Différence de deux carrés

La formule de la différence de deux carrés peut être utilisée pour factoriser des polynômes qui contiennent le carré d'une première quantité moins le carré d'une deuxième quantité. Par exemple, le polynôme ${\displaystyle x^{4}-1}$ peut être factorisé comme suit :

${\displaystyle x^{4}-1=(x^{2}+1)(x^{2}-1)=(x^{2}+1)(x+1)(x-1)}$

De même, les deux premiers termes de ${\displaystyle x^{2}-y^{2}+x-y}$ peut être factorisé comme ${\displaystyle (x+y)(x-y)}$, nous avons donc:

${\displaystyle x^{2}-y^{2}+x-y=(x+y)(x-y)+x-y=(x-y)(x+y+1)}$

De plus, cette formule peut également être utilisée pour simplifier des expressions :

${\displaystyle (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=(a+b+a-b)(a+b-a+b)=(2a)(2b)=4ab}$

La différence de deux carrés est utilisée pour trouver les facteurs linéaires de la somme de deux carrés, en utilisant des coefficients complexes .

Par exemple, les racines complexes de ${\displaystyle z^{2}+4}$ peuvent être trouvées en utilisant la différence de deux carrés:

${\displaystyle z^{2}+4}$

${\displaystyle =z^{2}-4i^{2}}$ (puisque ${\displaystyle i^{2}=-1}$ )

${\displaystyle =z^{2}-(2i)^{2}}$

${\displaystyle =(z+2i)(z-2i)}$

Par conséquent, les facteurs linéaires sont ${\displaystyle (z+2i)}$ et ${\displaystyle (z-2i)}$ .

Étant donné que les deux facteurs trouvés par cette méthode sont des nombres complexes conjugués, nous pouvons l'utiliser à l'envers comme méthode de multiplication d'un nombre complexe pour obtenir un nombre réel. Cette méthode est utilisée pour obtenir des dénominateurs réels dans des fractions complexes[1].

La différence de deux carrés peut également être utilisée dans la rationalisation des dénominateurs irrationnels[2]. Il s'agit d'une méthode pour supprimer les racines carrées des expressions (ou au moins les déplacer), s'appliquant à la division par certaines combinaisons impliquant des racines carrées .

Par exemple : le dénominateur de ${\displaystyle {\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}}$ peut être rationalisé comme suit :

${\displaystyle {\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}}$

${\displaystyle ={\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}\times {\dfrac {{\sqrt {3}}-4}{{\sqrt {3}}-4}}}$

${\displaystyle ={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{({\sqrt {3}}+4)({\sqrt {3}}-4)}}}$

${\displaystyle ={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{{\sqrt {3}}^{2}-4^{2}}}}$

${\displaystyle ={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{3-16}}}$

${\displaystyle =-{\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{13}}.}$

Ici, le dénominateur irrationnel ${\displaystyle {\sqrt {3}}+4}$ a été rationalisé pour ${\displaystyle 13}$ .

La différence de deux carrés peut également être utilisée comme raccourci arithmétique. Si deux nombres (dont la moyenne est un nombre qui est facilement élevable au carré) sont multipliés, la différence de deux carrés peut être utilisée pour donner le produit des deux nombres originaux.

Par exemple:

${\displaystyle 27\times 33=(30-3)(30+3)}$

En utilisant la différence de deux carrés, ${\displaystyle 27\times 33}$ peut être reformulé comme

${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$ lequel est ${\displaystyle 30^{2}-3^{2}=891}$ .

La différence de deux carrés parfaits consécutifs est la somme des deux bases n et n +1. Cela peut être vu comme suit :

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}(n+1)^{2}-n^{2}&=&((n+1)+n)((n+1)-n)\\&=&2n+1\end{array}}}$

Par conséquent, la différence de deux carrés parfaits consécutifs est un nombre impair. De même, la différence de deux carrés parfaits arbitraires est calculée comme suit :

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}(n+k)^{2}-n^{2}&=&((n+k)+n)((n+k)-n)\\&=&k(2n+k)\end{array}}}$

Par conséquent, la différence de deux carrés parfaits pairs est un multiple de 4 et la différence de deux carrés parfaits impairs est un multiple de 8.

En théorie des nombres et en cryptographie, plusieurs algorithmes utilisent des différences de carrés pour trouver des facteurs d'entiers et détecter des nombres composés. Un exemple simple est la méthode de factorisation de Fermat, qui considère la séquence de nombres ${\displaystyle x_{i}:=a_{i}^{2}-N}$, pour ${\displaystyle a_{i}:=\left\lceil {\sqrt {N}}\right\rceil +i}$ . Si l'un des ${\displaystyle x_{i}}$ est égal à un carré parfait ${\displaystyle b^{2}}$, alors ${\displaystyle N=a_{i}^{2}-b^{2}=(a_{i}+b)(a_{i}-b)}$ est une factorisation (potentiellement non triviale) de ${\displaystyle N}$ .

Cette astuce peut être généralisée comme suit. Si ${\displaystyle a^{2}\equiv b^{2}}$ mod ${\displaystyle N}$ et ${\displaystyle a\not \equiv \pm b}$ mod ${\displaystyle N}$, alors ${\displaystyle N}$ est composé de facteurs non triviaux ${\displaystyle PGCD(a-b,N)}$ et ${\displaystyle PGCD(a+b,N)}$ . Cela constitue la base de plusieurs algorithmes de factorisation (tels que le crible quadratique ) et peut être combiné avec le test de primalité de Fermat pour donner le test de primalité Miller-Rabin, plus fort .

Preuve visuelle des différences entre deux carrés et deux cubes

Si a et b sont deux éléments d'un anneau commutatif R, alors ${\displaystyle a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}\right)}$ .