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Méthode de Tschirnhaus

La méthode de Tschirnhaus, imaginée et mise au point par Ehrenfried Walther von Tschirnhaus, est une tentative de résoudre le point clé de la théorie des équations à savoir trouver une méthode générale de résolution de l'équation polynomiale. Cette méthode tente de ramener l'équation que l'on veut résoudre à d'autres équations de degré moins élevé. Cette méthode échoue de façon certaine pour les équations de degré supérieur ou égal à cinq qui ont un groupe de Galois non résoluble.

Principe de la méthode

Tschirnhaus rappelle d'abord[1] que toute équation de degré n

se ramène classiquement à une équation sans terme de degré n – 1, par un changement de variable de la forme . En effet, le coefficient du terme en du polynôme

est donc il suffit, pour que ce coefficient soit nul, de choisir égal à .

Cela lui donne l'idée, pour annuler plus de termes, d'introduire une inconnue auxiliaire y qui n'est plus une translatée de x mais un polynôme, en posant[1] :

où k (strictement inférieur à n) est le nombre de termes à annuler, et le choix des coefficients est expliqué ci-dessous.

Cette transformation se nomme transformation de Tschirnhaus.

En éliminant x entre cette relation et l'équation à résoudre, on obtient une équation de degré n et d'inconnue y dont les coefficients dépendent des k coefficients bi. On tente alors de déterminer les coefficients de façon à obtenir une équation en y plus simple à résoudre, par exemple (pour k = n – 1) de la forme :

.

Pour cela, dans l'équation en y, on pose égaux à 0 tous les coefficients des monômes de degré 1 à n – 1. On obtient ainsi un système de n – 1 équations à n – 1 inconnues . Ces valeurs, une fois obtenues, sont reportées dans l'équation :

,

où y prend successivement pour valeur l'une des n racines n-ièmes de c.

Tschirnhaus ramène ainsi (sur l'exemple n = 3) la résolution d'une équation de degré n à celle de n équations de degré n – 1. Cependant[2], sa méthode fournit n(n – 1) valeurs pour x, qu'il faut tester pour détecter, parmi elles, les n solutions effectives. En précisant son idée, on peut trouver directement ces n solutions (une par valeur de y)[3].

La méthode ci-dessus permet à Tschirnhaus de donner, pour les solutions d'une équation cubique, une nouvelle formule, différente de celle de Cardan. Il retrouve aussi cette dernière par un autre changement de variable : xy = y2 + a, réinventant ainsi la substitution de Viète.

Application à la résolution des équations cubiques

Considérons une équation de degré 3, sans perte de généralité de la forme

avec . Posons, comme indiqué ci-dessus :

.

Le système

est équivalent[3] au système

qui admet des solutions x si et seulement si[3]

.

Cette condition se réécrit[4] :

.

On détermine a et b[3] de façon qu'elle ne contienne plus de terme en y2 ni en y :

Ce choix de a et b permet de simplifier l'équation , qui devient alors[4] - [3] :

.

On termine la résolution[4] en choisissant une racine cubique z de , en posant pour , et en calculant, pour chacune de ces trois valeurs, les deux solutions de l'équation du second degré . On obtient ainsi en général[3] 6 valeurs distinctes, dont les 3 solutions de font nécessairement partie. Il suffit, pour conclure, de tester ces 6 valeurs.

Méthode particulière pour les équations du quatrième degré

Considérons une équation de degré 4, sans perte de généralité de la forme

avec . Considérons la transformation de Tschirnhaus suivante :

.

Le système

admet des solutions x si et seulement si[5]

avec

,
,
.

L'équation est bicarrée si

ce qui équivaut à[5]

Pour résoudre , il suffit donc de :

  • trouver une solution a de l'« équation cubique résolvante (en) » ;
  • calculer A et C pour ce choix de a et pour ;
  • trouver les quatre solutions () de l'équation bicarrée obtenue ;
  • pour chacune de ces quatre valeurs, trouver les deux solutions () de .

On obtient ainsi 8 valeurs , dont les 4 solutions de font nécessairement partie. Il suffit, pour conclure, de tester ces 8 valeurs[5].

Équation du cinquième degré

Voir à ce propos l'article Radical de Bring.

Remarque historique

Cette méthode est la première méthode générale de résolution des équations à avoir été publiée. Sa publication remonte à 1683[1].

Notes et références

  1. (la) Tschirnhaus, « Methodus auferendi omnes terminos intermedios ex data aequatione », Acta Eruditorum,‎ , p. 204-207 (lire en ligne). Traduction en anglais : (en) R. F. Green, « A method for removing all intermediate terms from a given equation », ACM SIGSAM Bulletin, vol. 37, no 1,‎ (lire en ligne).
  2. (en) Victor S. Adamchik et David J. Jeffrey, « Polynomial transformations of Tschirnhaus, Bring and Jerrard », ACM SIGSAM Bulletin, vol. 37, no 3,‎ (lire en ligne).
  3. Ces calculs de Tschirnhaus 1683 sont détaillés, complétés et testés sur un exemple, dans la première partie d'un devoir corrigé sur Wikiversité : suivre le lien en bas de page.
  4. Tschirnhaus 1683, aux notations près.
  5. Ces calculs sont détaillés (et testés sur un exemple) dans la seconde partie du devoir sur Wikiversité déjà mentionné.

Voir aussi

Joseph-Alfred Serret, Cours d'algèbre supérieure, t. 1, , 3e éd. (1re éd. 1849) (lire en ligne), p. 420-430

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