle x^{3}+px+q=0}$ font nécessairement partie. Il suffit, pour conclure, de tester ces 6 valeurs.

Considérons une équation de degré 4, sans perte de généralité de la forme

${\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0}$

avec ${\displaystyle q\neq 0}$. Considérons la transformation de Tschirnhaus suivante :

${\displaystyle x^{2}=ax+b+y}$.

Le système

${\displaystyle {\begin{cases}x^{4}+px^{2}+qx+r&=0\\x^{2}&=ax+b+y\end{cases}}}$

admet des solutions x si et seulement si[5]

${\displaystyle y^{4}+(4b+2p)y^{3}+Ay^{2}+By+C=0\quad (**)}$

avec

${\displaystyle A=6b^{2}+6bp+pa^{2}-3qa+p^{2}+2r}$,

${\displaystyle B=4b^{3}+6pb^{2}+2b(pa^{2}-3qa+p^{2}+2r)+2r(2a^{2}+p)-q(a^{3}+pa+q)}$,

${\displaystyle C=b^{4}+2pb^{3}+b^{2}(pa^{2}-3qa+p^{2}+2r)+b\left[2r(2a^{2}+p)-q(a^{3}+pa+q)\right]+ar(a^{3}+pa-q)+r^{2}}$.

L'équation ${\displaystyle (**)}$ est bicarrée si

${\displaystyle {\begin{cases}4b+2p&=0\\B&=0,\end{cases}}}$

ce qui équivaut à[5]

${\displaystyle {\begin{cases}b=-{\frac {p}{2}}\\-qa^{3}+(4r-p^{2})a^{2}+2pqa-q^{2}&=0.\end{cases}}}$

Pour résoudre ${\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0}$, il suffit donc de :

• trouver une solution a de l'« équation cubique résolvante (en) » ${\displaystyle -qa^{3}+(4r-p^{2})a^{2}+2pqa-q^{2}=0}$ ;
• calculer A et C pour ce choix de a et pour ${\displaystyle b=-{\frac {p}{2}}}$ ;
• trouver les quatre solutions ${\displaystyle y_{k}}$ (${\displaystyle k=0,1,2,3}$) de l'équation bicarrée ${\displaystyle y^{4}+Ay^{2}+C=0}$ obtenue ;
• pour chacune de ces quatre valeurs, trouver les deux solutions ${\displaystyle x_{k,j}}$ (${\displaystyle j=0,1}$) de ${\displaystyle x^{2}-ax-b-y_{k}=0}$.

On obtient ainsi 8 valeurs ${\displaystyle x_{k,j}}$, dont les 4 solutions de ${\displaystyle x^{3}+px+q=0}$ font nécessairement partie. Il suffit, pour conclure, de tester ces 8 valeurs[5].

Voir à ce propos l'article Radical de Bring.

Cette méthode est la première méthode générale de résolution des équations à avoir été publiée. Sa publication remonte à 1683[1].

Joseph-Alfred Serret, Cours d'algèbre supérieure, t. 1, 1866, 3^e éd. (1^re éd. 1849) (lire en ligne), p. 420-430